Математика ответы на билеты(1курс). 1. системы координат
 Скачать 1.89 Mb.
|
Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малыхЧто тут сказать… Если существует предел , то функция называетсябесконечно малой в точке. Существенным моментом утверждения является тот факт, что функция может быть бесконечно малойлишь в конкретной точке. Начертим знакомую линию : Данная функция бесконечно малА в единственной точке: Следует отметить что, в точках «плюс бесконечность» и «минус бесконечность» эта же функция будет уже бесконечно большой: . Или в более компактной записи: Во всех других точках, предел функции будет равен конечному числу, отличному от нуля. Таким образом, не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большойтолько в конкретной точке. ! Примечание: для краткости я часто буду говорить «бесконечно малая функция», подразумевая, что она бесконечно малА в рассматриваемой точке. Таких точек может быть несколько и даже бесконечно много. Изобразим какую-нибудь непуганую параболу: Представленная квадратичная функция является бесконечно малой в двух точках – в «единице» и в «двойке»: Как и в предыдущем примере, на бесконечности данная функция является бесконечно большой: Смысл двойных знаков: Запись обозначает, что при, а при. Запись обозначает, что при, а при. Запись обозначает, что и при, и при. Запись обозначает, что и при, и при. Прокомментированный принцип «расшифровки» двойных знаков справедлив не только для бесконечностей, но и для любых конечных точек, функций и ряда других математических объектов. А теперь синус . Это пример, когда функция бесконечно малА в бесконечном количестве точек: Действительно, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»: Заметьте, что сверху/снизу функция ограничена, и не существует такой точки, в которой бы она была бесконечно большой, синусу остаётся разве что облизываться на бесконечность. Отвечу ещё на пару простых вопросов: Может ли функция быть бесконечно малой на бесконечности? Конечно. Таких экземпляров воз и маленькая тележка. Элементарный пример: . Геометрический смысл данного предела, к слову, проиллюстрирован в статье Графики и свойства функций. Может ли функция НЕ БЫТЬ бесконечно малой? (в любой точкеобласти определения) Да. Очевидный пример – квадратичная функция, график которой (парабола) не пересекает ось . Обратное утверждение, кстати, в общем случае неверно – гипербола из предыдущего вопроса, хоть и не пересекает ось абсцисс, нобесконечно малА на бесконечности. Сравнение бесконечно малых функцийВ статье Методы решения пределов были подробно рассмотрены гиганты, которые мерялись между собой порядком роста, и ситуацию контролировала самая большая особь. Общество карликов устроено точно так же, только соревнуются они в другой весовой категории – порядке малости. Среди лилипутов тоже существуют свои великаны, кто самый крупный – тот и девушку танцует. Проясним ситуацию. Рассмотрим следующую бесконечно малую функцию: Да, совершенно понятно, что предел равен нулю, но обратим внимание на довольно любопытную вещь: в пределе находится сумма функций , и некоторые из них будут стремиться к нулю быстрее, а некоторые – медленнее. Об этом я уже немного рассказывал в Примере №7 урока Методы решения пределов. Построим последовательность , которая стремится к нулю, и вычислим несколько значений трёхчлена : Очевидно, что с уменьшением значений «икс», функция убегает к нулю быстрее всех остальных (её значения обведены красным цветом). Говорят, что функция более высокого порядка малости, чем функции , а также более высокого порядка малости, чем . Но быстро бегать в Стране лилипутов – не есть доблесть, «тон задаёт» самый нерасторопный карлик , который, как и полагается боссу, идёт к нулю медленнее всех. Именно от него зависит, насколько быстро сумма приблизится к нулю: Образно говоря, бесконечно малая функция «поглощает» всё остальное, что особенно хорошо видно по итоговому результату третьей строки. Иногда говорят, что более низкого порядка малости, чем и их сумма. В рассмотренном пределе, всё это, конечно, не имеет особого значения, ведь в результате всё равно получается ноль. Однако «лилипуты-тяжеловесы» начинают играть принципиально важную роль в пределах с дробями. Начнём с примеров, которые, пусть редко, но встречаются в реальных практических работах: Пример 1 Вычислить предел Здесь неопределённость , и из вводного урока о пределах функций вспоминаем общий принцип раскрытия данной неопределённости: нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а потом что-нибудь сократить: На первом шаге в числителе выносим за скобки , а в знаменателе «икс». На втором шаге сокращаем числитель и знаменатель на «икс», устраняя тем самым неопределённость. Указываем, что оставшиеся «иксы» стремятся к нулю, и получаем ответ. В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости, чем функция знаменателя. Или короче: числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Что это значит? Числитель стремится к нулю быстрее, чем знаменатель, именно поэтому в итоге и получился ноль. Как и в случае с бесконечно большими функциями, ответ можно узнать заранее. Приём аналогичен, но отличается тем, что в числителе и в знаменателе нужно МЫСЛЕННО отбросить все слагаемые со СТАРШИМИ степенями, поскольку, как отмечалось выше, определяющее значение имеют медленные карлики: Пример 2 Вычислить предел Ноль на ноль…. Давайте сразу узнаем ответ: МЫСЛЕННО отбросим все старшие слагаемые (быстрых карликов) числителя и знаменателя: Алгоритм решения, точно такой же, как и в предыдущем примере: В данном примере знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель. При уменьшении значений «икс», самый медленный карлик числителя (и всего предела) становится настоящим монстром по отношению к своему более быстрому оппоненту . Например, если , то – уже в 40 раз больше…. не монстр ещё, конечно, при данном значении «икс», но такой уже субъект с большим пивным животом. И совсем простой демонстрационный предел: Пример 3 Вычислить предел Узнаем ответ, МЫСЛЕННО отбросив все старшие слагаемые числителя и знаменателя: Решаем: В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя. Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости. На самом деле сравнение бесконечно малых функций давно фигурировало на предыдущих уроках: Напоминаю заодно, что «икс» может стремиться не только к нулю, но и к произвольному числу, а также к бесконечности. 21.НЕПЕРЫВНОСТЬ ФФУНКЦИИ, КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕКК РАЗРЫВА. Определение непрерывности функции в точке. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть . Следствие. ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ. Пример. Доказать непрерывность функции в точке . Решение. Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками. Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2, поэтому . Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид На рисунке соответствующие значения показаны синими точками. Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2, поэтому . Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, существует предел функции в точке , причем Вычислив значение функции в точке можно говорить о выполнении равенства , это доказывает непрерывность исходной функции в точке. Графическая иллюстрация. Определение устранимого разрыва первого рода. В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть . Пример. Найти точки разрыва функции и определить их тип . Решение. Найдем область определения функции: Точкой разрыва нашей функции может быть только граничная точка области определения, то есть . Проверим функцию на непрерывность в этой точке. На области определения выражение можно упростить: Находим пределы слева и справа. Так как функция непрерывна при любом действительном х, то Следовательно, пределы слева и справа равны, а сама функция в точке не определена, поэтому, в точке функция имеет устранимый разрыв первого рода. Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции). В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку в этом случае называют точкой скачка функции. Пример. Исследовать кусочно-непрерывную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж. Решение. Разрывы могут быть лишь в точках или . Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках. Слева от точки наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции . В самой точке наша функция есть , поэтому . На промежутке наша функция есть и в силу непрерывности квадратичной функции В точке наша функция есть , поэтому . Справа от наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции В итоге имеем:
Графическая иллюстрация. Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв). В точке функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен. Пример. Исследовать функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж. Решение. Областю определения функции является интервал . Найдем пределы функции слева и справа от точки . Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к слева. Например, и соответствующую ей последовательность значений функции Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому, . Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к справа. Например, и соответствующую ей последовательность значений функции Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому, . Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода. Графическая иллюстрация. 22.производная и ее свойства. Определение: Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу приращение , такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение. Если существует предел этого отношения при стремящемся к нулю, то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают . Иначе говоря: (— приращение функции, — приращение аргумента). Если в каждой точке из множества у функции существует производная, то такая функция называется дифференцируемой на множестве . Геометрический смысл производной: — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке уравнение касательной в этой точке . Правила дифференцирования Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором множестве , и — любые действительные числа. Тогда на множестве справедливы соотношения:
Основные формулы дифференцирования. 23. производная сложной и обратной функции. Пусть у = f(и) и u = φ(х)- тогда у = f(φ{x)) — сложная функция с промежуточным аргументом и н независимым аргументом х. По условию Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем илигде . Функция u = φ(х) имеет производную в точке х: , поэтому Подставив значение Δи в равенство (20.6), получим т.е.Разделив полученное равенство на Δх и перейдя к пределу при Δх→0, получим Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у = f(u), u = φ(v), v = g{х), то Пусть у = f(x) и х = φ(y)— взаимно обратные функции. Рассмотрим обратную функцию х = φ(y). Дадим аргументу у приращение Δу ≠ 0. Ему соответствует приращение Δх обратной функции, причем Δх ≠ 0 в силу строгой монотонности функции у = f(x). Поэтому можно записать Если Δy→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение Δх→0. И так как , то из (20.7) следуют равенства Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Правило дифференцирования обратной функции записывают так: Пример 1. Найти производную функции Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: , где , где z = tg q, где q =. . По правилу дифференцирования сложной функции ()получаем: Пример 2. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции Решение: Обратная функция имеет производную . Следовательно, 24.геометрический смысл производной. Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y= f(x) в этой точке. Рассмотрим график функции y= f ( x): Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+x)−f(x0)=tg, где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. 25. ДЕФФЕРЕНЦИАЛ. Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов: где при . Определение Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом: Замечание Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения. Замечание Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента: Замечание Формулу для дифференциала функции можно записать в виде: Отсюда получаем, что Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента. |