2. Приближение функций Задача приближения функций

• Название: 2. Приближение функций Задача приближения функций
• Дата: 16.04.2022
• Размер: 7.11 Mb.
• Имя файла: 2-2.12-1.doc
• Тип: Задача; #478932
• страница: 1 из 14

2. Приближение функций

2.1. Задача приближения функций

Вычисление значений функции - задача, с которой постоянно приходиться сталкиваться на практике. Часто бывает, что вычисление затруднительно, например:

1) функция задана таблично , а вычисление необходимо проводить в точках , не совпадающих с табличными;

2) вычисление функции дорого;

3) для вычисления необходим эксперимент.

В таких условиях целесообразно заменить некоторой близкой к ней функцией , которая вычисляется быстро и надежно, а погрешность приближения достаточно мала. При этом полезно при выборе функции использовать любую дополнительную информацию о функции , о ее гладкости, четности, периодичности, монотонности и так далее. Это дает возможность осознанно выбрать класс аппроксимирующих функций.

Широко используются функции вида , представляющие собой линейные комбинации некоторых базисных функций . Функция называется обобщенным многочленом степени .

2.2. Интерполяция обобщенными многочленами

Если ставится требование совпадения функции с функцией в некоторых фиксированных точках, то это приводит к задаче интерполяции.

Построить функцию , удов-

- летворяющую условиям ,

- узлы интерполяции.

Очевидно, что выбор неодноз-

чен, так как по заданной табли-

це можно построить бесконечно

много интерполирующих функций.

...

Рассмотрим обобщенный многочлен , удовлетворяющий условию Эта формула, представленная в виде , очевидно, эквивалентна следующей системе линейных алгебраических уравнений:

(2.2.1)

Для определения необходимо решить систем (2.2.1) относительно . На практике это делается чрезвычайно редко. Как правило, система (2.2.1) плохо обусловлена. В большинстве приложений используются специальные явные формулы для записи и вычисление не нужно.