Численное моделирование процессов энергоразделения в потоках сжимаемого газа
 Скачать 3.7 Mb.
|
|
Построение математической модели Течение в канале переменного сечения при наличии впрыска воды можно описать уравнениями уже использованными в п. 2.2.1 (см., например, ( 2.15 )). Для замыкания системы уравнений необходимо выразить внешние воз действия через параметры течения. 91 Если через 𝑚 ` 𝑚 𝑝 обозначить полный расход для смешанной системы (𝑚 𝑝 относится к потоку капель). Полный расход остается постоянным, поэтому 𝑚 ` 𝑚 𝑝 “ const “ 𝑚 0 ` 𝑚 𝑝0 , здесь нулевой индекс относится к условиям во входном сечении. Таким образом, в каждой точке поток газов будет складываться из потока воздуха и потока пара: 𝑚 “ 𝑚 0 ` 𝑚 𝑝0 ´ 𝑚 𝑝 (2.62) Молекулярный вес газообразной системы поэтому будет выражаться сле дующим образом: ℳ “ 𝑚 0 ` 𝑚 𝑝0 ´ 𝑚 𝑝 𝑚 0 ℳ 𝐴 ` 𝑚 𝑝0 ´𝑚 𝑝 ℳ 𝑉 (2.63) Индексы 𝐴 и 𝑉 обозначают воздух и пар соответственно. Газовая постоянная определяется из следующего соотношения: R “ R 𝑢𝑛𝑣 ℳ , (2.64) где R 𝑢𝑛𝑣 — универсальная газовая постоянная. Изменение теплоёмкости, согласно аддитивному закону: 𝐶 𝑝 “ 𝑚 0 𝑚 𝐶 𝑝𝐴 ` 𝑚 𝑝0 ´ 𝑚 𝑝 𝑚 𝐶 𝑝𝑉 (2.65) Показатель адиабаты связан с 𝐶 𝑝 и R следующим соотношением: 𝑘 “ 𝐶 𝑝 𝐶 𝑝 ´ R (2.66) Элементарное сопротивление капель 𝑋 𝑝 : 2𝑑𝑋 𝑝 𝑘𝐴𝑝M 2 “ 𝑚 𝑝 𝑚 𝑑𝑢 𝑝 𝑢 (2.67) Количество тепла ´𝑄 𝑝 . передаваемое газообразной системой жидкой си стеме, отчасти идёт на повышение энтальпии капель, отчасти — на испарение массы жидкости ´𝑑𝑚 𝑝 , поэтому можно записать ´ 𝑑𝑄 𝑝 “ 𝑚 𝑝 𝑑ℎ 𝑝 ´ pℎ 𝑣 ´ ℎ 𝑝 q 𝑑𝑚 𝑝 92 Здесь ℎ 𝑝 — энтальпия жидкости, соответствующая 𝑇 𝑝 . Очевидно, что вели чина ℎ 𝑣 ´ ℎ 𝑝 представляет собой скрытую теплоту испарения 𝑟 при температуре 𝑇 𝑝 , тогда ´ 𝑑𝑄 𝑝 “ 𝑚 𝑝 𝑑ℎ 𝑝 ´ 𝑟𝑑𝑚 𝑝 (2.68) Член ´𝑑𝑊 𝑝 обозначает механическую энергию, отнятую от газообразной си стемы. Далее, работа сил сопротивления капель не полностью извлекается из газообразной системы, так как часть ее рассеивается в самой газообразной си стеме. Отнятая механическая энергия равна приращению кинетической энергии жидкой системы: ´ 𝑑𝑊 𝑝 “ 𝑚 𝑝 𝑢 𝑝 𝑑𝑢 𝑝 (2.69) Далее необходимо записать соотношения, характеризующие обмен массы, количества движения и тепла между двумя системами. Эти соотношения легко составить для отдельной капли, учитывая, что её диаметр δ связан с массой 𝑚 𝑝 простым соотношением ˆ δ δ 0 ˙ 3 “ 𝑚 𝑝 𝑚 𝑝0 , (2.70) где δ 0 — диаметр капли во входном сечении (одинаковый для всех капель). Изменение массы частицы ´ 𝑢 𝑝 𝑑 𝑑𝑥 ˆ πδ 3 6 ρ 𝑝 ˙ “ α 𝐷 pπδq 2 pρ 𝑣 ´ ρ 𝑣𝑡 q . (2.71) Здесь ρ 𝑣 — плотность насыщенного пара при температуре 𝑇 𝑝 , ρ 𝑣𝑡 — плотность пара при температуре восстановления на поверхности капли 𝑇 ˚ 𝑝 и парциальном давлении пара в основном потоке. Коэффициент α 𝐷 связан с коэффициентом диффузии пара в воздухе 𝐷, коэффициентом вязкости µ и другими парамет рами соотношением: α 𝐷 “ Sh 𝐷 δ , Sc “ µ ρ 𝐷 , Re “ ρδ|𝑢 ´ 𝑢 𝑝 | µ Сопротивление капли, уравновешивающее силу инерции, описывается сле дующей формулой: ρ 𝑝 πδ 3 6 𝑢 𝑝 𝑑𝑢 𝑝 𝑑𝑥 “ 𝐶 𝐷 πδ 2 4 ρ 2 p𝑢 ´ 𝑢 𝑝 q |𝑢 ´ 𝑢 𝑝 |. (2.72) 93 Здесь 𝐶 𝐷 — коэффициент торможения капель. Тепло, подведенное к капле, связано со скоростью увеличения энтальпии капли и со скоростью испарения соотношением: α 𝑇 pπδq 2 `𝑇 ˚ 𝑝 ´ 𝑇 𝑝 ˘ “ πδ 3 6 ρ 𝑝 𝑢 𝑝 𝑑ℎ 𝑝 𝑑𝑥 ´ 𝑟𝑢 𝑝 𝑑 𝑑𝑥 ˆ πδ 3 6 ρ 𝑝 ˙ (2.73) Здесь коэффициент теплопередачи α 𝑇 выражается через коэффициент теп лопроводности λ, коэффициент вязкости µ и другие параметры при помощи следующих выражений: α 𝑇 “ Nu λ δ , Pr “ 𝐶 𝑝 µ λ В итоге, мы имеем пять линейных однородных дифференциальных уравнений (для числа Маха см. ( 2.15 )), связывающих логарифмические диффе ренциалы зависимых величин M, 𝑢, 𝑇, ρ, 𝑝 с элементарными процессами, вызы вающими преобразования. Помимо того, в качестве неизвестных выступают еще и переменные 𝑚 𝑝 , 𝑇 𝑝 и 𝑢 𝑝 , входящие в дополнительные уравнения ( 2.71 ) – ( 2.73 ). Далее необходимо записать некоторые важные дополнительные соотношения. Дополнительные соотношения Теплофизические свойства. Вязкость смеси воздуха и пара рассчитывает ся по следующему соотношению [ 101 ]: µ “ 𝑛 ÿ 𝑖“1 𝑦 𝑖 µ 𝑖 ř 𝑛 𝑗“1 𝑦 𝑖 φ 𝑖𝑗 , (2.74) где φ 𝑖𝑗 “ ” 1 ` pµ 𝑖 {µ 𝑗 q 1{2 pℳ 𝑗 {ℳ 𝑖 q 1{4 ı 2 2 ? 2 r1 ` pℳ 𝑖 {ℳ 𝑗 qs 1{2 (2.75) Теплопроводность смеси определяется по аналогичной зависимости [ 102 ]: λ “ 𝑛 ÿ 𝑖“1 𝑦 𝑖 λ 𝑖 ř 𝑛 𝑗“1 𝑦 𝑖 φ 𝑖𝑗 , (2.76) 94 Коэффициенты тепло- и массоотдачи. В таблице 6 приведены крите риальные уравнения для расчета тепло и массоотдачи полученные разными авторами на основе экспериментов с одиночными каплями, ансамблями капель и с распылительными аппаратами. Как можно увидеть из таблицы, независимо от условий экспериментов, природы жидкости и физических свойств газа, все уравнения дают довольно близкие результаты. Поэтому для расчета коэффициентов массоотдачи вы брано уравнение Фрёслинга (уравнение №3 в табл. 6 ), как экспериментально проверенное в более широком диапазоне изменения величин, а для расчета ко эффициента теплоотдачи — уравнение Ранца и Маршалла (уравнение №6 в табл. 6 ), как наиболее подходящие по диапазону изменения параметров. Коэффициент аэродинамического сопротивления капель. Для коэф фициента торможения используются следующие зависимости [ 104 ]: – Для чисел Маха M 𝑝 ă 1.0 𝐶 𝐷 “ 24 „ Re p ` 𝑆 " 4.33 ` 1.567 ˆ exp ˆ ´0.247 Re p 𝑆 ˙*ȷ ´1 ` ` exp ˜ ´ 0.5M aRe p ¸ ˆ ˆ « 4.5 ` 0.38 `0.03Re p ` 0.48 aRe p ˘ 1 ` 0.03Re p ` 0.48 aRe p ` 0.1M 2 𝑝 ` 0.2M 8 𝑝 ff ` ` „ 1 ´ exp ˆ ´ M 𝑝 Re p ˙ȷ 0.6𝑆. (2.77) – Для чисел Маха 1.0 ă M 𝑝 ă 1.75 𝐶 𝐷 “ 24 Re p 1 ` exp ´ ´ 0 .427 M 4.63 𝑝 ´ 3 Re p 0.88 ¯ 1 ` M 𝑝 Re p ” 3.82 ` 1.28 exp ´ ´1.25 Re p M 𝑝 ¯ı . (2.78) – Для чисел Маха M 𝑝 ě 1.75 𝐶 𝐷 “ 0.9 ` 0 .34 M 2 𝑝 ` 1.86 ´ M 𝑝 Re p ¯ 1{2 “2 ` 2 𝑆 2 ` 1 .508 𝑆 ‰ ` 1 𝑆 4 1 ` 1.86 ´ M 𝑝 Re p ¯ 1{2 , (2.79) где M 𝑝 “ |𝑢´𝑢 𝑝 | ? 𝑘ℛ𝑇 и 𝑆 “ M 𝑝 b 𝑘 2 95 Таблица 6 — Критериальные уравнения тепло- и массоотдачи для сферической частицы [ 103 ] № Уравнение Диапазон 1 Sh “ 2 ` 0.347Re 0.6 Sc 0.33 Sc “ 1 ´ 7 ˆ 10 4 Re “ 10 ´ 10 4 2 Sh “ 2 ` 0.45Re 0.5 Sc 0.33 ` Sc “ 1 `0.0048Re 0.25 ` Sc 0.33 Re “ p1 ´ 16q ˆ 10 3 3 Sh “ 2 ` 0.552Re 0.5 Sc 0.33 Sc “ 0.6 ´ 4 ˆ 10 2 Re “ p1 ´ 7q ˆ 10 4 4 Sh “ 2 ` 0.57Re 0.5 Sc 0.33 Sc “ 1 Re “ 1 ´ 2.5 ˆ 10 3 5 Sh “ 2 ` 0.6Re 0.5 Sc 0.33 Re “ 1 ´ 20 6 Nu “ 2 ` 0.6Re 0.6 Pr 0.33 Re “ 0 ´ 2 ˆ 10 2 7 Nu “ 0.16Re 0.66 Re “ 0.7 ´ 2 ˆ 10 2 8 Nu “ 2 ` 0.65Re 0.5 Pr 0.33 9 Nu “ 1.09Re 0.43 Re “ p0.2 ´ 25q ˆ 10 2 10 Nu “ 0.714Re 0.5 Pr 0.33 Re ą 200 11 Nu “ 0.62Re 0.5 Re “ p0.15 ´ 30q ˆ 10 3 12 Nu “ 0.54Re 0.5 Re “ p0.2 ´ 3q ˆ 10 3 13 Nu “ 2 ` 0.028Re 0.54 ` 0.31Re 0.58 Re “ 5 ´ 10 ˆ 10 4 14 Nu “ 0.33Re 0.6 Re “ p0.02 ´ 15q ˆ 10 3 15 Nu “ 0.37Re 0.6 Re “ 17 ´ 7 ˆ 10 4 16 Nu “ 2 ` 0.459Re 0.5 Pr 0.33 Re “ 5 ´ 5 ˆ 10 3 Коэффициент поверхностного трения. Коэффициент трения определял ся из соотношения ( 2.23 ). Начальный диаметр капель. Величина среднего диаметра капли зависит в основном от выбранной системы распыла жидкости. Наиболее мелкие кап ли можно получить при распылении пневматическими форсунками. Дробление струи жидкости производится самим высокоскоростным газовым потоком. Од ну из наиболее крупных серий опытов по воздушному распыливанию жидкости провели японские учёные Нукияма и Танасава [ 105 ]. На основании результа тов нескольких сотен опытов, проведённых при различных условиях, авторы получили следующую эмпирическую формулу для среднего объёмного-поверх 96 ностного диаметра капель: δ 32 “ 585 𝑢 ´ 𝑢 𝑝 c σ 𝑝 ρ 𝑝 ` 597 ˆ µ 𝑝 ? ρ 𝑝 σ 𝑝 ˙ 0 .45 ˆ 1000 𝑚 𝑚 𝑝 ρ ρ 𝑝 ˙ 1 .5 , (2.80) где δ 32 “ ř δ 3 𝑛 ř δ 2 𝑛 — средний объёмно-поверхностный диаметр капель, мкм. 𝑢 и 𝑢 𝑝 — скорость воздуха и жидкости, м{с. σ 𝑝 — коэффициент поверхностного натяжения, дин{см 3 ρ 𝑝 и ρ — плотность жидкости и газа, г{см 3 µ 𝑝 — вязкость жидкости, пуаз. 𝑚 𝑝 и 𝑚 — массовые расходы жидкости и газа, кг{с Уравнение ( 2.80 ) справедливо для следующего диапазона изменения па раметров ρ 𝑝 “ 0.7 –12 г{см 3 , σ 𝑝 “ 19 –73 дин{см 3 , µ 𝑝 “ 0.01 –0.3 пуаз, 𝑚 𝑝 𝑚 ρ ρ 𝑝 “ 600 –10000. Хрубецкий [ 106 ] изучал распыливание воздухом водяных струй, подава емых параллельно или нормально к воздушному потоку. Опыты показали, что наиболее тонкое распыливание достигается в том случае, когда жидкость впрыскивается параллельно воздушному потоку в зону максимальной скоро сти воздуха. Битрон [ 107 ] исследовал работу пневматических распылителей с расширя ющимися воздушными каналами, в которых скорость вытекающей воздушной струи превышала скорость звука. Опыты Битрона показали, что уравне ние ( 2.80 ) остается справедливым в охваченном авторе диапазоне сверхзвуковых скоростей с числом Маха M = 1–2. Таким образом, мы получили замкнутую систему содержащую восемь уравнений и восемь неизвестных (M, 𝑢, 𝑇, ρ, 𝑝, 𝑚 𝑝 , 𝑇 𝑝 и 𝑢 𝑝 ), которая может быть численно проинтегрированна. Валидация модели аэротермопрессора Как уже отмечалось, в работе [ 91 ] были проведены обширные эксперимен тальные исследования аэротермопрессора диаметром 𝑑 ℎ “ 53.975 мм. В ходе 97 исследований проводились серии экспериментов, в которых варьировались сле дующие параметры на входе в аэротермопрессор: – относительный расход воды, Ω 0 “ 𝑚 𝑝0 𝑚 0 , – число Маха, M 0 , – давление торможения воздуха, 𝑃 ˚ 0 , – температура торможения , 𝑇 ˚ 0 На рис. 2.34 , 2.35 представлено сопоставление расчетных (сплошные кри вые) и экспериментальных данных (штриховые кривые). Как видно из рисунков достигнуто удовлетворительное совпадение данных. Как известно [ 76 ], при использовании обыкновенных дифференциальных уравнений для описания сжимаемых течений возникает особая точка типа «сед ло» при переходе через критическое значение числа Маха M “ 1. В связи с этим для моделирования течений с переходом через скорость звука (см. рис. 2.35 ) ис пользовался метод, разработанный в работе [ 108 ]. 98 2.6.4 Параметрическое исследование Рассмотрим влияние основных параметров на степень повышения дав ления торможения при течении в АТП диаметром 𝑑 ℎ “ 500 мм. В качестве количественной характеристики работы АТП будем использовать максималь ную степень повышения давления: σ ˚ max “ ˆ 𝑃 ˚ p𝑥q 𝑃 ˚ 0 ˙ 𝑚𝑎𝑥 (2.81) 0.95 1.00 σ ˚ а) 0.5 0.6 0.7 M б) Ω 0 0.20 0.30 0.40 M 0 𝑃 ˚ 0 , атм 𝑇 ˚ 0 , °C δ 0 , мкм 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 0.7 2.0 727 15 0 0 2 4 6 8 10 12 14 𝑥{𝑑 ℎ 0.0 0.5 1.0 ω в) Рисунок 2.37 — Изменение относительного давления торможения (а), числа Маха (б) и массовой доли испарившейся жидкости (в) по длине канала АТП при 𝑑 ℎ “ 500 мм; M 0 “ 0.7; 𝑃 ˚ 0 “ 2.0 атм; 𝑇 ˚ 0 “ 727 °C. Символами «˝» показана максимальная степень повышения давления торможения σ ˚ max для каждого случая На рис. 2.37 а приведены примеры изменения давления торможения по длине АТП для различных значений начальной массовой доли жидкости Ω 0 99 Символами «˝» показаны значения σ ˚ max для каждого случая. Как видно из рисунка, σ ˚ max достигается на разных длинах. В дальнейшем мы будем рассматривать только значения σ ˚ max , предполагая, что каждому значению со ответствует своя длина секции испарения. 𝑃 ˚ 0 , атм 𝑇 ˚ 0 , °C δ 0 , мкм 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 2.0 727 15 0 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 Ω 0 1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 σ ˚ 𝑚𝑎𝑥 M 0 0.5 0.6 0.7 Рисунок 2.38 — Влияние начальных параметров (дозвукового числа Маха и относительной массовой доли жидкости) на максимальную степень повышения давления торможения в АТП при 𝑑 ℎ “ 500 мм; 𝑃 ˚ 0 “ 2.0 атм; 𝑇 ˚ 0 “ 727 °C Влияние начальной массовой доли жидкости на эффективность АТП при дозвуковых начальных скоростях потока и нулевой начальной скорости капель 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 “ 0 показано на рис. 2.38 . Как видно из рисунка, для каждого начального числа Маха существует оптимальное значение Ω 0 . Кроме того, можно отметить, что недостаток воды сказывается существеннее, чем избыток. Например, при Ω 0 “ 0.2 наименьшая степень повышения давления торможения наблюдается для M 0 “ 0.7 . Это объясняется тем, что малое количество впрыснутой воды испаряется (отвод тепла) уже на коротком начальном участке канала (см. соот ветствующую кривую на рис. 2.37 в), далее вниз по потоку давление торможения падает за счёт воздействия трения. Далее, по мере роста начальной массовой до ли жидкости Ω 0 , растёт количество испарившейся жидкости, а следовательно, колличество отведённого тепла. Кроме того, с ростом Ω 0 число Маха в канале падает (см. рис. 2.37 б), т.е. испарение происходит при меньшем числе Маха. 100 Наконец, при определённом значении Ω 0 , колличество испарившейся жидкости начинает уменьшаться, а следовательно уменьшается и σ ˚ max Для сверхзвуковых скоростей на входе АТП не удаётся получить роста давления торможения при нулевой начальной скорости капель 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 “ 0 , т.к. потери давления от впрыска и разгона капель не компенсируются испарени ем (см. рис. 2.39 ). 0.8 0.9 1.0 σ ˚ а) 1.2 1.4 M б) M 0 𝑃 ˚ 0 , атм 𝑇 ˚ 0 , °C δ 0 , мкм 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 1.5 2.0 727 15 0 0 2 4 6 8 10 12 14 𝑥{𝑑 ℎ 0.0 0.5 1.0 ω в) Ω 0 0.05 0.10 0.20 0.30 Рисунок 2.39 — Изменение относительного давления торможения (а), числа Маха (б) и массовой доли испарившейся жидкости (в) по длине канала АТП при 𝑑 ℎ “ 500 мм; M 0 “ 1.5; 𝑃 ˚ 0 “ 2.0 атм; 𝑇 ˚ 0 “ 727 °C Влияние начальной скорости капель 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 на степень повышения давле ния торможения при сверхзвуковых начальных скоростях показано на рис. 2.40 Рост начальной скорости частиц снижает или полностью ликвидирует потери энергии на разгон капель и позволяет получить σ ˚ max « 1.25 для M 0 “ 1.5 Возможность разгона капель до скоростей основного потока (M 0 “ 1.5 ) пока зана в работе [ 107 ]. 101 M 0 𝑃 ˚ 0 , атм 𝑇 ˚ 0 , °C δ 0 , мкм 1.5 2 727 5 0.1 0.2 0.3 0.4 Ω 0 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 σ ˚ 𝑚𝑎𝑥 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Рисунок 2.40 — Влияние начальных параметров (относительной массовой доли жидкости и относительной скорости капель) на максимальную степень повышения давления торможения в АТП при 𝑑 ℎ “ 500 мм; M 0 “ 1.5 𝑃 ˚ 0 “ 2.0 атм; 𝑇 ˚ 0 “ 727 °C Поведение кривых на рис. 2.40 может быть объяснено следующим обра зом. Рост начальной скорости капель 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 приводит к росту числа Маха в канале (см. рис. Б.1 ), т.е. чем выше 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 , тем при более высоких числах Ма ха происходит испарение и σ ˚ max , следовательно, растёт. С другой стороны, как уже отмечалось выше, повышение количества впрыснутой жидкости Ω 0 ведёт к снижению числа Маха. На рис. 2.41 показано изменение σ ˚ max в зависимости от начального числа Маха и относительной скорости капель. Кривые построены для оптимальных значений Ω 0 (см. рис. 2.40 ). Для каждого значения начальной относительной скорости капель 𝑢 𝑝0 {𝑢 0 существует оптимальное число Маха. Как уже отме чалось, тепло от потока эффективнее отводить при высоких числах Маха, однако при росте начального числа Маха, доля испарившейся жидкости снижа ется (см. рис. Б.2 ). Баланс этих двух факторов позволяет получить оптимальное число Маха. Кроме того, рассмотренная модель предсказывает предельное по вышения давления торможения σ ˚ max « 1.25 Таким образом на базе одномерной модели АТП продемонстрирована возможность использования испарительного охлаждения в высокоскоростных |