А. П. Господариков, И. А. Лебедев

• Название: А. П. Господариков, И. А. Лебедев
• Дата: 20.10.2022
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: 3_ekonom__bakal (1).docx
• Тип: Учебное пособие; #745420
• страница: 7 из 12

Пример 15. При проведении испытаний материала на разрыв получено 50 значений, характеризующих прочность на разрыв. По этим данным составлен сгруппированный вариационный ряд (масштаб 10⁴ Па).

Интервал i	120-140	140-160	160-180	180-200	200-220	220-240	240-260	260-280
xi	130	150	170	190	210	230	250	270
mi	2	4	10	13	11	6	3	1

Оценить согласие полученных данных с нормальным распределением при уровне значимости и получить приближенную интервальную оценку для параметра с надежностью .

Решение. Введем условную варианту, определив шаг h = 20 и выбрав ложный нуль C = 190, и найдем и (табл.2).

Таблица 2

Интервал i	xi	mi
1	130	2	–3	–6	9	18
2	150	4	–2	–8	4	16
3	170	10	–1	–10	1	10
4	190	13	0	0	0	0
5	210	11	1	11	1	11
6	230	6	2	12	4	24
7	250	5	3	9	9	27
8	270	1	4	4	16	16
__________		50		12		122

По данным табл.2 имеем n = 50 и

;

;





Найдем теоретические частоты (табл.3) для интервалов , используя формулу вероятности попадания значений в этот интервал (для нормального распределения с параметрами и ):

.

Таблица 3

i
120-140	–2,43	–1,78	–0,4924	0,4624	0,0300	1,5  1
140-160	–1,78	–1,13	–0,4624	–0,3708	0,0916	4,58  5
160-180	–1,13	–0,48	–0,3708	–0,1844	0,1864	9,34  9
180-200	–0,48	0,17	–0,1844	0,0675	0,2519	12,59  13
200-220	0,17	0,81	0,0675	0,2910	0,2235	11,17  11
220-240	0,81	1,46	0,2910	0,4279	0,1369	6,87  7
240-260	1,46	2,11	0,4279	0,4826	0,0547	2,78  3
260-280	2,11	2,73	0,4826	0,4968	0,0142	0,71  1

Найдем выборочное значение , объединив крайние интервалы для маленьких частот m_i (табл.4). Это объединение не является необходимым, но вполне применимо для упрощения в случае маленьких частот.
Таблица 4

Номер интервала		mi	npi	mi – npi	(mi – npi)2
1	120-140		6	0	0	0
2	140-160
3	160-180	10	9	1	1	0,111
4	180-200	13	13	0	0	0
5	200-220	11	11	0	0	0
6	220-240	6	7	–	1	0,143
7	240-260		4	0	0	0
8	260-280

Таким образом, если после объединения число интервалов а число наложенных связей , то число степеней свободы . Поэтому по таблице критических значений (прил.3) имеем . Сравнивая найденное значение с критическим (0,254 < 7,82), получим, что рассматриваемые данные могут быть из нормально распределенной совокупности.

Для получения интервальной оценки найдем из условия , т.е. и , и радиус интервала .

Вычислим доверительный интервал для параметра с надежностью :

.

Пусть для изучаемой системы случайных величин (X, Y) получена выборка значений системы (x_i, y_i) с соответствующими совместными частотами m_ij . Объем выборки , каждое значение x_i встречается с частотой , а каждое значение y_j встречается, соответственно, с частотой . Условные средние и представляют отдельные значения для регрессий соответственно Y на X и X на Y:

, ( ).

По выборке системы СВ определяют выборочные наилучшие линейные регрессии, которые приближенно выражают регрессионную (или корреляционную) зависимость между рассматриваемыми в системе случайными величинами:

, ,

где , – выборочные отклонения для X и Yсоответственно. выборочный коэффициент корреляции

.

выборочные регрессии Y на X и X на Y приближают точки ( ) и ( ) соответствующих условных средних и соответственно. По величине коэффициента или по значению угла между прямыми выборочных регрессий можно сделать вывод о качестве связи между случайными величинами. Для расчета , и удобно использовать условные варианты для X и Y:

, , .

Пример 16. Пусть имеется 100 сгруппированных наблюдений двух измеримых признаков X и Y, по которым составлена корреляционная таблица ( ) (табл.5).

Таблица 5

Y	X							nj
	30	35	40	45	50	55
18 28 38 48 58	4	6 8	10 4 4	35 12 1	5 6 3	2	10 18 44 22 6		33,0 37,78 45,11 45,45 50,83
mi	4	14	18	48	14	2	n = 100
	18,00	23,71	34,67	40,92	46,57	58,0

Найти выборочные регрессии и оценить качество связи признаков.

Решение. В табл.5 уже найдены отдельные частоты n_j для y_j (суммы частот m_ij по строкам), частоты m_i для x_i (сумма частот m_ij по столбцам) и условные средние. Например:

, .

Соответствующие точки условных средних есть точки и .

Для определения выборочных регрессий перейдем к условным вариантам.

Наибольшая частота, ближайшая к центру таблицы, и, следовательно, соответствующие ложные нули и шаг (для x_i) и (для y_j).

Составим новую таблицу в условных вариантах для расчета характеристик (табл.6).
Таблица 6

	–3	–2	–1	0	1	2
–2	4	6					10	–20	40
–1		8	10				18	–18	18
0			4	35	5		44	0	0
1			4	12	6		22	22	22
2				1	3	2	6	12	24
	4	14	18	48	14	2	n = 100
	–12	–28	–18	0	14	4
	36	56	18	0	14	8

По данным табл.6 получим выборочные характеристики:

;

;

;

;

;

;



;



.

Для вычисления найдем средние суммы всех произведений u_iv_jm_ij:





.

Выборочный коэффициент корреляции

.

Уравнения выборочных регрессий имеют вид

для регрессии Y на X



;

для регрессии X на Y



.

Обе прямых регрессий проходят через точку средних ; и для построения последних достаточно найти еще по одной точке для каждой прямой.

Так как значительно отличаются от нуля, то связь между изучаемыми случайными величинами достаточно сильная, а так как это значение еще не близко к единице, связь нелинейная. Аналогичные выводы можно сделать и по величине угла между прямыми регрессий.

Для наглядности все точки условных средних и следует нарисовать на одном чертеже вместе с прямыми регрессий, причем масштаб на осях координат должен быть одинаков (чтобы избежать искажений).