2. Приближение функций Задача приближения функций

• Название: 2. Приближение функций Задача приближения функций
• Дата: 16.04.2022
• Размер: 7.11 Mb.
• Имя файла: 2-2.12-1.doc
• Тип: Задача; #478932
• страница: 3 из 14

2.4. Погрешность интерполяции

Теорема 2.2. Пусть функция дифференцируема раз на отрезке , содержащем узлы интерполяции Тогда для погрешности интерполяции в точке справедливо равенство в котором

Последнюю формулу несколько модернизируют. Так как положение
точки неизвестно, то заменяют на Тогда



Пример. Вычислим значение в предыдущем примере и оценим точность полученного значения:





П редставление о типичном характере функции дает график слева. При выходе за пределы значений аргумента быстро стремится к плюс бесконечности. Несколько огрубляя оценку погрешности, можно получить , где . В нашем случае и . Сколь-нибудь достоверную оценку здесь получить невозможно. Если предположить то

2.5. Конечные разности и их свойства

Пусть функция задана таблично - шаг таблицы, - узлы таблицы.

Величина называется конечной разностью первого порядка функции в точке с шагом .

Конечная разность порядка функции в точке есть Таким образом, конечная разность второго порядка есть Аналогичным образом могут быть определены конечные разности произвольного порядка.

Конечные разности чаще всего располагают в виде таблицы следующим образом:

					...
...	...

Теорема 2.3. -я конечная разность выражается через значения функции в точке по формуле , где . (2.5.1)

В частности уже получена аналогично получаются формулы



Коэффициенты, входящие в эти формулы, можно взять из треугольника Паскаля^.

Теорема 2.4. Пусть функция дифференцируема раз на отрезке . Тогда справедливо равенство (2.5.2)

Доказательство

Теорема в общем виде доказывается по индукции. Проверим ее выполнимость только для

то есть

Но последняя формула - формула Лагранжа для . Для последующих теорема доказывается по индукции. Эта формула может быть применима для оценки погрешности при интерполяции, когда функция задана только таблично. Если мало, то можно приближенно принять за и, таким образом, оценить погрешность .

В реальных вычислениях таблица конечных разностей строится по значениям , каждое из которых содержит погрешность Тогда в силу формулы (2.5.1) вычисленные значения содержат неустранимые ошибки

(2.5.3)

Пусть для всех , тогда можно получить гарантированную оценку

(2.5.4)