А. П. Господариков, И. А. Лебедев
![]()
|
1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ1.1. Основные понятия теории вероятностейВся практическая деятельность человека может рассматриваться как совокупность некоторых событий. Часть событий вполне закономерна и предсказуема. Но существуют события, которые невозможно заранее предсказать. Все события можно разделить на следующие основные виды: случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Таким образом, реализацию случайного события нельзя предсказать заранее (при одних и тех же условиях). Эти условия часто задаются условиями проведения опыта или испытания, поэтому случайное событие часто есть результат испытания; достоверное событие – это событие, которое всегда происходит при определенных условиях; невозможное событие – это событие, которое никогда не происходит при данных условиях; несовместные события – это случайные события, которые при данных условиях не могут произойти совместно; независимые события – это случайные события, которые при данных условиях происходят независимо друг от друга. В противном случае, события называются зависимыми; равновозможные события – это события, возможности появления которых при данных условиях одинаковы. Набор (или группа) событий называется полным, если при данных условиях всегда реализуется хотя бы одно из этих событий. Полный набор несовместных и равновозможных событий ![]() ![]() Элементарные события (исходы), при реализации которых происходит событие A, называются благоприятными для A. Относительная частота события. При большом числе испытаний, проведенных в одних и тех же условиях, можно установить закономерность появления некоторого события A. Пусть при проведении ![]() ![]() ![]() Можно продолжить серии испытаний и найти, что в ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вероятность события A обозначается ![]() Вероятность события в классической схеме определяется как отношение числа m элементарных исходов, благоприятных событию A, к общему числу n исходов вероятностного пространства: ![]() По теореме Бернулли эти вероятности совпадают, т.е. ![]() Свойства классической вероятности: вероятность события A не может быть меньше нуля и больше единицы ![]() Геометрическое определение вероятности основано на взаимно-однозначном сопоставлении пространству ![]() ![]() ![]() При непосредственном подсчете вероятностей событий часто необходимы сведения из комбинаторной математики. Эта область математики занимается, в основном, задачами о существовании и подсчете различных комбинаций (выборок), которые можно составить из элементов данного конечного множества. Факториал n! произвольного целого числа ![]() ![]() Перестановками из n различных элементов называются выборки, содержащие все n элементов и различающиеся только порядком элементов. Число перестановок из n элементов ![]() ![]() Размещениями по m элементов из n различных элементов ![]() ![]() Сочетаниями по m элементов из n различных элементов называются выборки, отличающиеся только составом самих элементов. Число ![]() ![]() Пример 1. Игральную кость бросают один раз. Найти вероятность появления четного числа очков. Решение. При подбрасывании одной игральной кости пространство элементарных событий (число выпавших очков) состоит из шести исходов: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Пусть A – событие, состоящее в появлении четного числа очков. В этом случае событию А благоприятствуют исходы выпадения 2, 4, 6 очков, т.е. ![]() ![]() ![]() Пример 2. В ящике пять белых и четыре черных шара. Из ящика вынимают три шара. Какова вероятность того, что эти шары белые? Какова вероятность того, что один шар белый? Решение. Пусть событие A состоит в извлечении трех белых шаров. Общее число исходов ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() Пусть событие B состоит в извлечении трех шаров, один из которых – белый. Этот шар можно вынуть ![]() ![]() ![]() ![]() Суммой A+ B двух случайных событий A и B называется событие, состоящее в появлении события A или события B,или обоих этих событий. Произведением AB двух событий A и B называется событие, состоящее в совместном появлении события Aи события B. Противоположным по отношению к событию A называется событие ![]() Вероятность суммы совместных событий ![]() Если события A и B несовместны, то ![]() ![]() Так как противоположные события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей ![]() Условное событие ![]() Вероятность произведения событий ![]() где ![]() ![]() Если события Aи B независимы, ![]() ![]() ![]() Пример 3. Разрыв электрической цепи происходит при выходе из строя двух элементов A и B или двух элементов C и D. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,3 и 0,6, 0,4 и 0,5 соответственно. Решение. Если события A, B, C, D – выход из строя соответствующих элементов, то по определению произведения и суммы событий согласно условию задачи разрыв цепи есть событие ![]() События A, B, C, Dнезависимы, но могут быть совместными, и следовательно, ![]() ![]() Решение. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть событие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Формула полной вероятности. Формула Байеса. Вероятность события А, котороеможет произойти при наступлении одного из несовместных событий (гипотез) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Полученная формула для ![]() ![]() С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до проведения опыта вероятности (априорные) гипотез были ![]() ![]() где ![]() С помощью формулы Байеса возможно «пересмотреть» вероятность гипотез с учетом полученного (известного) результата опыта. Пример 5. Имеются два ящика с шарами. В первом ящике шесть белых и четыре черных шара, во втором ящике десять белых и пять черных шаров. Из первого ящика во второй, не глядя, перекладывается один шар. После этого из второго ящика берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. Решение. Пусть событие A – появление белого шара из второго ящика при гипотезах: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() После того, как во второй ящик из первого переложен один шар, количество шаров во втором ящике увеличится на единицу и станет равным 16. При перекладывании белого шара из первого ящика число белых шаров во втором ящике станет равным 11, а при перекладывании черного шара число белых шаров во втором ящике останется прежним. Тогда условные вероятности извлечения белого шара после перекладывания из второго ящика следующие: ![]() Искомая вероятность: ![]() Пример 6.На трех станках производятся одинаковые детали, причем на первом станке производят 25 %, на втором 35 %, на третьем 40 % всех деталей. В продукции трех станков брак составляет 5, 4 и 2 % соответственно. Все детали поступают на склад. Найти вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной. Случайно взятая на складе деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она изготовлена на первом станке Решение. Пусть событие A – выбор бракованной детали. Есть три гипотезы: ![]() ![]() ![]() По условию вероятности этих гипотез ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда: а) вероятность события A находим по формуле полной вероятности: ![]() б) вероятность изготовления на первом станке находим по формуле Байеса: ![]() |