Изучение наглядной геометрии в 5-6 классах. Диплом. 1. Теоретические основы проблемы геометрической пропедевтики в математическом образовании Из истории решения проблемы геометрической пропедевтики в математическом образовании

• Название: 1. Теоретические основы проблемы геометрической пропедевтики в математическом образовании Из истории решения проблемы геометрической пропедевтики в математическом образовании
• Анкор: Изучение наглядной геометрии в 5-6 классах
• Дата: 29.03.2022
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: Диплом.docx
• Тип: Исследование; #425430
• страница: 1 из 8

1. Теоретические основы проблемы геометрической пропедевтики в математическом образовании

1.1. Из истории решения проблемы геометрической пропедевтики в математическом образовании

Геометрия - одна из древнейших отраслей математики. Геометрические тела были известны задолго до того, как были выведены математические принципы. Геометрия - это математическое исследование точек, линий, плоскостей, замкнутых плоских фигур и твердых тел. Используя это, можно описать или построить каждый видимый и невидимый предмет.

Геометрия происходит от слова «geo» - земля, «metria» - мера. Геометрия возникла как область знаний, занимающаяся пространственными отношениями. Геометрия одна из двух областей математики, вторая - арифметика, или алгебра.

Геометрия с практической точки зрения - это потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала важной, когда Египетский фараон хотел обложить налогом фермеров, которые выращивали урожай вдоль реки Нил. Чтобы вычислить правильную сумму налога, люди фараона должны были измерить количество обрабатываемой земли.

Около 2900 лет до нашей эры была построена первая египетская пирамида. Знание геометрии было необходимо для построения пирамид, которые состояли из квадратного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется 2000 годом до нашей эры. Египтяне и вавилоняне разработали практическую геометрию для решения повседневных проблем, но нет никаких доказательств того, что они логически выводили геометрические факты из основных принципов.

Именно греки 600 – 400 лет до нашей эры разработали принципы современной геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что сходственные стороны подобных треугольников пропорциональны.

Следующим считается Пифагор (569−475 лет до н. э.). Пифагор был первым математиком, логически выводящим геометрические факты из основных принципов. Пифагор основал братство под названием "пифагорейцы", которые преследовали знания в математике, науке и философии. Некоторые люди считают пифагорейскую школу местом рождения разума и логической мысли. Наиболее известным и полезным вкладом пифагорейцев была теорема Пифагора. Теория гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Евклид Александрийский (325−265 лет до н. э.) считается «отцом современной геометрии». Евклид ввел математическую строгость и аксиоматический метод, все еще используемый сегодня. Его книга «Начало», написанная около 300 лет до нашей эры, считается самым влиятельным учебником всех времен и народов. Книга «Начало» была известна всем образованным людям на западе до середины 20-го века. Евклид изобрел 23 определения, 5 постулатов и 5 аксиом.

Аксиома - это утверждение, которое принимается без доказательств. Как только он доказал свое первое утверждение, на его основе он доказал второе, затем третье и т. д. Этот процесс известен как аксиоматический подход. Элементы Евклида составляют основу современной геометрии, которая преподается сегодня в школах, колледжах и университетах.

До появления Рене Декарта (1596−1650) в геометрии не было крупных изменений. Декарт объединил алгебру и геометрию для создания аналитической геометрии. Аналитическая геометрия, также известная как координатная геометрия, включает размещение геометрической фигуры в системе координат для иллюстрации доказательств и получения информации с использованием алгебраических уравнений.

Следующее большое развитие в геометрии пришло с развитием неевклидовой геометрии. Карл Фридрих Гаусс (1777−1855) изобрел неевклидову геометрию, не основанную на постулатах Евклида. Параллельный постулат гласит, что через заданную точку на прямой есть одна и только одна прямая, параллельная этой линии. Неевклидова геометрия задала математическую основу для теории относительности Эйнштейна.

Методика преподавания наглядной геометрии в России началась в эпоху школьной реформы середины XIX в. Это было время общественного подъема, в котором педагогические вопросы занимали видное место. Достаточно вспомнить, что именно в это время было организовано Петербургское педагогическое общество, издавался целый ряд педагогических журналов, среди которых «Педагогический сборник», «Учитель», «Народная школа», «Семья и школа», «Русский педагогический вестник», «Педагогический листок» и многое другое. В 1864 г. принимается новый Устав школы, в котором были учреждены новые типы учебных заведений. В частности, появились двухклассные училища Министерства народного просвещения (которые с 1872 г. стали называться городскими). Естественно возник вопрос о введении в них начального подготовительного курса геометрии.

Заметим, что этот курс на протяжении своего существования получал различные названия в зависимости от своей основной цели. Например, начальный, досистематический, подготовительный, приготовительный, пропедевтический курс. Из этих названий ясно, что курс геометрии младших классов должен был, прежде всего, готовить учащихся к изучению систематического курса геометрии. Авторы, которые хотели подчеркнуть особенности способов изложения начального курса геометрии, отвечающих возрастным особенностям учащихся, называли его интуитивным, наглядным, опытным, эмпирическим.

Первым российским учебником по начальному курсу геометрии стала книга М. О. Косинского [71]. Заметим, что он работал в Смольном институте, где трудился К. Д. Ушинский, и находился под большим влиянием идей великого русского педагога, в частности его книги для начального обучения «Детский мир». В предисловии к своему курсу Косинский подробно и убедительно поясняет цель и необходимость введения наглядных курсов геометрии. Он пишет: «В высшей степени важно сгладить переход от наглядного к отвлеченному, сделать его постепенным, начать с рассуждений, основанных на внешних чувствах, и только мало-помалу присоединять к ним рассуждения, заставляющие работать способности внутренние». В этой книге проявилась одна из существенных особенностей курсов наглядной геометрии, а именно построение его на принципе фузионизма. В данном случае он означает слитное преподавание элементов планиметрии и стереометрии. Книга начинается с рассмотрения простейших пространственных фигур, «с протяжений о трех измерениях», на основе которых изучаются важнейшие понятия геометрии.

Учебник М. О. Косинского оказал большое влияние на становление и развитие курса наглядной геометрии в России. Он открыл целую серию работ, в которую вошли учебники того времени М. Борышкевича [23], Е. Волкова [29], З. Б. Вулиха [30].

Причем в них видное место заняли задачи на построение геометрических фигур, на основе которых изучались их свойства.

В 1872—1873 гг. в Петербургском педагогическом обществе велась жаркая дискуссия по поводу построения, содержания, методов преподавания курса начальной геометрии (подробные отчеты и протоколы этой дискуссии напечатаны в журнале «Семья и школа» за 1873 г.). И хотя полезность этого курса не вызывала никаких сомнений, его цели были понятными и общепризнанными, нашлось немало противников введения курса наглядной геометрии в реальную практику работы школы. Основная причина негативного отношения — перегрузка учебных планов и программ. В защиту пропедевтического курса геометрии выступили видные методисты-математики того времени В. А. Евтушевский, В. А. Латышев, А. Н. Страннолюбский [109].

Например, В. А. Евтушевский высказал мнение о необходимости разработки учебников по наглядной геометрии трех типов, а именно:

а) для начальной школы;

б) курсы практического характера, направленные на подготовку к реальной жизни;

в) пропедевтические курсы по наглядной геометрии для подготовки к изучению систематического курса евлидовой геометрии.

В. А. Латышев разработал два вида начального курса геометрии: элементарный и элементарно-теоретический. Первый — это курс, носящий практический характер, в его основу кладутся прикладные аспекты геометрии в различного рода измерениях, вычислениях площадей, объемов, в съемке планов и т.п. Отсюда большое значение в этом курсе отводится геометрическим построениям с помощью циркуля и линейки. Вместе с тем, Латышев говорит о том, что ученика нужно специально и постепенно готовить к овладению дедуктивным курсом геометрии. По его мнению, «рассмотрение форм должно предшествовать занятиям геометрией и составлять содержание приготовительного курса геометрии».

А. Н. Страннолюбский вошел в историю российского просвещения не только как выдающийся педагог-математик, но и как неустанный поборник высшего женского образования. Любопытно, что именно у него брала уроки математики юная Софья Корвин-Круковская (С.В. Ковалевская). Страннолюбский принял активное участие в дискуссии и отстаивал насущную необходимость введения курса наглядной геометрии в женских гимназиях.

Несмотря на все достижения, вопрос о постановке курса наглядной геометрии оставался открытым. Более того, наступил длительный период реакции. Новый министр просвещения Д. А. Толстой заменил более-менее либеральный школьный Устав 1864 г. По новому Уставу приблизительно половина учебного времени тратилась на изучение древних языков, и поэтому было резко сокращено число часов, отводимых на преподавание естественных наук, в том числе и на математику. Пропедевтический курс геометрии вообще был исключен из учебного плана.

Такое отношение к наглядному курсу геометрии продолжалось вплоть до конца XIX в. На рубеже XIX—XX столетий, как уже отмечалось выше, началась широкая реформа образования.

Преобразования касались как всей системы обучения в целом, так и обучения отдельным предметам. Преподавание математики подверглось особенно сильным изменениям. Ускорению школьной реформы во многом способствовала революция 1905 г. Итогом движения за реформу образования, как мы говорили выше, стали исторические Всероссийские съезды преподавателей математики.

Уже на первом пленарном заседании был заслушан большой доклад С. А. Богомолова [18] «Обоснование геометрии в связи с постановкой ее преподавания». В нем автор подробно остановился на общем значении курса геометрии и его основных целях.

В частности, он сказал: «Геометрия имеет выдающееся значение, как предмет общего и специального математического образования. Помимо сообщения начальных геометрических сведений, мы видим цель ее преподавания в развитии двух умственных способностей: интуиции пространства и логического мышления».

Одним из самых значительных выступлений был доклад А. Р. Кулишера «Начальный (пропедевтический) курс геометрии в средней школе. Его цели и осуществление». В нем, прежде всего, указаны недостатки систематического курса геометрии, основным из которых, с точки зрения докладчика, является то, что изучение геометрии начинается поздно и не с рассмотрения пространственных фигур, а «ребенок живет главным образом в мире разного рода многогранников с прямыми, по большей части, углами, чаще всего в мире прямоугольных параллелепипедов, кубов и немногих круглых тел (причем ему известны, самое большее, названия куба и шара), мы склонны думать, как это подтверждается многочисленными наблюдениями преподавателей-практиков, что тела для детей «проще», чем прямые и плоскости». А. Р. Кулишер ссылается на пример весьма удачного сорокалетнего опыта работы в данном направлении немецкого педагога П. Трейтлейна, который предъявил следующие требования к начальному курсу геометрии [141].

1) Обучение в наших средних школах должно быть подразделено на две ступени: низшую и высшую.

2) Метод обучения на низшей ступени — это наглядное обучение геометрии: оно исходит из рассмотрения тел, откуда выводятся различные геометрические образы, их преобразования и создание новых; развитие самостоятельности учеников при помощи выполняемых ими действий — оценки на глаз, путем измерений (в том числе и на открытом воздухе), рисования, лепки и ручного труда; оно развивает способность к тонкому созерцанию и пространственному воображению и ведет от наглядного познания к доказательству и обоснованию познанного.

3) Обучение на высшей ступени имеет своей основой приобретенные раньше представления и воздвигает, постоянно прибегая к рассмотрению тел, научное здание элементарной геометрии, как образец дедуктивной науки.

На основе этих принципов Трейтлейн разработал один из лучших начальных курсов геометрии. Докладчик подробно представил его содержание, которое начинается с рассмотрения игральных костей. В живой непринужденной беседе, в которой принимает участие весь класс, выясняются основные свойства куба. Вот небольшой фрагмент этой беседы: «Поставьте это тело (куб) на стол; придайте ему какое-нибудь другое положение! Придайте ему еще третье положение! Сколькими способами можно его поставить? Нельзя ли изготовить его из папки? Кто знает или видел кубы или похожие на куб предметы в другом месте?» (Это было общее знакомство.) Далее следует рассмотрение поверхности: «Положите руку на поверхность куба, который будем держать как попало. Вы положите руку на другую грань поверхности. Что означает слово «поверхность»? Для отличия у меня имеется здесь шар». Сопоставляя шар и куб, ребята выясняют различие между их поверхностями.

Потом на кубе демонстрируются взаимные расположения прямых и плоскостей в пространстве. Вслед за этим материалом идет изучение прямой призмы (с квадратом или прямоугольником в основании), прямого цилиндра и шара. Правильный тетраэдр рассмотрен вместе с равносторонним треугольником. Правильная пирамида — вместе с равнобедренным и прямоугольным треугольниками. Затем рассматривается параллелограмм, ромб, прямой конус и произвольный тетраэдр. Далее — сумма углов треугольника, усеченная пирамида и трапеция; четырехугольник; окружность. В конце курса рассматриваются площадь (параллелограмма, треугольника, трапеции, круга) и объем (прямой призмы, цилиндра, конуса, пирамиды). Введено понятие равновеликости (на примере прямоугольника и квадрата), представлена теорема Пифагора.

Заметим, что в рассматриваемом курсе начальной геометрии вопросы планиметрии и стереометрии чередуются, они перемешаны друг с другом.

Далее А. Р. Кулишер в своем докладе остановился на еще одном интересном и значительном, с его точки зрения, начальном курсе геометрии В. Кемпбеля [63].

Эта книга начинается с представления простейших многогранников и их изготовления. Первая фигура — куб (о нем разбирается 65 вопросов!). Это неслучайно, так как ребятам хорошо известна эта простейшая фигура, с раннего детства они с удовольствием включаются в различные игры с кубиками. В предисловии к «Наглядной геометрии» В. Кемпбеля говорится, что основная задача курса видится в «приучении детей к наблюдению простых геометрических форм и соотношений между предметами, которые ежедневно попадаются им на глаза, в обучении их употреблению простых инструментов для геометрических построений и ознакомлении их с разнообразными способами определения длины, площади и объема предметов».

Охарактеризовав наиболее значимые пропедевтические курсы геометрии, А. Р. Кулишер высказал свою позицию по обсуждаемому вопросу. Он предложил критерии, которым должен удовлетворять курс геометрии, чтобы его по праву можно было считать подготовительным.

1. Пропедевтический курс геометрии должен удовлетворять всем строгим требованиям общей дидактики, принимающей во внимание особенности того или иного возраста, и в силу этого основанной на разумной (не утрированной) самодеятельности учащихся.

2. Материал, изучаемый здесь, не должен быть очень велик. Все рассмотренное должно стать прочным достоянием учащихся и перейти при посредстве планомерной классной (отчасти домашней) работы в область твердых навыков.

3. Слово должно сопутствовать всему тому, что выполняет мысль и рука учащегося.

4. Материал должен быть связан с теми пространственными представлениями, которые ребенок вынес или может вынести из повседневного опыта, а также с некоторыми сторонами строительного и инженерного искусства и творений природы.

5. Изучаемые объекты должны быть связаны известной зависимостью; возникновение новых образов из старых весьма важно. Образы трех измерений должно целесообразно сочетать с изображением фигур на плоскости.

6. На материал должны влиять, в известной мере, приемы мышления (текучесть геометрических образов).

7. В нем должны всплывать рассуждения и обобщения доказательного характера.

8. Должен быть тщательно продуман переход от начального курса к следующей части занятий геометрией.

В резолюции съезда было сказано о необходимости введения пропедевтического курса наглядной геометрии.