2. Приближение функций Задача приближения функций
Скачать 7.11 Mb.
|
2.6. Разделенные разности и их свойстваПусть функция задана на таблице значений аргумента с произвольным шагом, причем точки таблицы занумерованы также в произвольном порядке. Величины называются разделенными разностями первого порядка функции в узлах Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка: - разделенная разность второго порядка в узлах Разделенной разностью -го порядка называется число (2.6.1) Эти разности также можно записывать в виде треугольной таблицы:
Разделенные разности обладают рядом замечательных свойств, изложенных в следующих теоремах. Теорема 2.5. Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов (то есть ее свойства не меняются при любой их перестановке). Теорема 2.6. Разделенная разность -го порядка выражается через значения функции следующим образом (2.6.2) Легко заметить, что под знаком суммы стоят коэффициенты обобщенного многочлена , которые мы получали при выводе формулы Лагранжа (2.3.3). Теорема 2.6 доказывается методом математической индукции; проверим ее лишь для . Теорема 2.7. Пусть функция имеет на отрезке , содержащем точки , производную порядка . Тогда справедливо равенство (2.6.3) Теорема 2.8. В случае когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг , конечная и разделенная разность связаны соотношением (2.6.4) Для доказательство теоремы очевидно. |