Численное моделирование процессов энергоразделения в потоках сжимаемого газа
 Скачать 3.7 Mb.
|
|
горазделения, которая зависит от интенсивности отсоса газа. Энергоразделение наиболее выражено для газов с низким числом Прандтля. Установлено, что вследствие ламинаризации пограничного слоя при интенсивном отсосе газа в области непроницаемой пластины, следующей за проницаемой стенкой, темпе ратура стенки резко падает. 33 1.5 Выводы Введено понятие безмашинного энергоразделения как процесса самопро извольного перераспределения энергии (температуры) потока газа. На основе анализа уравнения сохранения полной энергии (энтальпии торможения) газового потока выявлены основные физические механизмы вли яющие на перераспределение энтальпии торможения. Введены количественные характеристики процесса энергоразделения. Рассмотрены наиболее распространённые методы энергоразделения и устройства их реализации: вихревая труба Ранка-Хилша и резонансная труба Гартмана-Шпренгера. Рассмотрены два устройства для реализации энергоразделения в погра ничном слое: устройство, работающее по методу А. И. Леонтьева (устройство газодинамического энергоразделения) и канал с пористой (проницаемой) стен кой. Проведён обзор работ по исследованию данных устройств. 34 Глава 2. Устройство газодинамического энергоразделения 2.1 Предельные оценки Для оценки предельных значений охлаждения и подогрева рабочего тела в устройстве газодинамического энергоразделения воспользуемся моделью, раз работанной в работе [ 30 ]. Рассмотрим теплообменный аппарат, состоящий из двух соосно расположенных осесимметричных каналов рис. 2.1 . Во внутренний канал газ поступает со сверхзвуковой, а во внешний кольцевой — с дозвуковой скоростью. Теплообмен происходит через общую стенку, внешняя поверхность дозвукового канала теплоизолированна. Предполагается, что оба потока имеют одинаковую начальную температуру торможения. 0 1 M ą 1 M 𝑒 ă 1 𝑅 𝑅 𝑒 Рисунок 2.1 — Схема устройства газодинамического энергоразделения Приведём без вывода уравнения, описывающие процессы трения и теп лообмена в коаксиальных каналах переменного сечения, разделённых тепло проводной стенкой. λ 2 𝑑η 𝑑λ 2 “ 𝑘 𝑞 η `λ 2 ´ 1 ˘ 𝐹 pλ 2 , ηq 4 p1 ` 𝐾q η𝐺pλ 2 , 𝑥q ´ 𝑘 𝑞 pλ 2 ` 1q 𝐹 pλ 2 , ηq , (2.1) 𝑑η 𝑑𝑥 “ 2St𝐹 pλ 2 , ηq 𝑅p𝑥q r1 ` 𝐾p𝑥qs (2.2) 35 В уравнении ( 2.1 ) приняты следующие обозначения. Относительная эн тальпия торможения: η “ ℎ ˚ ℎ ˚ 0 , η 𝑏 “ ℎ ˚ 𝑏 ℎ ˚ 0 , ℎ ˚ 𝑏 “ $ & % ℎ ˚ 0 , прямоток ℎ ˚ 1 , противоток (2.3) Коэффициент аналогии Рейнольдса 𝑘 𝑞 “ St 𝑐 𝑓 {2 (2.4) Отношение суммарных потоков массы в сверхзвуковом и дозвуковом ка налах: 𝑚 “ 𝑅 2 𝑅 2 𝑒 ´ 𝑅 2 ρ 𝑢 ρ 𝑒 𝑢 𝑒 , 𝐾 “ ρ 𝑢St ρ 𝑒 𝑢 𝑒 St 𝑒 “ |𝑚| 𝑅 2 𝑒 ´ 𝑅 2 𝑅 2 St St 𝑒 (2.5) 𝐹 pλ 2 , ηq “ 1 ` 𝑚η 𝑏 ´ „ p𝑟 ´ 1q 𝑘 ´ 1 𝑘 ` 1 λ 2 ` 1 ` 𝑚 ȷ η , (2.6) 𝐺pλ 2 , 𝑥q “ 1 𝑐 𝑓 𝑑𝑅 𝑑𝑥 ˆ 1 ´ 𝑘 ´ 1 𝑘 ` 1 λ 2 ˙ ´ 𝑘 𝑘 ` 1 λ 2 (2.7) В рамках принятого подхода величины 𝑐 𝑓 , 𝑘 𝑞 , St, St 𝑒 и 𝑟 считаются за данными и постоянными. Величины 𝑅, 𝑅 𝑒 и, следовательно, 𝐾 в общем случае зависят от продольной координаты 𝑥. Особые точки и характерные решения уравнения ( 2.1 ) детально рассмотре ны в работе [ 30 ]. Здесь, в качестве примера, приведём решения для следующих условий (см. рис. 2.2 ): – прямоточная схема течения η 𝑏 “ 1 ; – рабочее тело — смесь инертных газов. Pr “ 0.2, 𝑘 “ 1.67. Коэффициент восстановления рассчитывался при помощи соотношения ( 1.11 ); – коэффициент аналогии Рейнольдса 𝑘 𝑞 рассчитывался при помощи соот ношения Колбруна (см. табл. 4 , №3); – 𝐾 “ 1, что означает, что формы двух труб, составляющих теплообмен ный аппарат подобны, т.е. 𝑅 𝑒 p𝑥q{𝑅p𝑥q “ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ; – 𝑚 “ 1, т.е. массовые расходы через дозвуковой и сверхзвуковой каналы равны; – цилиндрический теплообменник 1 𝑐 𝑓 𝑑𝑅 𝑑𝑥 “ 0.0 (см. рис. 2.2 а); – расширяющийся теплообменник 1 𝑐 𝑓 𝑑𝑅 𝑑𝑥 “ 5.0 (см. рис. 2.2 б). 36 Помимо интегральных кривых на рис. 2.2 так же нанесена линия нулевого теплового потока 𝑞 𝑤 “ 0 , соответствующая условию [ 30 ]: 𝐹 pλ 2 , ηq “ 0, (2.8) которое можно записать в виде η “ „ 1 ` p𝑟 ´ 1qp𝑘 ´ 1q p1 ` 𝑚qp𝑘 ` 1q λ 2 ȷ ´1 (2.9) 1 2 3 λ 2 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 η 𝑞 𝑤 “ 0 а) 1 2 3 λ 2 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 η б) Рисунок 2.2 — Интегральные кривые и фазовый портрет уравнения ( 2.1 ). Прямоток. Pr “ 0.2, 𝑘 “ 1.67, 𝐾 “ 𝑚 “ 1. a) 1 𝑐 𝑓 𝑑𝑅 𝑑𝑥 “ 0.0 ; б) 1 𝑐 𝑓 𝑑𝑅 𝑑𝑥 “ 5.0 Уравнение ( 2.1 ) удобно использовать для параметрических исследований и предельных оценок. Граничным условием для него будет значение приведен ной скорости сверхзвукового потока в начальном сечении. Как видно из рис. 2.2 для цилиндрического теплообменника (во всём диа пазоне изменения начальных скоростей сверхзвукового потока), а так же для расширяющего теплообменника (для некоторых значений начальных скоростей сверхзвукового потока, для данного примера λ 2 0 ą 2.6 ) наблюдается торможе ние сверхзвукового потока. Изменение статического давления по длине трубы можно определить по следующему соотношению [ 30 ]: 𝑝 𝑝 0 “ λ 0 λ ˆ 1 ´ 𝑘 ´ 1 𝑘 ` 1 λ 2 ˙ ˆ 1 ´ 𝑘 ´ 1 𝑘 ` 1 λ 2 0 ˙ ´1 , (2.10) 37 где 𝑝 0 — давление в начальном сечении. Расчёты по ( 2.10 ) показывают, что убывание приведённой скорости λ приводит к росту статического давле ния. Как известно [ 54 ], рост давления в сверхзвуковом потоке может привести к возникновению скачков уплотнения. Поэтому в дальнейшем будем рассмат ривать решения только для равномерных или ускоряющихся течений. Из баланса энергии для до- и сверхзвукового потоков можно вычислить изменение энтальпии торможения дозвукового потока: η 𝑒 ” ℎ ˚ 𝑒 ℎ ˚ 0 “ 1 ´ 𝑚 pη ´ 1q . (2.11) Кроме того, если задаться начальным значением энтальпии торможения ℎ ˚ 0 , то можно перейти к разности энтальпий или, в случае совершенного газа, и принимая равенство теплоёмкостей, разности температур торможения: Δ𝑇 ˚ “ 𝑇 ˚ 0 pη ´ 1q . (2.12) В работе [ 30 ] также показано, что оптимальным является сверхзвуковой канал, в котором поддерживается постоянная приведённая скорость. В этом случае 1 𝑐 𝑓 𝑑𝑅 𝑑𝑥 “ „ 𝑘 𝑞 pλ 2 ` 1q𝐹 pλ 2 , ηq 4p1 ` 𝐾qη ` 𝑘λ 2 𝑘 ` 1 ȷ ˆ 1 ´ 𝑘 ´ 1 𝑘 ` 1 λ 2 ˙ ´1 (2.13) Если при интегрировании уравнения ( 2.1 ) использовать соотноше ние ( 2.13 ), то на плоскости pλ 2 , ηq решение будет выглядеть вертикальной линией. Горизонтальное положение будет зависеть от начальной скорости λ 0 , а длина определяться соотношением ( 2.9 ). Таким образом соотношение ( 2.9 ) опре деляет предельное значение η для заданных значений 𝑟, 𝑘, 𝑚 и λ. На рис. 2.3 показаны результаты расчётов для воздуха (Pr “ 0.7, 𝑘 “ 1.4) и водород-ксе ноновой смеси (Pr “ 0.2, 𝑘 “ 1.67) в зависимости от соотношения массовых расходов, кроме изменения относительной энтальпии (η и η 𝑒 ) на рисунок также нанесена шкала разности температур торможения, вычисленных по соотноше нию ( 2.12 ) при 𝑇 ˚ 0 “ 15 °C. Для удобства дальнейшего сравнения на рисунке использовано число Маха, связанное с приведённой скоростью соотношением M 2 “ 2 𝑘`1 λ 2 1 ´ 𝑘´1 𝑘`1 λ 2 (2.14) Как видно из рисунка, существенное влияние на величину энергоразде ления оказывают число Маха и вид рабочего тела, а точнее, коэффициент 38 0 2 4 6 8 10 1{𝑚 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 η η 𝑒 M 1.5 3.0 6.0 ´60 ´40 ´20 0 20 40 60 Δ𝑇 ˚ , ˝ C Δ𝑇 ˚ 𝑒 , ˝ C Pr “ 0.7 Pr “ 0.2 Рисунок 2.3 — Предельные значения энергоразделения для каналов M “ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (λ “ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡). Разности температур торможения вычислены для 𝑇 ˚ 0 “ 15 °C восстановления, что напрямую следует из ( 1.7 ). Кроме того, можно сделать вывод о том, что при соотношении расходов 1{𝑚 ă 1 теплообменный аппарат эффективнее работает на охлаждение дозвукового потока, а при 1{𝑚 ą 1 — на нагревание сверхзвукового потока. 2.2 Математические модели устройства Для детального исследования процессов, протекающих в устройстве га зодинамического энергоразделения (см. рис. 2.4 ), воспользуемся одномерной и двумерной (осесимметричной) математическими моделями [ 55 ]. Одномерная модель позволяет оперативно и с достаточной степенью точности производить расчёты устройства и получать распределения основных параметров (скорость, давление, температура и т. д.) вдоль оси канала. При этом предполагается, что все параметры равномерно распределены по сечению. 39 В свою очередь, двумерная модель позволяет получить более детальную информацию о процессах происходящих внутри устройства. Однако использо вание таких моделей требует значительно б´ольших временных затрат, как на этапе построения модели, так и на этапе получения решения. T ∗ 0 P ∗ 0 m 2 T ∗ h T ∗ c T ∗ 0 P ∗ 0 m 1 ôîðêàìåðà ñîïëî ñòåíêà äîçâóêîâîé êàíàë ñâåðõçâóêîâîé êàíàë äèôôóçîð 2 1 Рисунок 2.4 — Схема устройства газодинамического энергоразделения. 1 — дозвуковой канал; 2 — сверхзвуковой канал 2.2.1 Одномерная модель В случае одномерного моделирования можно выделить две субмодели: мо дель течения газа в канале и модель распространения тепла в стенке. Ниже последовательно рассмотрены каждая из них. Модель течения газа в канале Для модели течения газа воспользуемся хорошо известным методом Шапиро-Хоторна [ 56 ]. Метод позволяет анализировать течения при наличии различных внешних воздействий на поток. Идея метода состоит в том, что дифференциал каждой из рассматриваемых величин (скорости, давления, температуры и т.д.) выражается через линейную комбинацию независимых элементарных факторов воздействия (таких, как трение, изменение площади 40 поперечного сечения, подвод тепла и т.д.); коэффициенты этих линейных комби наций, называемые «коэффициентами влияния», выражаются в виде функций одной переменной (числа Маха). Поскольку этот метод будет использоваться нами в дальнейшем, рассмот рим наиболее общие типы течений, включающие в себя случаи влияния трения о стенки (𝑐 𝑓 ), изменения площади поперечного сечения (𝑑𝐴), торможения потока погруженными в него телами (𝑑𝑋 𝑏 ), химических реакций или подво да/отвода тепла (𝑑𝑄), перемешивания и фазовых превращений впрыскиваемых веществ (𝑑𝑚 𝑝 ) и изменений молекулярного веса (𝑑ℳ) (вызванных химически ми реакциями или перемешиванием). На основе балансовых соотношений для выделенного элементарного объёма и привлекая уравнение состояния совершен ного газа можно получить следующее уравнение для изменения числа Маха вдоль канала: 𝑑M 2 M 2 “ ´ 2 `1 ` 𝑘´1 2 M 2 ˘ 1 ´ M 2 𝑑𝐴 𝐴 ` 1 ` 𝑘M 2 1 ´ M 2 𝑑𝑄 𝑚𝐶 𝑝 𝑇 ` ` 𝑘M 2 `1 ` 𝑘´1 2 M 2 ˘ 1 ´ M 2 „ 4𝑐 𝑓 𝑑𝑥 𝑑 ℎ ` 2𝑑𝑋 𝑝 𝑘𝐴𝑝M 2 ` ´ 1 ´ 𝑢 𝑝 𝑢 ¯ 𝑑𝑚 𝑝 𝑚 ȷ ` ` 2 `1 ` 𝑘M 2 ˘ `1 ` 𝑘´1 2 M 2 ˘ 1 ´ M 2 𝑑𝑚 𝑝 𝑚 ´ 1 ` 𝑘M 2 1 ´ M 2 𝑑ℳ ℳ ´ 𝑑𝑘 𝑘 (2.15) Уравнения для остальных переменных (давление, температура и т.д.) мо гут быть получены при использовании коэффициентов влияния из табл. 1 Для рассматриваемой конфигурации устройства (см. рис. 2.4 ) внешними воздействиями на поток будут: – геометрическое 𝑑𝐴; – тепловое 𝑑𝑄 𝑤 ; – воздействие трением 𝑐 𝑓 Необходимо записать дополнительные соотношения, связывающие внеш ние воздействия с параметрами потока. Количество переданного тепла: 𝑑𝑄 𝑤 “ 4𝑞 𝑤 𝐴 𝑑 ℎ 𝑑𝑥, 𝑞 𝑤 “ α p𝑇 𝑤 ´ 𝑇 ˚ 𝑎𝑤 q , α “ Nuλ 𝑑 ℎ (2.16) Значения числа Нуссельта Nu и коэффициента гидравлического сопро тивления ξ определялись по-разному для внутреннего (цилиндрического) и внешнего (кольцевого) каналов [ 57 ]: 41 Таблица 1 — Коэффициенты влияния [ 56 ] 𝑑𝐴 𝐴 𝑑𝑄 𝑚𝐶 𝑝 𝑇 4 𝑐 𝑓 𝑑𝑥 𝑑 ℎ ` 2 𝑑𝑋 𝑏 𝑘 𝐴𝑝 M 2 ` ` 1 ´ 𝑢 𝑝 𝑢 ˘ 𝑑𝑚 𝑝 𝑚 𝑑𝑚 𝑝 𝑚 𝑑 ℳ ℳ 𝑑𝑘 𝑘 𝑑 M 2 M 2 ´ 2 p 1 ` 𝑘 ´ 1 2 M 2 q 1´ M 2 1 ` 𝑘 M 2 1 ´ M 2 𝑘 M 2 p 1` 𝑘 ´ 1 2 M 2 q 1 ´ M 2 2 p 1 ` 𝑘 M 2 qp 1` 𝑘 ´ 1 2 M 2 q 1´ M 2 ´ 1 ` 𝑘 M 2 1 ´ M 2 ´ 1 𝑑𝑢 𝑢 ´ 1 1´ M 2 1 1 ´ M 2 𝑘 M 2 2 p 1´ M 2 q 1 ` 𝑘 M 2 1´ M 2 ´ 1 1 ´ M 2 0 𝑑𝑇 𝑇 p𝑘 ´ 1 q M 2 1 ´ M 2 1 ´ 𝑘 M 2 1 ´ M 2 ´ 𝑘 p𝑘 ´ 1q M 4 2p 1 ´ M 2 q ´ p𝑘 ´ 1 q M 2 p 1 ` 𝑘 M 2 q 1´ M 2 p𝑘 ´ 1q M 2 1´ M 2 0 𝑑 ρ ρ M 2 1 ´ M 2 ´ 1 1´ M 2 ´ 𝑘 M 2 2p 1 ´ M 2 q ´ p𝑘 ` 1q M 2 1´ M 2 1 1´ M 2 0 𝑑𝑝 𝑝 𝑘 M 2 1 ´ M 2 ´ 𝑘 M 2 1´ M 2 ´ 𝑘 M 2 r 1`p 𝑘 ´ 1q M 2 s 2p 1 ´ M 2 q ´ 2𝑘 M 2 p 1` 𝑘 ´ 1 2 M 2 q 1´ M 2 𝑘 M 2 1´ M 2 0 42 – Цилиндрический канал (полностью развитое турбулентное течение) Nu 𝑡𝑢𝑟𝑏 “ ξ 8 Re Pr 1 ` 12.7 b ξ 8 ´ Pr 2{3 ´1 ¯ « 1 ` ˆ 𝑑 ℎ 𝐿 ˙ 2{3 ff ; (2.17) ξ “ p1.8 log 10 Re ´ 1.5q ´2 (2.18) – Кольцевой канал (полностью развитое турбулентное течение) Nu 𝑡𝑢𝑟𝑏 “ ξ 𝑎𝑛𝑛 8 Re Pr 1 ` 12.7 b ξ 𝑎𝑛𝑛 8 ´ Pr 2{3 ´1 ¯ « 𝑘 1 ` ˆ 𝑑 ℎ 𝐿 ˙ 2{3 ff 𝐹 𝑎𝑛𝑛,𝑖 ; (2.19) 𝑘 1 “ 1.07 ` 900 Re ´ 0.63 1 ` 10 Pr , 𝑎 “ 𝑑 𝑖 𝑑 𝑜 , 𝐹 𝑎𝑛𝑛,𝑖 “ 0.75𝑎 ´0.17 ; ξ 𝑎𝑛𝑛 “ p1.8 log 10 Re ˚ ´ 1.5q ´2 , Re ˚ “ Re `1 ` 𝑎 2 ˘ ln 𝑎 ` `1 ` 𝑎 2 ˘ p1 ´ 𝑎 2 q ln 𝑎 (2.20) Поскольку в расчётах для дозвукового канала (кольцевой канал) значения массового расхода варьировались в широких пределах, то для расчёта коэффи циентов теплоотдачи использовались также соотношения и для ламинарного течения [ 57 ]. Переключение между режимами осуществлялось по следующе му правилу: Nu “ p1 ´ γq Nu 𝑙𝑎𝑚 ` γNu 𝑡𝑢𝑟𝑏 , (2.21) γ “ Re ´ Re 𝑐𝑟 1 Re 𝑐𝑟 2 ´ Re 𝑐𝑟 1 , где Re 𝑐𝑟 1 “ 2300, Re 𝑐𝑟 2 “ 10 4 (2.22) Коэффициент трения определялся из следующего соотношения с учётом поправки на сжимаемость [ 58 ]: 𝑐 𝑓 “ Ψ M ξ 4 , Ψ M “ ¨ ˝ arctg M b 𝑟 𝑘´1 2 M b 𝑟 𝑘´1 2 ˛ ‚ 2 (2.23) Коэффициент восстановления температуры рассчитывался при помощи соотношения Ротта [ 25 ]: 𝑟 “ Pr 𝑡 ` 𝑐 𝑓 2 pPr ´ Pr 𝑡 q 𝑓 ` 7 p1 ´ Pr 𝑡 q c 𝑐 𝑓 2 (2.24) 43 Таблица 2 — Значения функции 𝑓, необходимой для вычисления коэффициента восстановления ( 2.24 ), от Pr{Pr 𝑡 [ 25 ] Pr{Pr 𝑡 𝑏 Pr{Pr 𝑡 𝑏 Pr{Pr 𝑡 𝑏 0.5 123.8 5. 47.5 100. 10.9 0.72 108.1 10. 34.3 200. 7.7 1.44 82.2 20. 24.5 1000. 3.4 2.0 71.6 30. 20.1 Значения функции 𝑓 как отношения Pr{Pr 𝑡 приведены в табл. 2 Закон изменения площади поперечного сечения задавался аналитической зависимостью 𝐴 “ 𝐴 p𝑥q. Модель стенки Для моделирования распространения тепла использовалось решение од номерной задачи теплопроводности для цилиндрической стенки [ 59 ]: 𝑞 𝑙 “ 𝐾 p𝑇 ˚ 𝑎𝑤1 ´ 𝑇 ˚ 𝑎𝑤2 q , 𝐾 “ π ˆ 1 α 1 𝑑 𝑜 ` 1 2λ 𝑤 ln 𝑑 𝑜 𝑑 𝑖 ` 1 α 2 𝑑 𝑖 ˙ ´1 , (2.25) где индекс 1 относится к дозвуковому потоку, а 2 — к сверхзвуковому. Граничные условия Таким образом, имеется замкнутая система уравнений ( 2.15 )–( 2.25 ), опи сывающих течение и теплообмен в системе коаксиальных каналов, разделённых теплопроводной стенкой. Граничными условиями для этой системы будут сле дующие соотношения: M “ M 0 , 𝑢 “ 𝑢 0 , 𝑇 “ 𝑇 0 , ρ “ ρ 0 , 𝑝 “ 𝑝 0 при 𝑥 “ 0. (2.26) Заметим, что предложенная модель не ограничена никакими допущени ями о законах изменения площадей каналов (за исключением гладкости), т.е. могут быть использованы любые вариации, необходимо лишь использовать под ходящие законы трения и теплообмена для соответствующих каналов. 44 2.2.2 Двумерная модель Двумерная модель основана на уравнениях Навье-Стокса осреднённых по Рейнольдсу (RANS), уравнении энергии (как для жидкости, так и для твёрдого тела) и уравнениях соответствующей модели турбулентности. Дискретизация уравнений проводилась на основе метода контрольного объёма при исполь зовании противопоточных схем второго порядка [ 60 ]. При построении сетки использовался препроцессор ANSYS ICEM CFD. Для моделирования исполь |