Главная страница
Навигация по странице:

  • Существует единственный интерполяционный многочлен степени


  • 2. Приближение функций Задача приближения функций


    Скачать 7.11 Mb.
    Название2. Приближение функций Задача приближения функций
    Дата16.04.2022
    Размер7.11 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файла2-2.12-1.doc
    ТипЗадача
    #478932
    страница2 из 14
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

    2.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа


    Если в качестве базисной взять систему степенных функций, то есть , то получаем задачу полиномиальной интерполяции:

    (2.3.1)

    Теорема 2.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени , удовлетворяющий условиям (2.3.1).

    В качестве искомого многочлена возьмем многочлен степени вида

    (2.3.2)

    Таким образом, система функций, по которой строится интерполяционный многочлен, есть



    Для нахождения надо

    найти набор коэффициентов

    . Не будем сос-

    тавлять и решать систему

    линейных уравнений вида

    (2.2.1), найдем коэффициен-

    ... ты иным способом.

    Пусть , с учетом получим



    Аналогично, полагая и учитывая, что будем иметь



    Если , то Тогда сам многочлен будет иметь вид

    (2.3.3)

    Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Приведем ее в сокращенной записи:

    (2.3.4)

    Очевидно, представляет собой многочлен степени , удовлетворяющий условию



    Таким образом, степень многочлена равна , при в формуле (2.3.4) обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного .

    Выпишем отдельно многочлены Лагранжа первой и второй степени, ибо именно они чаще всего используются на практике.

    (2.3.5)

    Пример. Написать интерполяционный многочлен Лагранжа для функции , значения которой заданы таблицей




    0

    1

    2

    3



    0

    0.1

    0.3

    0.5



    -0.5

    0

    0.2

    1.0


    В данном случае , получаем при интерполяции кубическую параболу. Вычислим вначале :



    , но его значение не понадобится, так как . Не будем его вычислять.



    Тогда искомый интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени будет выглядеть так
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


    написать администратору сайта