А. П. Господариков, И. А. Лебедев
![]()
|
1.2. Повторение независимых опытовИспытания называются независимыми, если результаты любого испытания не зависят от результатов других испытаний. Формула Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний в одинаковых условиях и каждое испытание имеет только два исхода: событие A (успех) или событие Ā (неуспех). Вероятность появления события A (успех) при одном испытании обозначим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вероятность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вероятность хотя бы одного успеха в nнезависимых испытаниях, произведенных в одинаковых условиях, ![]() Для приближенного вычисления вероятностей ![]() Локальная теорема Муавра – Лапласа. Если число независимых испытаний, производимых в одинаковых условиях, достаточно велико, и вероятность p появления события Aв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Отметим, что функция Гаусса (х) – четная и для нее составлены таблицы (прил.1). Вероятность появления события A в ![]() ![]() ![]() ![]() При большом числе испытаний ![]() ![]() Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если число испытаний ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() функция Лапласа Ф(t) – нечетная и для нее составлены таблицы (прил.2). Теорема Бернулли. Если в n независимых испытаниях вероятность появления события A постоянна для каждого испытания и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе испытаний с вероятностью как угодно близкой к единице (практически достоверной) относительная частота события A будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Например, из интегральной теоремы Муавра – Лапласа следует, что для любого ![]() ![]() ![]() Закон Пуассона. Пусть число n независимых испытаний велико, вероятность ![]() ![]() ![]() ![]() Такое событие A называют редким событием, а закон распределения Пуассона – законом редких событий. Пример 7. Производятся четыре независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле постоянна и равна 0,8. Найти вероятность: двух попаданий в мишень; не менее двух попаданий в мишень. Решение. По условию имеем число выстрелов ![]() ![]() ![]() Вероятность двух попаданий в мишень при четырех выстрелах: ![]() Не менее двух попаданий в мишень при четырех выстрелах означает два или три, или четыре попадания в мишень. Вероятность не менее двух попаданий в мишень ![]() ![]() Пример 8. При установившемся технологическом процессе из 100 изготовленных деталей 10 деталей имеют дефект. Найти вероятность того, что среди 80 изготовленных деталей семь будут иметь дефект. Решение. В этой задаче испытание состоит в проверке каждой детали на наличие дефекта. Пусть событие A – обнаружение дефекта при проверке детали. По условию задачи вероятность события A в каждом опыте постоянна и равна 0,1. Так как число опытов велико, искомую вероятность находят с помощью локальной теоремы Муавра – Лапласа. Итак, ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() При вычислении учтена четность функции Гаусса, а ее значение взято из прил.1. Пример 9. Вероятность изготовления стандартной детали на автоматическом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 деталей будет от 68 до 90 стандартных деталей. Решение. Здесь испытание состоит в проверке, является ли каждая деталь стандартной. Так как вероятность обнаружения стандартной детали в каждом опыте постоянна и равна 0,8, то по условию задачи ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() значения функции Лапласа (прил.2) ![]() ![]() ![]() |