Математика ответы на билеты(1курс). 1. системы координат
 Скачать 1.89 Mb.
|
Решение систем линейных уравнений методом Крамера.Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, . Пусть - определитель основной матрицы системы, а - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов: При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как . Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Пример. Решите систему линейных уравнений методом Крамера . Решение. Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель (при необходимости смотрите статью определитель матрицы: определение, методы вычисления, примеры, решения): Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Составим и вычислим необходимые определители (определитель получаем, заменив в матрице А первый столбец на столбец свободных членов , определитель - заменив второй столбец на столбец свободных членов, - заменив третий столбец матрицы А на столбец свободных членов): Находим неизвестные переменные по формулам : Ответ: x1= 4, x2= 0, x3= -1. Основным недостатком метода Крамера (если это можно назвать недостатком) является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех. МЕТОД ГАУССА Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений с n неизвестными переменными определитель основной матрицы которой отличен от нуля. Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяxn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1. Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса. Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных. Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-омууравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид где , а . К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго. Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-омууравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид где , а . Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего. Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как , с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения. Пример. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса. Решение. Исключим неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнения системы. Для этого к обеим частям второго и третьего уравнений прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на и на соответственно: Теперь из третьего уравнения исключим x2, прибавив к его левой и правой частям левую и правую части второго уравнения, умноженные на : На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход. Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3: Из второго уравнения получаем . Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса . Ответ: x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1. 14.ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ НАБОР РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - базис векторного пространства действительных (комплексных) решений этой системы. (Система может состоять и из одного уравнения.) Более подробно это определение формулируется следующим образом. Множество действительных (комплексных) решений {x1(t),...,xn(t)}(заданных на нек-ром множестве Е)линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений наз. Ф. с. р. этой системы уравнений (на множестве Е)при выполнении совокупности следующих двух условий: 1) если действительные (комплексные) числа С 1,...,Сn таковы, что функцияC1x1(t)+...+Cnxn(t)тождественно равна нулю на Е, то все числа С 1,...,Сnравны нулю; 2) для всякого действительного (комплексного) решения х(t)рассматриваемой системы уравнений найдутся действительные (соответственно комплексные) числа С 1,...,Сn (не зависящие от t)такие, что x(t)= C1x1(t)+...+Cnxn(t)при всех Если -произвольная невырожденная -матрица, а {x1(t), ..., хп(t)}есть Ф. с. р., то также есть Ф. с. р.; всякая Ф. <с. <р. получается таким преобразованием из данной Ф. с. р. Если система дифференциальных уравнений имеет вид где (или а (соответственно причем отображение суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в - конечный или бесконечный интервал в то векторное пространство решений этой системы изоморфно (соответственно Следовательно, система (1) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая такая Ф. с. р. состоит из пре шений. Напр., для системы уравнений произвольная Ф. с. р. имеет вид где -произвольные линейно независимые векторы-столбцы. Всякая Ф. с. р. системы (1) имеет вид где - Коши оператор системы (1), - произвольное фиксированное число из интервала а x1, . . ., хп-произвольный фиксированный базис пространства (соответственно Если система дифференциальных уравнений состоит из одного уравнения где функции суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в (где - конечный или бесконечный интервал в то векторное пространство решений этого уравнения изоморфно (соответственно Следовательно, уравнение (2) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая из них состоит из kрешений. Напр., уравнение имеет Ф. с. р. общее действительноерешение этого уравнения дается формулой где C1, С2- произвольные действительные постоянные. Если система дифференциальных уравнений имеет вид где (или ) и при всяком i = l, ..., k-1 отображение суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в (где -конечный или бесконечный интервал в то пространство решений этой системы уравнений изоморфно (соответственно Ф. с. р. системы (3) существуют, и каждая из них состоит из kn решений. Для линейных однородных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старших производных, даже если коэффициенты системы постоянные, число решений, входящих в Ф. с. р. (т. е. размерность векторного пространства решений), вычисляется иногда не столь просто, как в вышеприведенных случаях. (В [1], з 11 рассмотрено такое вычисление для линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, не разрешенных относительно старших производных.) 15.Функции. Последовательность как функция дискретного аргумента. 16. БЕСКОЕЧНО БОЛЬШИЕ, БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ОГРАНИЧЕННЫЕ ВЕЛЕЧИНЫ И ИХ СВОЙСТВА. Бесконечно малые и бесконечно большие величины Бесконечно малая величина есть такая переменная величина, предел которой есть 0, или, что то же самое, это есть такая переменная величина, которая может быть сделана менее всякой данной величины. Поэтому Б. м. величину называют также иногда произвольно малою величиной. Б. большая величина, или произвольно большая величина, напротив, есть такая, которая может быть сделана более всякой данной величины. Эти два вида переменных величин взаимно соответствуют один другому и должны быть рассматриваемы вместе. Так, в элементарной геометрии разность между длиной окружности круга и периметром вписанного или описанного многоугольника с произвольно большим числом сторон есть величина произвольно малая. Б. малые и Б. большие величины делят на различные порядки. Выбирая из данных переменных величин одну какую-нибудь за малую величину первого порядка, называют Б. малыми величинами того же первого порядка всякую Б. малую величину, отношение которой к данной есть величина конечная. Если же отношение это есть Б. малая величина и притом 1-го порядка, то ее называют Б. малой величиной 2-го порядка и т. д. Таким образом, если, напр., α есть бесконечно малая величина, а k какая-нибудь конечная величина, то kα есть также Б. малая величина 1-го порядка, а αn есть Б. малая величина n-го порядка. В то же время 1/α считается Б. большой величиной 1-го порядка, 1/αn — Б. большой величиной n-го порядка и т. д. Порядок малости или великости какой-нибудь переменной величины может быть не только целый, но и дробный, или иррациональный; так, напр., при Б. большом х 1-го порядка величина logx есть Б. большая величина Б. малого порядка. Громадное значение, какое имеют Б. малые величины в анализе, основано на следующих двух положениях: I. При разыскании предела отношения двух выражений, содержащих Б. малые величины различных порядков, можно отбросить все Б. малые величины кроме тех, порядок которых наименьший. II. При разыскании предела суммы выражения, содержащего Б. малые величины различных порядков, можно отбросить все Б. малые величины кроме тех, порядок которых наименьший. На этих положениях основано все дифференциальное и интегральное исчисление (см, это сл.). В течение долгого времени эти свойства Б. малых величин казались парадоксальными и возбуждали споры и возражения со стороны многих математиков. Предел функции Пусть дана функция y = f (x), определенная на множестве значений аргумента, содержащего некоторую точку а. Рассмотрим -окрестность точки а, где - малое положительное число : . Пусть для значений x, достаточно близких к а, т. е. принадлежащих d -окрестности точки а, соответствующие значения функции y=f(x) неограниченно приближаются к некоторому числу А. Это значит, что разность ( f (x) - A) все время уменьшается. В этом случае число А называется пределом функции y = f (x) при . О п р е д е л е н и е 1. Число А называется пределом функции y = f (x) при , если для любого сколь угодно малого e найдется малое положительное , такое, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство (рис. 63): . (4.2) Неравенство означает, что значения функции y = f (x) попадают в e -окрестность точки А на оси ОУ.
4.4. Правила предельного перехода
. (4.4)
. (4.5)
. (4.6)
. (4.7)
. (4.8)
. (4.9) Например, , . Приведем примеры на применение правил предельного перехода:
4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины О п р е д е л е н и е 1. Функция y = f (x) называется бесконечно малой величиной (Б.М.В.) при , если ее предел равен нулю (4.10) Геометрически это означает, что функция y = f (x) либо пересекает ось ОХ (рис. 65а), либо касается ее в точке x = a (рис. 65б).
О п р е д е л е н и е 2. Функция y = f (x) называется бесконечно малой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно малого числа найдется положительное число , такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .
Геометрически: для всех значений х, которые , значения функции попадают в -окрестность нулевой точки:
(4.13) О п р е д е л е н и е 5. Функция y = f (x) называется бесконечно большой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно большое число K(N) такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство : . (4.14)
В ы в о д ы:
или . (4.16)
4.6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними Пусть f1 (x) и f 2 (x) бесконечно малые величины при , т.е. и . 1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая: . (4.17) 2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая: . (4.18) 3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно малая: . (4.19) Пусть и бесконечно большие величины при , т.е. и . 1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая: . (4.20) 2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая: . (4.21) 3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая: (4.22) Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая. Пусть и , тогда и . Символически можно записать: и Примеры: 1) ; 2) ; 3) . П р и м е ч а н и е.При вычислении пределов возможны следующие комбинации бесконечно малых и бесконечно больших величин, которые называются неопределенностями: . 17.АРИФМЕТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ПРИДЕЛА. Арифметические свойства предела функции. Пусть функции f и g определены на интервале ( a, b ), кроме быть может точки x0. Если существует пределы и , то существуют пределы в левых частях равенств и имеют место эти равенства : a. б. Эти свойства вытекают из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств сходящихся последовательностей. 2. Если , то существует проколатая окрестность точки , где функция f ( x ) ограничена. Действительно, если взять = 1 0 , то из существования конечного предела следует, что существует 0, что для всех x : 0 | x - x0 | , выполняется | f ( x ) - A | 1, отсюда, | f ( x ) | - | A | | f ( x ) - A | 1 , т.е. 3. Если , то существует проколотая окрестность точки , что для всех x : Действительно, возьмем 0, тогда из существования конечного предела, следует, что существует окрестность , что для всех x : 4. Свойства, связанные с неравенствами. Если , и для всех x : f ( x ) g ( x ) , то AB Если = = A и для всех x : , то существует Доказательства этих свойств следуют из следующих свойств для сходящихся последовательностей и определения предела функции по Гейне. 18. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю. Первый замечательный предел имеет вид: На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде где, k – коэффициент. Пояснение: Следствия первого замечательного предела: Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или заменуэквивалентных бесконечно малых функций. Разберем несколько примеров нахождения предела по первому замечательному пределу сподробным оприсанием решения. Пример. Найти предел не пользуясь правилом Лопиталя Решение. Подставляем значение: Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения. Комбинация синуса и его аргумента подсказывает нам о применении первого замечательного предела, но для этого сначала нужно немного преобразовать выражение. Домножим на 3х и числитель и знаменатель дроби. В силу следствия из первого замечательного предела , поэтому приходим к результату: Ответ: Пример. Вычислить предел Решение. Подставляем значение: Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Преобразуем числитель, используя формулы тригонометрии. Стало видно, что здесь можно применить первый замечательный предел: Ответ: Пример. Вычислить предел Решение. Подставляем значение: Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Сделаем замену. Пусть , следовательно, при . Тогда предел после замены переменной примет вид: Ответ: предел имеет вид: 19.ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. Число e (число Эйлера) является иррациональным и приблизительно равно . Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают lnx (lnx=logex) Второй замечательный или в другой записи В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность . Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу сподробным оприсанием решения. Пример. Вычислить предел Решение. Подставляем бесконечность: Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела. Сделаем замену переменных. Пусть Если , то Исходный предел после замены примет вид: Ответ: Пример. Вычислить предел Решение. Подставляем бесконечность: Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции: Тогда предел запишется в виде: Сделаем замену переменных. Пусть Если , то Исходный предел после замены примет вид: В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов. Ответ: Пример. Вычислить предел Решение. Преобразуем функцию, чтобы применить второй замечательный предел: Сейчас домножим показатель на и разделим на это же выражение, затем используем свойства степени: Так как показатели степени числителя и знаменателя дроби одинаковые (они равны 6), то предел этой дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях (см. непосредственное вычисление пределов): Если произвести замену , то получим второй замечательный предел в чистом виде, следовательно, Ответ: 20. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН. | ||||||||||||||