Рисола Кенҷаева. Боби i мафуми табдилотои хатт 7 1 Табдилоти хатт ва амало бо оно 7

• Название: Боби i мафуми табдилотои хатт 7 1 Табдилоти хатт ва амало бо оно 7
• Дата: 01.12.2022
• Размер: 183.7 Kb.
• Имя файла: Рисола Кенҷаева.docx
• Тип: Документы; #823176
• страница: 2 из 4

Боби I Мафҳуми табдилотҳои хаттӣ

1.1 Табдилоти хаттӣ ва амалҳо бо онҳо

Азбаски мавзӯи рисолаи хатм ба мафҳуми табдилотҳои хаттӣ вобаста аст, пас аввал маълумотҳо оиди табдилотҳои хаттӣ омӯхта шудааст.

Боби якум ба қисми назарияи мафҳуми табдилотҳои хаттӣ бахшида шудааст. Дар ин боб ду зербоб мавҷуд буда, дар он таъриф ва теоремаҳо доир ба табдилотҳои хаттӣ, амалҳо бо табдилотҳои хаттӣ, маълумотҳо гирд оварда шудааст. Инчунин 𝜆-матритсаҳо ва матритсаҳои Жорданӣ ба вектори хос ва қимати хоси табдилотӣ хаттӣ алоқаманд аст, пас тартиб додани бисёраъзогиҳои характеристикии зерфазоҳои инвариантӣ низ омӯхта шудааст.

Мо функсияҳоро дар фазои хаттии n-ченака омӯхта будем, ки онҳо қиматҳои ададӣ қабул мекарданд ба онҳо функсияҳои хаттӣ, шаклҳои квадратӣ ва ҳоказо дохил мешаванд.Аммо баъзан ба мо лозим мешавад, ки функсияҳои намуди дигарро омӯзем.Масалан, функсияҳое, ки ба ҳар як нуқтаи фазо боз ягон нуқтаи ин фазоро мувофиқгузорӣ кунем.Яке аз содатарини ин функсияҳо табдилоти хаттӣ мебошанд.

Таърифи 1. Фарз мекунем, ки ба ҳар як вектори x-и фазои n-ченака вектори y-и ин фазо мувофиқ гузошта шудааст. Функсияи y -ро табдилоти фазои R меномем.

Танҳо дар ҳолате, ки шартҳои зерин иҷро шаванд:

A(

A(λx) ,

он гоҳ табдилоти A-ро хаттӣ меноманд.

Алоқаибайниматрисаҳоватабдилотихаттӣ. Тасаввур мекунем, ки ягон базиси фазои n-ченакаи R ва A табдилоти хаттии R бошад. Барои ҳар гуна n вектори танҳо чунин табдилоти хаттии A мавҷуд аст, ки барои он

,

мебошад.

Инро исбот мекунем.Нишон медиҳем, ки табдилоти A бо векторҳои , якқимата муайян карда мешавад. Дар ҳақиқат, фарз мекунем, ки

x

вектори ихтиёрии R мебошад.Аз ин ҷо ҳосил мекунем

Ax A(

ва бинобар ин Ax бо якқимата муайян карда мешавад.

Месанҷем, ки барои ҳар гуна векторҳои чунин табдилоти хаттии A мавҷуд аст, ки барои он аст. Ба векторҳои векторҳои -ро мувофиқ мегузорем; ба вектори ихтиёрии

вектори -ро мувофиқ мегузорем. Азбаски вектори x ба воситаи якқимата ифода меёбад, бинобар ҳамин ба он вектори муайяни мувофиқ гузошта мешавад.

Координатаҳои вектори -ро дар базиси бо ишора мекунем, яъне фарз мекунем, ки



аст.

Ҷамъбасти ададҳои 2,…..,n) матритсаи A= -ро ташкил медиҳад, ки онро мо матритсаи табдилоти хаттии A-и базиси меномем.

Ҳамин тавр мо исбот кардем, ки дар базиси додашудаи ба ҳар як табдилоти хаттии A матритсаи якқимата мувофиқ меояд ва баръакс ба ҳар як матритсаи табдилоти хаттии бо формулаҳои (1.1.1) , (1.1.2) , (1.1.3) ёфташаванда якқимата мувофиқ меояд.Аз ин ҷо хулоса мебарояд, ки табдилоти хаттиро бо ёрии матритсаҳо тасвир кардан мумкин аст, ки бо ёрии онҳо табдилоти хаттӣ дар фазои ченакаш охирнок омӯхта мешаванд.

Ҷамъ ва зарби табдилоти хаттӣ.Бо ёрии табдилоти хаттӣ амалҳои ҷамъ ва зарбро иҷро кардан мумкин аст.

Таърифи 2.Ҳосили зарби табдилоти хаттии A ва B гуфта табдилоти C-ро меноманд, ки он аз пай дар пай иҷро намудани аввал табдилоти B ва баъд табдилоти A иборат аст, яъне:

C=AB чунин маъно дорад, ки барои ҳар гуна x Cx=A(Bx) мебошад.

Ҳосили зарби табдилоти хаттӣ табдилоти хаттӣ аст, яъне шартҳои ва -и таърифи 1-ро қаноат мекунонад.Инро месанҷем:



Баробарии якум дар асоси таърифи ҳосили зарб, баробарии дуюм дар асоси хосияти барои ва баробарии сеюм бошад, дар асоси худи ин хосият барои ва дар охир баробарии чорум боз ҳам мувофиқи таърифи ҳосили зарб навишта шудааст.Монанди ҳамин нишон дода шудааст, ки аст.

Агар E табдилоти воҳидӣ ва табдилоти ихтиёрӣ бошад, он гоҳ исбот кардан осон аст, ки

AE=EA=A

мебошад.

Одатан дараҷаҳои табдилоти A-ро муайян мекунем:



Чун барои ададҳо мувофиқи таъриф E ҳисоб мекунем. Маълум аст, ки мебошад.

Таърифи 3.Суммаи табдилоти хаттии A ва B гуфта табдилоти C-ро меноманд, ки он ба ҳар як вектори x вектори Ax+Bx-ро мувофиқ мегузорад; ба ибораи дигар, C=A+B чунин маъно дорад, ки барои ҳар гуна x Сx Ax+Bx мебошад.

Ҷамъ ва зарби табдилоти хаттӣ хосиятҳои ҷамъ ва зарбро қаноат мекунонад, чунончи:









Байни табдилоти хаттӣ ва матритсаҳо мувофиқати якқимата муқаррар карда шудааст, илова бар ин ба сумма сумма ва ба ҳосили зарб ҳосили зарб мувофиқат мекунад. Инро исбот мекунем:

Бигзор матритсаи A= ва B бошад, A+B буданашро месанҷем:

A+B

=

Аз ин ҷо дидан мумкин аст, ки A+B .

Зарби табдилоти хаттӣ, умуман, ғайрикоммутативӣ аст. Инро дар мисоли матритсаҳо санҷидан мумкин аст:

Барои зарби матритсаҳо аз қоидаи зарби матритсаҳо истифода мебарем:

;





Як мисол пешкаш менамоем: A= ва B

A ва



аст, бинобар он:

AB

Агар дар вақти зарби матритсаҳо AB=BA бошад, он гоҳ ин матритсаҳоро матритсаҳои коммутативӣ меноманд.Мисол:

A= ва B= A

, яъне: AB=BA

Ҳосили зарби табдилоти хаттии A-ро ба адади λA табдилотеро мефаҳмонад, ки он ба ҳар як вектори x вектори -ро мувофиқ мегузорад.Агар ба табдилоти хаттии A матритсаи мувофиқ ояд, он гоҳ ба табдилоти λA матритсаи мувофиқ меояд.

Якчанд мисолҳоро бо мафҳуми табдилоти хаттӣ ва амалҳо бо он татбиқ менамоем:

Мисоли 1. Дар фазои сеченакаи базиси 0), дода шудааст, матритсаи табдилоти хаттии -ро дар ин базис ёбед.

Ҳал:







Аз ин ҷо матритсаи:



ҳосил мешавад.

Мисоли 2. Дар фазои сеченакаи векторҳои базиси 0),

ва табдилоти хаттии ,

дода шудаанд. Матритсаҳои табдилоти -ро дар базиси (1.1.4) ёбед.

Ҳал:







ва







Ҳамин тавр:

ва

ва

Аз ин ҷо:







Табдилоти баръакс. Мафҳуми табдилоти баръакс ва мафҳуми матритсаи баръакс бо ҳамдигар алоқаманд мебошанд.

Таърифи 4.Агар бошад, табдилоти нисбат ба баръакс номида мешавад, ки дар ин ҷо табдилоти воҳидӣ мебошад.

Табдилоти нисбат ба табдилоти баръакс бо ишора карда мешавад.Барои ҳар як матритсае, ки шарти Det( -ро қаноат мекунонад, матритсаи баръакси -ро муайян кардан мумкин аст, ки он шарти:



-ро қаноат мекунонад. Матритсаи нисбат ба матритсаи баръакс номида мешавад. Системаи муодилаҳои хаттии бо баробарии матритсавии (1.1.5) баробарқувваро ҳал карда, матритсаи -ро ёфтан мумкин аст ва бе мушкилӣ санҷидан мумкин аст, ки матритсаи -и чунин тартиб додашуда шартҳои (1.1.5)-ро қаноат мекунонад.

Азбаски дар базиси додашуда байни матритсаҳо ва табдилоти хаттӣ мувофиқати якқиматаи амали зарбро нигоҳдоранда мавҷуд аст,пас таърифи зеринро баён кардан мумкин аст:

Барои он ки табдилоти баръаксашро дошта бошад, зарур ва кифоя аст, ки муайянкунандаи матритсаи он дар ягон базис аз нол фарқ карданаш лозим аст, яъне бояд ранги -ро дошта бошад. Табдилоте, ки табдилоти баръакс дорад, ғайримахсус номида мешавад. Табдилоти махсус табдилоти баръакс надорад.

Мисол:

Дар фазои сеченакаи векторҳои базиси 0), ва табдилоти хаттии

дода шудаанд. Табдилоти хаттии баръаксро ёбед.











Аз сабабе, ки дар ин ҷо мебошад, мебошад. Матритсаи ба матритсаи баръаксро меёбем:





















буда,матритсаи матритсаи дар базиси додашудаи табдилот мебошад. Ҳамин тавр:







матритсаи баръакси табдилоти додашуда мебошад.

§1.2 Векторҳои хос ва қиматҳои хоси табдилоти хаттӣ

Барои омӯхтани векторҳои хос ва қиматҳои хоси табдилоти хаттӣ зерфазоҳои инвариантии якченака аҳамияти калон доранд.

Тасаввур мекунем, ки зерифазои якченакае бошад, ки бо вектори ба вуҷуд оварда шудааст. Барои инвариантӣ будани зарур ва кифоя аст, ки вектори дар ҷойгир бошад, яъне нисбат ба вектори каратӣ бошад:



Таъриф. Вектори , ки баробарии -ро қаноат мекунонад, вектори вектори хос ва адади ба он мувофиқи 𝜆 қимати хоси табдилоти хаттии ном дорад.

Бинобар ин, агар вектори хос бошад, векторҳои зерифазои инвариантии якченакаро ташкил мекунанд.

Теоремаи 1 Дар фазои комплексии ҳар гуна табдилоти хаттии ақаллан як вектори хос дорад.

Теоремаро исбот мекунем: Дар фазои -ченакаи ихтиёрии ягон базиси -ро интихоб мекунем.Дар ин базис ба табдилоти хаттии матритсаи мувофиқ меояд.

Фарз мекунем, ки:

вектори ихтиёрии ва ( бошад, он гоҳ координатаҳои -и вектори бо формулаҳои зерин ифода карда мешаванд:

...

...



...

Дар ҳолате, ки вектори додашуда хос аст, яъне баробарии иҷро мегардад, ба таври зерин навишта мешавад:

...

...

. . . . . . . . . . . . . . . . .



ё ин ки



Ҳамин тариқ, барои исбот кардани теоремаи додашуда исбот кардан зарур аст, ки адади 𝜆 ва ададҳои -и нобаробари нул вуҷуд доранд, ки системаи (1.2.1)-ро қаноат мекунонанд.

Системаи якҷинсаи дар боло овардашуда, танҳо дар ҳолате ҳалли ғайринулии худро дорад, ки муайянкунандаи он баробари нул бошад:



Дар натиҷаи табдилдиҳиҳо мо нисбат ба 𝜆 муодилаи дараҷаи -умро ҳосил намудем. Ин муодила ҳадди ақал як решаи (яъне комплексӣ) дорад.

Дар системаи якҷинсаи (1.2.1) ба ҷои 𝜆 решаи –ро гузошта, системаи муодилаҳои хаттии якҷинсаро ҳосил мекунем, ки муайянкунандаи он ба нул баробар мебошад ва бинобар ин ҳалли ғайринулии , -ро дорад. Он гоҳ вектори



вектори хос ва –қимати хоси табдилоти хаттии мешавад, барои он ки



аст. Теоремаро исбот кардем.

Бисёраъзогии тарафи чапи муодилаи (1.2.2)-ро бисёраъзогии характеристикии матритсаи табдилоти ва худи муодилаи (1.2.2)-ро муодилаи характеристикӣ ё муодилаи қадимии ин матритса меноманд. Ҳангоми исботи теорема нишон додем, ки решаҳои бисёраъзогии характеристикӣ қиматҳои хоси табдилоти хаттии , ва баръакс қиматҳои хоси табдилоти хаттии решаҳои бисёраъзогии характеристикӣ мебошанд.

Дар байни табдилоти хаттӣ он табдилоте, ки вектори хоси хаттии новобаста дорад, соддатарин мебошад.

Тасаввур мекунем, ки ҳамин гуна табдилот буда, векторҳои хоси хаттӣ новобастаи он мебошанд, яъне



Векторҳои -ро ҳамчун базиси R қабул мекунем. Баробариҳои









ҳаминро ифода мекунад, ки намуди матритсаи табдилоти дар ин базис чунин мебошад:



Теоремаи 2. Агар табдилоти хаттии вектори хоси хаттӣ новобаста дошта бошад, онҳоро ҳамчун базисе интихоб намуда, мо матритсаи табдилоти -ро ба шакли диагоналӣ меоварем. Баръакс, агар дар ягон базис матритсаи табдилоти диагоналӣ бошад, он гоҳ ҳамаи векторҳои ин базис векторҳои хос мебошанд.

Мо бояд инро дар хотир нигоҳ дорем, ки:

Агар бисёраъзогии характеристикии табдилоти решаи гуногун дошта бошад, он гоҳ матритсаи табдилоти -ро ба шакли диагоналӣ овардан мумкин аст.

Дар табдилоти хаттӣ ба ҳар як решаи -и муодилаи характеристикӣ ақаллан як вектори хос мувофиқат мекунад. Барои он ки решаҳои муодилаи характеристикии ба ин векторҳо мувофиқоянда гуногун мебошанд, пас вектори хоси новобастаи вуҷуд дорад. Агар векторҳои -ро ҳамчун базис қабул кунем, он гоҳ матритсаи табдилоти диагоналӣ мешавад.

Оиди ҳалли қимати хос ва вектори хоси табдилоти хаттӣ якчанд мисолҳоро тадқиқ менамоем:

Мисоли 1.Бисёраъзогии характеристикиро тартиб диҳед:

а б) в)

Ҳал:

а)



б)

в)



.

Мисоли 2. Аз рӯи базиси табдилоти хаттӣ матритсаи зерин тартиб дода шудааст. Қимати хос ва вектори хоси табдилоти хаттиро ёбед.

Ҳал:

Муодилаи характеристикиро тартиб медиҳем.



)(







𝜆(



; ;

Ҳалҳои муодилаи дода шуда ба баробар аст.Акнун қимати -ро ба матритса гузошта, ифодаи зеринро щосил мекунем:

а) (

(



қимати хоси ва вектори хос мебошад.

б) (

(

⟹ , -қимати хос ва

вектори хос мебошад.

Акнун қимати хоси -ро ба матритса гузошта, ифодаҳои зеринро ҳосил менамоем:





⟹



Векторҳои -ро ҳосил кардем, ки онҳо новобастаи хаттӣ аст, азбаски қиматҳои векторҳои ҳақиқӣ ва ҳархела аст.

Мисоли 3. Аз рӯи базиси табдилоти хаттӣ матритсаи дода шудааст.Қимати хос ва вектори хоси табдилоти хаттиро ёбед.

Ҳал:

∆















Қиматҳои хоси табдилоти хаттӣ ва

мебошанд. Векторҳои хоси -ро ҷустуҷӯ менамоем:









Системаи муодилаи хаттии якҷинсаро бо системаи муодилаи хаттии баробарқувва иваз мекунем:





(







Боби якум ба омӯзиши табдилотҳои хаттӣ, амалҳо бо онҳо, зерфазоҳои инвариантӣ, вектори хос ва қиматҳои хоси табдилоти хаттӣ бахшида шудааст. Дар ин боб амалҳо бо табдилотҳои хаттӣ, хосиятҳои асосии табдилотҳои хаттӣ, табдилотҳои баръаксӣ ва ҳисобкардани табдилотҳои баръаксӣ, алоқаи байни матритсаҳои табдилоти хаттӣ дар базисҳои гуногун, векторҳои хос ва қиматҳои хоси табдилоти хаттӣ ва тартиб додани муодилаи характеристикии векторҳои хос омӯхта шудааст.