А. П. Господариков, И. А. Лебедев
![]()
|
1.4. Система двух случайных величин и регрессияСистема двух случайных величин – совокупность двух случайных величин (X,Y), которые рассматриваются одновременно. Измерения обычно осуществляются попарно, а полученные значения случайных величин X и Y в определенном смысле взаимосвязаны. Закон распределения двумерной случайной величины дискретного типа представляет собой перечень значений этой величины и их вероятностей, указанных в специальной таблице. В табл.1 представлены возможные значения (xi,yj) и их совместные вероятности: ![]() Таблица 1 Закон распределения двумерной случайной величины
Зная закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X, Y), можно найти закон распределения каждой случайной величины X и Y: ![]() ![]() ![]() Интегральная функция распределения двумерной случайной величины (X, Y) есть вероятность совместного выполнения неравенств X < x и Y < y, т.е. ![]() Двумерная случайная величина непрерывного типа может быть задана интегральной или дифференциальной функцией распределения. Если интегральная функция распределения всюду непрерывна и имеет непрерывную смешанную частную производную второго порядка, то дифференциальная функция распределения системы двух случайных величин (X, Y) определяется по формуле ![]() Плотность распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, выражается через плотность системы случайных величин следующим образом: ![]() Условный закон распределения случайной величины, входящей в систему, есть закон ее распределения, полученный в предположении, что другая случайная величина приняла определенное значение. Для системы случайных величин дискретного типа условные законы распределения имеют вид ![]() Условные математические ожидания (условные средние) дискретных случайных величин ![]() Условные распределения показывают, что одна СВ реагирует на изменение другой изменением своего закона распределения. Такая общая зависимость называется стохастической (вероятностной) и достаточно сложна для изучения. Однако зависимость условного среднего одной СВ от значений другой является функцией, которая называется регрессией: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнения таких наилучших линейных регрессий для регрессии Y на X ![]() для регрессии X на Y ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Коэффициент корреляции ![]() характеризует близость (или тесноту) связи между случайными величинами к линейной. Отметим, что всегда ![]() ![]() ![]() ![]() |