Вопросы к экзамену Полесский. 29. Тесты гетероскедастичнсоти. 46
 Скачать 5.25 Mb.
|
Тождества и стохастические уравнения. Структурная и приведенная формы модели.Для строгого определения стохастического дифференциального уравнения вводится следующая вероятностная схема. Ее следует напомнить, чтобы представлять отличия конкретно производимых вычислений с конечной дискретной выборкой от теоретической схемы, в рамках которой выведена модель процесса. Пусть задано вероятностное пространство , ,P и измеримый при всех t [0;T] винеровский процесс (t,), . Параметризация временем «превращает» случайную величину () в случайный процесс (t,), но обычно для краткости указание на пространство допустимых исходов опускается. Случайный процесс, определенный при t [0;T], называется винеровским, если он: 1) является процессом с независимыми приращениями; 2) его среднее значение равно нулю M (t) 0; 3) дисперсия =  ; 4) среднеквадратичное приращение пропорционально разности времен  (1)5) распределения процессов (t) и (t ) (t) нормальны. Функция распределения приращений винеровского процесса имеет вид  (2) На вероятностном пространстве , ,P рассматривается совокупность -алгебр t при ] t [0;T , связанная с винеровским процессом (t условиями: 1) s t при s t ; 2) при всех t [0;T] процесс ) (t измерим относительно t ; 3) процесс приращений ) (t ) ( при всех 0 t 0, не зависит от событий -алгебры . Пусть t x есть случайный процесс, являющийся решением СДУ: dxt u(xt ,t)dt (xt ,t)d t , x0 x(0,), . (3) В уравнении (3) (t,) t - винеровский процесс, ) u(x,t и ) (x,t - измеримые функции при каждом ] t [0;T . Если выполнены условия:  (4) то с вероятностью 1 (т.е. почти наверное) существует непрерывное решение СДУ (2.18), и плотность) f (x,t распределения процесса t удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка (5). Тем самым обеспечивается перевод с языка СДУ на язык кинетических уравнений. Важно подчеркнуть, что теория оперирует с непрерывными генеральными распределениями случайных процессов, тогда как на практике приходится иметь дело с некоторой конечной реализацией, может быть, даже и не случайного (в смысле данных выше определений) процесса. Поэтому представляется важным описать ту кинетическую структуру, которая появляется в задах математической статистики нестационарных временных рядов, чтобы теория могла быть применена в конкретном случае. Структурная и приведенная формы уравнений Примеры записи систем одновременных уравнений в структурной и приведенной формах Рассмотрим простейший статический вариант макроэкономической модели Кейнса. В этой модели предполагается, что народное хозяйство является системой закрытого типа без государственного регулирования экономики. Модель описывается следующими уравнениями: Уравнение поведения
Балансовое тождество
где C(t) - личное потребление за период t, Y(t) - национальный доход за период t, I(t) - сумма инвестиций за период t, a1 - свободный член функции потребления, выражает автономное потребление, a2 - параметр, который называется предельной склонностью к потреблению. u(t) - возмущения в функции потребления. Уравнения (1), (2) записаны в структурной форме. В модели (1), (2) зависимая переменная первого уравнения C(t) в тоже время является объясняющей (незапаздывающей) переменной второго уравнения, а зависимая переменная второго уравнения Y(t) является объясняющей (незапаздывающей) переменной первого уравнения. Рассмотрим задачу оценивания структурных параметров этой модели. Первое, что напрашивается - оценивать каждое уравнение модели (в данном случае, уравнение (1)) отдельно, рассматривая его как уравнение регрессии с переменной Y в качестве регрессора и используя обычный МНК, но такой подход дает смещенные оценки параметров структурной формы. Действительно, в силу того, что переменная Y зависит от C, которая, в свою очередь, зависит от случайной составляющей u, получается, что регрессор и случайный член модели - коррелированные переменные. Это нарушает предпосылку регрессионной модели и приводит к смещению оценок. Таким образом, вообще говоря, отдельное структурное уравнение модели нельзя непосредственно использовать для оценивания ее параметров, а также и для прогнозирования взаимозависимых переменных. Как можно поступить, чтобы избавиться от коррелированности регрессоров и случайной составляющей? Для этого уравнения структурной модели преобразуют таким образом, чтобы все эндогенные переменные были в левой части уравнений, а правые части содержали только предопределенные переменные и случайные составляющие. Такая форма записи систем одновременных уравнений называется приведенной или редуцированной формой модели. Получим приведенную форму первого уравнения модели (1), (2). Подставим выражение для Y(t) из второго уравнения в первое и из получившегося уравнения выразим переменную C(t). В результате получим
где
Аналогично получим приведенную форму уравнения (2):
Система (3), (5) и есть приведенная форма модели (1), (2). Правые части уравнений приведенной формы (3), (5) не зависят от эндогенных переменных, а экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом. Поэтому теперь каждое уравнение приведенной формы в отдельности можно использовать для оценивания ее параметров и прогноза зависимой переменной. Поскольку коэффициенты приведенной формы связаны известными соотношениями с коэффициентами структурной формы, то, зная их оценки, можно определить оценки коэффициентов структурной формы из соотношений (4), в которых истинные значения коэффициентов b заменяются их МНК - оценками. Такой метод оценивания параметров систем одновременных уравнений называется косвенным методом наименьших квадратов. Более подробно этот метод мы обсудим в следующем разделе. Систему уравнений (3), (5) можно записать в матричной форме
где
Приведенная форма модели используется не только для оценивания параметров структурной формы, но и дополняет структурную модель в теоретико - экономическом смысле. Например, уравнение (3) приведенной формы модели Кейнса описывает явную зависимость функции потребления C(t) от объема инвестиций I(t), и его можно использовать для анализа этой зависимости, что не позволяет сделать структурная форма. Получим приведенную форму динамической модели Самуэльсона-Хикса. Для этого используем уравнение динамики национального дохода. Уравнения приведенной формы модели Самуэльсона-Хикса имеют вид:
или в матричном виде
здесь
Параметры приведенной формы связаны с параметрами структурной формы следующими соотношениями:
Особенностью этой модели является то, что в правых частях уравнений приведенной формы (6) - (9) присутствуют эндогенные запаздывающие переменные Y(t-1), Y(t-2), матрица П - прямоугольная, а параметры структурной формы сохраняют свой смысл и в приведенной форме. Общее представление систем одновременных уравнений в структурной и приведенной формах Обобщая рассмотренные примеры, можно записать общий вид структурной формы модели
Система уравнений (10) связывает m эндогенных переменных y1, y2,...,ymи k предопределенных переменных x1, x2,...,xk. Напомним, что предопределенные переменные модели могут включать помимо экзогенных переменных, запаздывающие эндогенные переменные. Без потери общности можно положить коэффициенты , (i=1,2,…,m). Это условие называется условием нормировки. Вообще, каждое из уравнений системы (10) может содержать отличное от других уравнений количество эндогенных и предопределенных переменных. Однако, чтобы не усложнять обозначения, мы считаем, что в каждом уравнении количество эндогенных переменных равно m и количество предопределенных переменных равно k. Если же какая - либо переменная не присутствует в уравнении, то стоящий при ней структурный коэффициент равен нулю. Систему (10) можно записать в матричной форме
где
Элементы матриц B и Г называются структурными коэффициентами системы (модели). В уравнении (11) предполагается, что матрица B - невырожденная и, следовательно, существует обратная к ней матрица B-1. Матричное уравнение (11) нетрудно преобразовать и получить его приведенную форму, умножив слева обе его части на матрицу B-1. Получим
или
где матрица , вектор . Система (12) называется приведенной формой модели, а элементы матрицы П представляют собой коэффициенты приведенной формы. Характерным для уравнений приведенной формы является то, что правые части этих уравнений содержат только предопределенные переменные системы и не содержат незапаздывающих эндогенных переменных. |
