А. П. Господариков, И. А. Лебедев

• Название: А. П. Господариков, И. А. Лебедев
• Дата: 20.10.2022
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: 3_ekonom__bakal (1).docx
• Тип: Учебное пособие; #745420
• страница: 4 из 12

1.3. Случайные величины и их числовые характеристики

Предположим, что некоторая величина X может принимать значения x₁,x₂, …, x_n в зависимости от некоторых случайных факторов, так что этим значениям можно сопоставить вероятности p₁,p₂, …, p_n.Такая величина называется случайной величиной (СВ). Свои значения СВ принимает случайным образом.

Рассмотрим два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные (изолированные) значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

случайная величина называется непрерывной, если она принимает возможные значения, которые сплошь заполняют некоторый интервал.

Значения функции называются рядом распределения вероятностей дискретной случайной величины X.

Законом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в верхней строке которой указаны возможные (различные) значения случайной величины X (в порядке возрастания), а в нижней строке под каждым значением x_i – соответствующая вероятность причем .

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Графически ряд распределения представляется в виде полигона распределения, причем по оси OX откладывают отдельные значения величины X, а по оси OY – соответствующие им вероятности. Полученные, таким образом точки с координатами (x_i,p_i), где , соединяют прямыми (рис.1).

Интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая вероятность того, что X примет значение меньшее, чем заданное x:

.

Следствие: .



Рис.1. Полигон распределения
Функция F(x) – неубывающая функция ( если ), кроме того, F(–∞) = 0,F(+∞) = 1. Для непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна и существует производная , которая называется плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения. Плотность любой случайной величины неотрицательна и обладает свойствами:

1) ;

2) .

График дифференциальной функции распределения вероятностей называют кривой распределения. Интегральная функция распределения F(x) выражается через функцию плотности f(x) следующим образом:

.

Для непрерывной случайной величины вероятность принятия некоторого конкретного значения . Тогда



Рис.2. Интегральная функция распределения дискретной случайной величины

.

Если непрерывная случайная величина , то и (условия нормировки). Для дискретной случайной величины функция распределения кусочно-посто­янна и ступеньки (величины скачков) равны накопленным вероятностям (рис.2).

Пример 10. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения:



Найти параметры a и b, плотность и вероятность попадания случайной величины в интервал (1, 5; 3).

Решение. По условиям нормировки имеем и , т.е. и . Тогда функция распределения и ее плотность





Следовательно, получим



Математическое ожидание или среднее значение случайной величины X есть величина, вычисляемая для дискретной и непрерывной случайных величин по формулам, соответственно:

.

Дисперсия случайной величины X – это математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

.

Дисперсия для дискретной и непрерывной случайной величин, соответственно

;

.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X обозначим , причем

Для функций от случайных величин Y = φ(X) имеем (соответственно для дискретной или непрерывной):

; ;

;

.

Пример 11. Пусть заданное распределение имеет вид

xi	1	3	4	6
pi	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Математическое ожидание

 = 1  0,2 + 3  0,3 + 4  0,4 + 6  0,1 = 

 = 0,2 + 0,9 + 1,6 + 0,6 = 3,3.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

 =10,2+90,3+160,4+360,1 –

– 3,3² = 0,2+2,7+6,4+3,6-3,3² = 2,01;

.

Пример12.Для случайной величины X из примера 10 найти среднее квадратичное отклонение.

Решение. Математическое ожидание (см. пример 10)

.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение





.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения равны 0, 1, 2, …, n, а вероятность того, что , выражается формулой Бернулли:

,

где случайная величина X – число появлений некоторого события A в n испытаниях; p – вероятность появления события A в каждом испытании, не изменяющаяся от испытания к испытанию, q – вероятность отсутствия события Aв каждом испытании,

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по биномиальному закону,



Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения равны 0, 1, 2, …, m,…, а вероятность того, что , выражается формулой



где a – параметр закона Пуассона,

Как было показано ранее, по этой формуле вычисляются вероятности редких событий, т.е. вероятность появления события Am раз при большом числе испытаний n, в каждом из которых вероятность pпоявления события A мала ( ), однако, произведение постоянно. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по закону Пуассона,



Непрерывная случайная величина Xназывается равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность распределения вероятностей постоянна (т.е. все значения на отрезке случайной величины X равновозможны):



Математическое ожидание и дисперсия СВ, равномерно распределенной на (a,b),

.

Непрерывная случайная величина Xназывается распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей равна:

,

где a – математическое ожидание; ²– дисперсия;  – среднее квадратичное отклонение случайной величины X (a, – параметры нормального распределения).

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал (, )

,

где – функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше постоянного числа ε, .

Следствие. Правило «трех сигм»: .

Пример 13. Случайная величина Xраспределена по нормальному закону с параметрами a = 2,  = 5.

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале (1, 4).

Решение. По условию  = 1, = 4,a = 2, = 5. Тогда