Математика ответы на билеты(1курс). 1. системы координат

• Название: 1. системы координат
• Анкор: Математика ответы на билеты(1курс).docx
• Дата: 18.05.2017
• Размер: 1.89 Mb.
• Имя файла: Математика ответы на билеты(1курс).docx
• Тип: Документы; #7864
• страница: 7 из 7

Случай независимой переменной

Пусть  - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где  - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению

Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина  является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала  применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:

Итак,

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции 

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ. 

Больше примеров решенийРешение производных онлайн

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция . Тогда

где  в общем случае не является постоянной величиной. Поэтому дифференциал от функции берем как дифференциал от произведения

Пример

Задание. Найти дифференциал второго порядка  функции , где  и  - независимая переменная.

Решение. Решим пример разными способами и сравним ответы.

1-ый способ. Согласно формуле, имеем, что искомый дифференциал

Найдем все необходимые компоненты формулы. Из условия имеем:

А тогда:

2-ой способ. Из того, что  и , получаем:

А тогда

Найдем вторую производную функции :

Окончательно имеем:

Ответ. 
34. Формула тейлора

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.
Формула Тейлора

, где R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора.

35. Функции нескольких переменных. Непрерывность. Дифференцируемость.

Введем одно важное вспомогательное понятие — понятие окрестности данной точки.

Окрестностью радиуса  точки  называется совокупность всех точек  удовлетворяющих неравенству , т. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса  с центром в точке .

Если мы говорим, что функция  обладает каким-либо свойством «вблизи точки  или «в окрестности точки , то под этим подразумеваем, что найдется такой круг с центром  во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством.

Прежде чем рассматривать понятце непрерывности функции нескольких переменных, рассмотрим понятие предела функции нескольких переменных.

Пусть дана функция

определенная в некоторой области G плоскости  Рассмотрим некоторую определенную точку  лежащую в области G или на ее границе (рис. 170).

Рис. 170.

Определение 1. Число А называется пределом функции  при стремлении точки  к точке  если для каждого числа  найдется такое число  что для всех точек  для которых выполняется неравенство  имеет место неравенство

Если число А является пределом функции  при  то пишут

Определение 2. Пусть точка  принадлежит области определения функции  Функция  называется непрерывной в точке  если имеет место равенство

причем точка  стремится к точке  произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Если обозначим  то равенство (1) можно переписать так:

или

Обозначим . При  и обратно, если , то .

Замечая, далее, что выражение, стоящее в квадратных скобках в равенстве , есть полное приращение функции равенство  можно переписать в форме

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

Если в некоторой точке  не выполняется условие (1), то точка  называется точкой разрыва функции  Условие  может не выполняться, например, в случаях:

1)  определена во всех точках некоторой окрестности точки  за исключением самой точки  функция  определена во всех точках окрестности точки  но не существует предела  функция определена во всех точках окрестности  и существует предел  но

Пример 1. Функция  непрерывна при любых значениях х и у, т. е. в любой точке плоскости 

Действительно, каковы бы ни были числа  имеем

следовательно, 

Приведем пример разрывной функции.

Пример 2. Функция определена всюду, кроме точки 

Рассмотрим значения t вдоль прямой  Очевидно, вдоль этой прямой

т. е. функция  вдоль всякой прямой, проходящей через начало координат, сохраняет постоянное значение, зависящее от углового коэффициента k прямой.

Рис. 171.

Рис. 172.

Поэтому, подходя к началу координат по различным путям, мы будем получать различные предельные значения, а это значит, что функция  не имеет предела, когда точка  на плоскости  стремится к началу координат. Следовательно, функция разрывна в этой точке. Этуфункцию нельзя доопределить в начале координат так, чтобы она стала непрерывной. Легко видеть, с другой стороны, что в остальных точках эта функция непрерывна.

Укажем без доказательства некоторые важные свойства функции многих переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области. Эти свойства аналогичны свойствам непрерывной на отрезке функции одной переменной (см. § 10 гл. II).

Свойство 1. Если функция  определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в области D найдется по крайней мере одна точка  такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение

и по крайней мере одна точка  такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение

Значение функции  будем называть наибольшим значением функции  в области D, а значение  наименьшим значением.

Это свойство формулируют и так. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения 

Свойство 2. Если функция  непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и если М и  — наибольшее и наименьшее значения функции  в области, то для любого числа  удовлетворяющего условию  найдется в области такая точка  что будет выполняться равенство 

Следствие свойства 2. Если функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция  обращается в нуль.

36. Повторное дифференцирование.

37. Геометрический смысл частных производных.

Выясним геометрический смысл частной производной функции двух переменных  Как известно, графиком функции  является некоторая поверхность. Рассмотрим точку  в плоскости  и соответствующую точку  на поверхности (рис. 219). Сделаем параллельный перенос осей с новым началом в точке  и рассмотрим плоскую кривую  которая получится при сечении поверхности новой координатной плоскостью  (т. е. плоскостью  в старой системе координат). Эту кривую можно рассматривать как гграфик функции одной переменной  в плоскости  (т. е. в плоскости  в старой системе). Но тогда, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной,  где - угол с осью  или, что то же, с осью  касательной, проведенной к кривой  в точке другой стороны,

Отсюда следует, что . Итак, значение частной произеодной в точке  равно тангенсу угла у составленного с осью  касательной, проведенной в точке  к линии пересечения поверхности  и плоскости у В этом заключается геометрический смысл частной производной  Аналогично выясняется геометрический смысл частной производной 

38. Дифференциал функции нескольких переменных.

39. Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция U = F (X, Y, Z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(X,Y,Z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cosA, cosB, cosG. На векторе S на расстоянии DS от его начала найдем точку М1(Х+DХ, у+DУ,Z+DZ), где

Представим полное приращение функции F в виде:

После деления на ΔS получаем:

Поскольку

Предыдущее равенство можно переписать в виде:

Предел отношения Называется Производной от функции U = F (X, Y, Z) По направлению вектора Sи обозначается

При этом

Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при

Получаем:

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями Х = х0 И У = у0. Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению L в точке М(х0 , у0) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси OZ и прямой L.

Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции U= F (X, Y, Z) в этой точке, называется Градиентом функции U = F (X, Y, Z).

Обозначение:

Свойства градиента

1. Производная  по направлению некоторого вектора SРавняется проекции вектора grad U на вектор S.

Доказательство.

Единичный вектор направления S имеет вид ES ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad U и Es, то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad U |, если это направление совпадает с направлением градиента.

Доказательство.

Обозначим угол между векторами SИ grad U Через J. Тогда из свойства 1 следует, что

Следовательно, ее наибольшее значение достигается при J=0 и равно |gradU|.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad U , равна нулю.

Доказательство.

В этом случае

4. Если Z = F (X,Y) – функция двух переменных, то

Направлен перпендикулярно к линии уровня F (X,Y) = C, проходящей через данную точку.

40. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.

Теорема.Пустьu  = f (х, у) задана в области D и пустьх = х(t ) иу = у(t ) определены в области ,  причём, когда, то х и у принадлежат области D. Пусть функция u дифференцируема в  точке M₀(x₀,y₀,z₀),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t₀, то  сложная функция u = f[x(t),y(t)]=F (t)дифференцируема в точке t₀и имеет место равенство:

.

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x₀, y₀), то её полное приращение представляется в виде

.

                    Разделив это соотношение на , получим:

.

                     Перейдём к пределу при  и получим формулу

    .

Замечание 1. Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции uпо переменной х

 или .

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F(x, y) = 0, где y = y(x) (см. тему № 3  и пример 14).

Имеем: . Отсюда .                  (6.1)

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

;

;

;

.

Как видим, ответы совпали.

Замечание 2. Пусть u = f (х, у), где х = х(t , v), у = у(t , v). Тогда u есть в конечном счёте сложная функция двух  переменных t и v. Если теперь функция u дифференцируема в точке M₀ (x₀, y₀), а функциих и у дифференцируемы   в соответствующей точке (t₀, v₀), то можно говорить о частных производных по t и v от сложной функции в точке (t₀, v₀). Но если мы говорим о частной производной по t в указанной точке,  то вторая переменная v считается постоянной и равной v₀. Следовательно, речь идёт о производной только от сложной функции по t и, следовательно, мы можем воспользоваться выведенной формулой. Таким образом,   получим:

 и .

Пример 13.Найти полную производную функции u = x^y,где x =sint, y =cost .

.

41. Экстремумы функции нескольких переменных.

 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство , ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если - точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка . Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти частные производные первого порядка: и .

2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка: , , .

4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5. Найти экстремумы функции.

Пример 6. Найти экстремумы функции .

Решение. 1. Находим частные производные и :

2. Для определения критических точек решаем систему уравнений

или

Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим

откуда

Находим значения y, соответствующие значениям . Подставляя значения в уравнение , получим: .

Таким образом, имеем две критические точки: и .

3. Находим частные производные второго порядка:

4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:

, , .

Так как

,

то в точке экстремума нет.

В точке :

, ,

и, следовательно,

.

Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке функция имеет минимум, так как в этой точке и .

5. Находим значение функции в точке :

42. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа




.