Математика ответы на билеты(1курс). 1. системы координат

• Название: 1. системы координат
• Анкор: Математика ответы на билеты(1курс).docx
• Дата: 18.05.2017
• Размер: 1.89 Mb.
• Имя файла: Математика ответы на билеты(1курс).docx
• Тип: Документы; #7864
• страница: 2 из 7

Скалярное произведение в координатах.

Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов  и .

То есть, для векторов  на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
а для векторов  в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.

Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.

Сначала докажем равенства  для векторов  на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы  и . Тогда  (при необходимости обращайтесь к статьямоперации над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).

Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать . Так как , то последнее равенство можно переписать как , а по первому определению скалярного произведения имеем , откуда .

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем


Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств  для векторов , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве .

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов  и  справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. 
   свойство коммутативности скалярного произведения ;
   
2. 
   свойство дистрибутивности  или ;
   
3. 
   сочетательное свойство  или , где  - произвольное действительное число;
   
4. 
   скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор  нулевой.
   

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению  и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо  и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,  и , откуда следует

Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.

Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
    или ;
   
4. 
   .
   

Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.

Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.

Пример.

Вычислите скалярное произведение двух векторов  и , если их длины равны 3 и 7единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Решение.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .

Ответ:

.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора  и , найдите их скалярное произведение.

Решение.

В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:


Ответ:

.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов  и , если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости .

Решение.

Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:


Теперь можно использовать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах:


Ответ:

.

Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов  и , если векторы  и  перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Решение.

. По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем . Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:


В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
.

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем . Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:


Ответ:

.

Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов  и , если , а проекция вектора  на направление вектора  имеет координаты .

Решение.

Векторы  и  противоположно направленные, так как , следовательно, числовая проекция вектора  на направление вектора будет равна длине вектора  со знаком минус: .

Вычисляем скалярное произведение .

Ответ:

.

Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.

Пример.

При каком значении  скалярное произведение векторов  и  равно -1.

Решение.

Так как скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат, то . С другой стороны по условию . Тогда искомое значение  находим из уравнения , откуда .

Ответ:


6.ВЕКСТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. СВОЙСТВА ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Определители очень полезны не только для решения симстем уравнений, но и при изучении очень многих других вопросов. Так, с помощью определителей можем вычислить векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Соответственно, можем использовать их в решении различных физических задач для определения моментов силы, инерции и т.д., в электричестве. Также легко вычислять площадь параллелограмма, зная координаты трех его вершин.

Определение. Векторным произведением векторов  и , угол между которыми равен , называется вектор, модуль которого равен , перпендикулярный плоскости векторов , направленный так, чтобы тройка векторов  была правой (если смотреть с конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого ко второму должен происходить против часовой стрелки).

Обозначение.  или .

Свойства векторного произведения

1. .

2. .

3. .

4. Пусть вектора имеют координаты  и  в прямоугольной системе координат. Тогда их векторное произведение — вектор

{\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3
\end{array}\right|={\bf i}\left|\begin{array}{cc}
a_2&a_3\\
b_2&b_3
\end{array}\right|-{\bf j}\left|\begin{array}{cc}
a_1&a_3\\
b_1&b_3
\end{array}\right|+{\bf k}\left|\begin{array}{cc}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}\right|." ALIGN=BOTTOM WIDTH=461 HEIGHT=67 BORDER=0>
(Равенство проверяется непосредственно).

С помощью определителей можем легко вычислить ориентированный объем — смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, легко сможем найти объем параллелепипеда, если известны координаты его вершин.

Определение. Смешанным произведением векторов  называется

Обозначение.  либо .

7.СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.СВОЙСТА ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Свойства смешанного произведения

1.  ({\bf a},{\bf b},{\bf c})=({\bf b},{\bf c},{\bf a})=({\bf c},{\bf a},{\bf b}) =\\
=-({\bf b},{\bf a},{\bf c})=-({\bf c},{\bf b},{\bf a})=-
({\bf a},{\bf c},{\bf b}).
\end{array}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=298 HEIGHT=40 BORDER=0>

2.  тогда и только тогда, когда векторы  и  линейно зависимы.

3. Смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах  и , взятому со знаком плюс, если тройка  ориентирована так же, как тройка координатных векторов  и со знаком минус в противоположном случае.

4. Если векторы  имеют координаты  соответственно в прямоугольной системе координат, то

a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
c_1&c_2&c_3
\end{array}\right|." ALIGN=BOTTOM WIDTH=221 HEIGHT=67 BORDER=0>

Задачи.

1. Найдите векторное произведение векторов, если

2. Упростите выражение

3. Найдите смешанное произведение векторов, если

4. Найдите объем треугольной призмы, основание которой построено на векторах  и , а боковое ребро совпадает с вектором .

8.ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ НА ПЛОСКОСТИ.

9. КРИВЫЕ 2 ПОРЯДКА

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

 

Определение 11.1. Кривыми второго порядка  на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

 

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

 

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

 

                                           Эллипс.        

 

Определение 11.2. Эллипсом  называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Замечание. При совпадении точек F₁ и F₂ эллипс превращается в окружность.

                                      Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

   у              М(х,у)        координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F₁F₂, начало     

         r₁      r₂                           координат – с серединой отрезка F₁F₂. Пусть длина этого 

                                       отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат

F₁   O   F₂              x       F₁(-c, 0), F₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и                

                                        сумма расстояний от нее до F₁ и F₂ равна 2а.

                                       Тогда r₁ + r₂ = 2a, но  ,

поэтому  Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса:                                                                               (11.1)

 

Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а    (11.2)

 

Определение 11.4. Директрисой D_iэллипса, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

 

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

 

                         Свойства эллипса:

1)       Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2)       Весь эллипс содержится внутри прямоугольника 

3)       Эксцентриситет эллипса e < 1.                                                           

Действительно, 

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

 Составим уравнения директрис:

  (D₁),   (D₂). Тогда   Отсюда r_i / d_i = e, что и требовалось доказать.

 

                                   Гипербола.

 

Определение 11.5. Гиперболой  называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r₁ - r₂| = 2a, откуда  Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить

                    

                 - каноническое уравнение гиперболы.             (11.3)

 

 Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

 

Определение 11.7. Директрисой D_i гиперболы, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

 

                        Свойства гиперболы:

1)        Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2)        Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

                                    и   .

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

                   ,                                                                      (11.3`) 

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5)   Отношение расстояния r_iот точки гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

 

 

                                       Парабола.

 

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусомпараболы, а прямая – ее директрисой.

             у                                    Для вывода уравнения параболы выберем декартову

                                                  систему координат так, чтобы ее началом была середина

            d          M(x,y)         перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

                      r                     су, а координатные оси располагались параллельно и

                                             перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

 D   O      F            x             равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

                                                         поскольку

 Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду:    y² = 2px ,                                                                 (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

 

                       Свойства параболы:

1)       Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2)       Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

 

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

 

     Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

 

Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

             ,                                             (11.5)

называется алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы  можно задать матрицу

                  .                                                                                  (11.6)

   Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1)       поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2)       параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

  Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:

               (в предположении, что λ_1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

             . Получим в новой координатной системе уравнение

                                             .                                                     (11.7)

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ₁, λ₂ и :

1)       если собственные числа матрицы А λ₁ и  λ₂  и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

                               , где       

(случаи  и , имеющего знак, противоположный знаку λ₁, λ₂, будут рассмотрены в следующей лекции).

2)       если λ₁ и  λ₂  имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:

   или    , в зависимости от знака .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

                              ,                                                                              (11.8)

являющимся каноническим уравнением параболы.

 

Пример.

Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка

                3x² + 10xy +3y² - 2x – 14y – 13 = 0.

Матрица квадратичной формы  3x² + 10xy + 3y² имеет вид:

                           .

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение:  Для координат собственного вектора е₁, соответствующегоλ₁, получим с учетом нормировки:

 , откуда e₁ = {}. Аналогично найдем е₂: ,

e₂ = {}. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: . Тогда

. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат:  Заметим, что коэффициентами при x² и y² являются λ₁ и λ₂.

Преобразуем полученное уравнение: 

 Зададим параллельный перенос формулами: . Получим уравнение:  , а после деления на 8:

 - каноническое уравнение гиперболы.

10.ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.

11. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

 (1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), - двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (4)

, (5)

где p и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), - гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть М - произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости ,  - основание перпендикуляра, опущенного на плоскость  из точки М. Переместим точку М по прямой  в новое положение  так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости  изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F’. Будем говорить, что поверхность F’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия  и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом  и пусть  - точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x’, y’, z’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM’ перпендикулярна к плоскости Oxy, то x’=x, y’=y. С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число , то .

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

, ,  (6)

или

, ,  (7)

Предположим, что M(x; y; z) - произвольная точка сферы

.

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

,

откуда

.

Следовательно, точка M’(x’; y’; z’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

, , ;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

Однополостный гиперболоид

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;

, ,

где  и  - некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

, ;

, .

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L - направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

12.МАТРИЦЫ, ПРАВИЛО КРАМЕРА.

Для любой квадратной матрицы может быть найдена величина, называемая определителем.

Определитель — это квадратная таблица чисел или матиматических символов (Δd).

Для матрицы второго порядка определитель вычисляется по формуле:

Разложение по строке или столбцу

Формулы разложения по строке или столбцу:

Первые n формул называются формулами разложения определителя по строке, а вторые n формул называются формулами разложения определителя по столбцу.

В этих формулах - алгебраические дополнения элементов а_ij матрицы А, где M_ij — миноры элементов а_ij матрицы А.

Минором M_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij/

Правило Саррюса

Дописывание двух первых строк или столбцов.

В этом случае считаем так: a11*а22*а33 + а12*а23*31+а13*а21*а32 — а13*а22*а31 — а11*а23*а32 — а12*а21*а33

Пример 32.2

Вычислить определитель двумя способами: с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника:

Решение:

Свойства определителей

Свойство (1)
Определитель не изменится, если все строки заменить соответствующими столбцами и наоборот.

Свойство (2)
При перестановке двух каких-либо строк или столбцов местами определитель изменяет знак.

Свойство (3)
Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца).

Свойство (4)
Множитель, общий для всех элементов строки или столбца, можно выносить за знак определителя.

Свойство (5)
Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, то определитель не изменится.

Следствие из свойств 32.4 и 32.5: Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

Свойство (6)
Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки или столбца равна нулю.

Пример 32.3

Вычислить определитель, используя свойства:

Решение:

1. Третью строку умножим на подходящие множители и прибавим к остальным:

получим:

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Решение систем уравнений

Пусть имеется система уравнений:

Обозначим через Δ определитель матрицы системы и через Δ_j определитель, который получается из определителя Δ заметой j-го столбца столбцом правых частей системы ( j=1,2,...n).

Теорема 1

Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле: 

Нахождение обратной матрицы

Путь имеется матрица:

Матрица:

13. Теорема Крамера Капелли, МЕТОД ГАУССА

 Теорема. Система изn уравнений сn неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

, где=detA,  аi– определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбцаiстолбцом свободных членовb_i.
i=