2. Приближение функций Задача приближения функций
 Скачать 7.11 Mb.
|
2.8. Вычислительная схема ЭйткенаСогласно этой схеме интерполяционные многочлены любого вида вычисляются последовательно по формулам  (2.8.1)и так далее. Интерполяционный многочлен  -й степени, принимающий в точках  значения  запишется следующим образом: (2.8.2)Действительно, из первой формулы (2.8.1) при  сразу получаем  Остальные формулы проверяются аналогично. Кроме того, мы получили, что  . Это действительно так по теореме о единственности интерполяционного многочлена -й степени. Таким образом,  тождественно совпадают и являются по сути лишь разной формой записи единого интерполяционного многочлена -й степени.Схема Эйткена применяется там, где не нужно общее выражение  , а нужно лишь его значение при конкретных  , и при этом значения функции даны в достаточно большом числе узлов. Вычисления по схеме Эйткена удобно вести с помощью таблицы, аналогичной таблице конечных или разделенных разностей:
Вычисления прекращают, если  или если последовательные значения  совпадут в пределах заданной точности.Пример. Вычислить  по схеме Эйткена в точке  , если  задана таблицей:
Составим таблицу и заполним по формулам (2.8.1) ее столбцы, начиная с четвертого:     Следующий столбец таблицы заполняется аналогично:  На этом вычисления можно прекратить, так как  совпадают до третьего знака, следовательно,  с точностью  Итоговая таблица с результатами вычислений приведена ниже.
|
