Математика ответы на билеты(1курс). 1. системы координат
 Скачать 1.89 Mb.
|
Теорема РолляТеорема Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения) Пусть функция
Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой . Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля) Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс. Следствие. Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной. 28. ТЕОРЕМА ФЕРМА Теорема ФермаТеорема Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной) Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть . Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма) В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. 29.ТЕОРЕМА КОШИ Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций) Если функции и :
тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что Теорема Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке. Теорема Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое. 30. МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Монотонность функции, основные понятия и определенияОпределение Функция называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. Пример Функция является возрастающей на промежутке , так как: для Определение Функция называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е. Пример Функция является строго убывающей на промежутке , так как: для Функция строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке. Определение Функция называется неубывающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство . Функция называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство . Связь монотонности функции с ее производнойТеорема (Об условии возрастания/убывания монотонной функции) Если производная функции на некотором промежутке , то функция возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция убывает на этом промежутке. Замечание Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то или не существует. Пример Задание. Исследовать функцию на монотонность на всей числовой прямой. Решение. Найдем производную заданной функции: Для любого действительного : , а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси. Ответ. Функция возрастает на всей действительной оси. 31. Асимптоты. Точки перегиба. Построение графиков функций Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.
Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения. В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел. (В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом: для корня четной степени, например, - область определения находится из неравенства ; для логарифма - область определения находится из неравенства ). Перейти к подробному описанию нахождения области определения функции...
На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны. В нашем примере граничными точками области определения являются . Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы: Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.
Функция является четной, если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат. Функция является нечетной, если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат. Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида. В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy.
Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными. Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. ЗАМЕЧАНИЕ (включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).
Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции. Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции
Поехали! Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел дифференцирование функции, нахождение производной). Находим критические точки, для этого:
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс. Делаем вывод:
Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания. Точками экстремума функцииявляются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак. В нашем примере точкой экстремума является точка х=0. Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0, то (0; 0)является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).
Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно. Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх. Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания. Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции:
Поехали! Находим вторую производную на области определения. Далее ищем нули числителя и знаменателя. В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя . Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка. Делаем вывод:
Точка называется точкой перегиба, если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через . Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции. В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.
Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности. Наклонные асимптотыищутся в виде прямых , где и . Если k=0и bне равно бесконечности, то наклонная асимптота станетгоризонтальной. Кто такие вообще эти асимптоты? Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции. Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции. Для нашего примера - горизонтальная асимптота. На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.
Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции). Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2, х=-1, х=-3/4, х=-1/4. В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2, х=1, х=3/4, х=1/4.
Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =). 32. Логарифмическое дифференцирование. При дифференцировании показательно степенной функции или громоздких дробных выражений удобно пользоваться логарифмической производной. В этой статье мы рассмотрим примеры ее применения с подробными решениями. Дальнейшее изложение подразумевает умение пользоваться таблицей производных,правилами дифференцирования и знание формулы производной сложной функции. Вывод формулы логарифмической производной. Сначала производим логарифмирование по основанию e, упрощаем вид функции, используя свойства логарифма, и далее находим производную неявно заданной функции: Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x. Логарифмирование дает . По свойствам логарифма . Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату: Ответ: . Этот же пример можно решить и без использования логарифмической производной. Можно провести некоторые преобразования и перейти от дифференцирования показательно степенной функции к нахождению производной сложной функции: Пример. Найти производную функции . Решение. В этом примере функция представляет собой дробь и ее производную можно искать с использованием правил дифференцирования. Но в силу громоздкости выражения это потребует множества преобразований. В таких случаях разумнее использовать формулу логарифмической производной . Почему? Вы сейчас поймете. Найдем сначала . В преобразованиях будем использовать свойства логарифма (логарифм дроби равен разности логарифмов, а логарифм произведения равен сумме логарифмов, и еще степень у выражения под знаком логарифма можно вынести как коэффициент перед логарифмом): Эти преобразования привели нас к достаточно простому выражению, производная которого легко находится: Подставляем полученный результат в формулу логарифмической производной и получаем ответ: 33. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение. Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом: Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков. Определение Дифференциалом-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала-го порядка этой функции, то есть Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев. |