А. П. Господариков, И. А. Лебедев
![]()
|
1.3. Случайные величины и их числовые характеристикиПредположим, что некоторая величина X может принимать значения x1,x2, …, xn в зависимости от некоторых случайных факторов, так что этим значениям можно сопоставить вероятности p1,p2, …, pn.Такая величина называется случайной величиной (СВ). Свои значения СВ принимает случайным образом. Рассмотрим два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные. случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные (изолированные) значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным. случайная величина называется непрерывной, если она принимает возможные значения, которые сплошь заполняют некоторый интервал. Значения функции ![]() Законом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в верхней строке которой указаны возможные (различные) значения случайной величины X (в порядке возрастания), а в нижней строке под каждым значением xi – соответствующая вероятность ![]() ![]()
Графически ряд распределения представляется в виде полигона распределения, причем по оси OX откладывают отдельные значения величины X, а по оси OY – соответствующие им вероятности. Полученные, таким образом точки с координатами (xi,pi), где ![]() Интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая вероятность того, что X примет значение меньшее, чем заданное x: ![]() Следствие: ![]() ![]() Рис.1. Полигон распределения Функция F(x) – неубывающая функция ( ![]() ![]() ![]() 1) ![]() 2) ![]() График дифференциальной функции распределения вероятностей называют кривой распределения. Интегральная функция распределения F(x) выражается через функцию плотности f(x) следующим образом: ![]() Для непрерывной случайной величины вероятность принятия некоторого конкретного значения ![]() ![]() ![]() Рис.2. Интегральная функция распределения дискретной случайной величины ![]() Если непрерывная случайная величина ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 10. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения: ![]() Найти параметры a и b, плотность и вероятность попадания случайной величины в интервал (1, 5; 3). Решение. По условиям нормировки имеем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, получим ![]() Математическое ожидание или среднее значение случайной величины X есть величина, вычисляемая для дискретной и непрерывной случайных величин по формулам, соответственно: ![]() Дисперсия случайной величины X – это математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: ![]() Дисперсия для дискретной и непрерывной случайной величин, соответственно ![]() ![]() Среднее квадратичное отклонение случайной величины X обозначим ![]() ![]() Для функций от случайных величин Y = φ(X) имеем (соответственно для дискретной или непрерывной): ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 11. Пусть заданное распределение имеет вид
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Решение. Математическое ожидание ![]() = 0,2 + 0,9 + 1,6 + 0,6 = 3,3. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение ![]() – 3,32 = 0,2+2,7+6,4+3,6-3,32 = 2,01; ![]() Пример12.Для случайной величины X из примера 10 найти среднее квадратичное отклонение. Решение. Математическое ожидание (см. пример 10) ![]() Дисперсия и среднее квадратичное отклонение ![]() ![]() ![]() Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения равны 0, 1, 2, …, n, а вероятность того, что ![]() ![]() где случайная величина X – число появлений некоторого события A в n испытаниях; p – вероятность появления события A в каждом испытании, не изменяющаяся от испытания к испытанию, ![]() ![]() Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, ![]() Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения равны 0, 1, 2, …, m,…, а вероятность того, что ![]() ![]() где a – параметр закона Пуассона, ![]() Как было показано ранее, по этой формуле вычисляются вероятности редких событий, т.е. вероятность появления события Am раз при большом числе испытаний n, в каждом из которых вероятность pпоявления события A мала ( ![]() ![]() ![]() Непрерывная случайная величина Xназывается равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность распределения вероятностей постоянна (т.е. все значения на отрезке случайной величины X равновозможны): ![]() Математическое ожидание и дисперсия СВ, равномерно распределенной на (a,b), ![]() Непрерывная случайная величина Xназывается распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей равна: ![]() где a – математическое ожидание; 2– дисперсия; – среднее квадратичное отклонение случайной величины X (a, – параметры нормального распределения). Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал (, ) ![]() где ![]() Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше постоянного числа ε, ![]() Следствие. Правило «трех сигм»: ![]() Пример 13. Случайная величина Xраспределена по нормальному закону с параметрами a = 2, = 5. Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале (1, 4). Решение. По условию = 1, = 4,a = 2, = 5. Тогда ![]() ![]() |