теория автоматического управления. Билет 1
 Скачать 0.65 Mb.
|
|
Теорема запаздывания. Рассмотрим решетчатую функцию f[n-m], сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов m. Если обозначить n-m=r, то Z{f[n-m]}=  = = .Если исходная решетчатая функция f[n] равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z{f[n-m]}=  .Сдвиг по временной области. Если  имеет z-преобразование  , то  , ,где n – положительное целое число. Доказательство. По определению  ,что может быть записано как  .Предполагая, что равно нулю при t< 0, получим последнее выражение в виде .Для доказательства второго равенства запишем:  .Изображение разностей. Для первой обратной разности  .Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равно нулю, то  .Для k-й обратной разности при f[n]0 для n<0  , .Определение обратной разности и неполной суммы (или прямой разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору p=c+jω в непрерывных системах, в первом случае играет оператор (z-1)z-1, а во втором случае – оператор (z-1). В случае перехода к пределу при T0 обе пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывной функции. Теорема о конечном значении решетчатой функции. «Если функция f(t) имеет z – преобразование F(z) и если функция  не имеет полюсов на окружности единичного радиуса |z|=1 и вне её на z – плоскости, то при исследовании систем управления, в которых используются обратные разности, справедливо равенство: ».Доказательство. Рассмотрим два ряда с конечным числом членов:  полагая, что f(t)=0 при t<0 и, следовательно, f(-T) равно нулю, запишем выражение второго ряда  .Сравнивая эти выражения, видим, что второй ряд может быть записан как  Определим в пределе при  разность между выражениями: В последнем выражении возьмём предел при  , тогда Меняя порядок перехода к пределу в последнем выражении и учитывая, что  получим  что и является доказательством теоремы о конечном значении. Пример. Конечное значение единичной функции  определяется следующим образом: .Теорема о начальном значении решетчатой функции. «Если функция f(t) имеет z – преобразование F(z) и если существует предел  то ».Доказательство. По определению F(z) можно представить в виде  .Возьмём предел от каждой части последнего выражения и, учитывая, что z стремится к бесконечности, получим  Пример.  .Разложение в ряд Лорана (ряд по убывающим степеням z).  .Разложив любым способом изображение F(z) в ряд Лорана:  , и, сравнивая два ряда между собой, можно установить, что ,  ,  ,…,  и т.д.Решение разностных уравнений. Более удобны для решения разностные уравнения вида  с начальными условиями  ,  .Изображение решетчатой функции y[n-m], запаздывающей на m тактов, будет  .Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (m-1), (m-2),…, 1 тактов. В случае нулевых начальных условий  .Если предположить, что решетчатая функция y[n] тождественно равна нулю при n < 0 и, кроме того, функция f[n] в правой части прикладывается в момент времени n=0, то переход к изображениям дает  .Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде  ,где W(z) - дискретная передаточная функция. |