2. Приближение функций Задача приближения функций
Скачать 7.11 Mb.
|
2.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен ЛагранжаЕсли в качестве базисной взять систему степенных функций, то есть , то получаем задачу полиномиальной интерполяции: (2.3.1) Теорема 2.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени , удовлетворяющий условиям (2.3.1). В качестве искомого многочлена возьмем многочлен степени вида (2.3.2) Таким образом, система функций, по которой строится интерполяционный многочлен, есть Для нахождения надо найти набор коэффициентов . Не будем сос- тавлять и решать систему линейных уравнений вида (2.2.1), найдем коэффициен- ... ты иным способом. Пусть , с учетом получим Аналогично, полагая и учитывая, что будем иметь Если , то Тогда сам многочлен будет иметь вид (2.3.3) Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Приведем ее в сокращенной записи: (2.3.4) Очевидно, представляет собой многочлен степени , удовлетворяющий условию Таким образом, степень многочлена равна , при в формуле (2.3.4) обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного . Выпишем отдельно многочлены Лагранжа первой и второй степени, ибо именно они чаще всего используются на практике. (2.3.5) Пример. Написать интерполяционный многочлен Лагранжа для функции , значения которой заданы таблицей
В данном случае , получаем при интерполяции кубическую параболу. Вычислим вначале : , но его значение не понадобится, так как . Не будем его вычислять. Тогда искомый интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени будет выглядеть так |