Численное моделирование процессов энергоразделения в потоках сжимаемого газа
 Скачать 3.7 Mb.
|
|
𝑞 { 𝐶 𝑝 “ const , которая показывает, что при равном количестве отведённого тепла степень повышения давления тор можения растёт с увеличением начального числа Маха M 1 как в дозвуковой, так и в сверхзвуковой областях, т.е. тепло выгоднее отводить от потока с вы соким начальным числом Маха. Стоит отметить, что в дозвуковом случае имеем конечный предел повы шения давления торможения (причём для каждого M 1 этот предел свой), тогда как в области сверхзвуковых течений такого предела нет. 69 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 M 2 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 σ ˚ 𝑠𝑢𝑏 0.1 0.3 0.5 0.7 𝑞 𝐶 𝑝 “ 0.9 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 σ ˚ 𝑠𝑢𝑝 𝑘 “ 1.4 0.1 0.4 0.6 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 M 1 “ 1.0 Рисунок 2.23 — Влияние начального числа Маха на величину повышения давления торможения при тепловом воздействии Проведём оценки максимальной степени повышения давления торможе ния в этих двух случаях. 1. Для M 1 ď 1 , M 2 “ 0.0 pσ ˚ max q 𝑠𝑢𝑏 “ `1 ` 𝑘M 2 1 ˘ ˆ 1 ` 𝑘 ´ 1 2 M 2 1 ˙ ´ 𝑘 𝑘´1 ; (2.43) 2. Для M 1 ě 1 , M 2 “ 8 pσ ˚ max q 𝑠𝑢𝑝 “ 8. Таким образом, σ ˚ max для дозвукового течения зависит от начального числа M 1 и показателя адиабаты 𝑘, т.е. от вида рабочего тела. Влияние вида рабочего тела на величину повышения давления тормо жения при отводе тепла от потока показано на рис. 2.24 . Что характерно, в дозвуковом потоке при переходе на газы с б´ольшим показателем адиабаты степень повышения давления увеличивается, тогда как в сверхзвуковом потоке наблюдаем обратную картину. В таблице 3 приведены результаты расчётов по формуле ( 2.43 ) для раз личных газов. Как видно из таблицы при изменении показателя адиабаты 𝑘 70 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 M 2 1.0 1.1 1.2 1.3 σ ˚ 𝑠𝑢𝑏 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 σ ˚ 𝑠𝑢𝑝 𝑘 “ 1.33 1.40 1.67 Рисунок 2.24 — Влияние вида рабочего тела на процесс повышения давления торможения при тепловом воздействии. M 1 “ 1.0 Таблица 3 — Зависимость максимальной степени повышения давления торможения в дозвуковом течении от вида рабочего тела Газ 𝑘 pσ ˚ max q 𝑠𝑢𝑏 Одноатомный 5 { 3 “ 1.67 1.30 Двухатомный или линейный многоатомный 7 { 5 “ 1.40 1.27 Многоатомный нелинейный 1 { 3 “ 1.33 1.26 максимальная степень повышения давления торможения в дозвуковом потоке pσ ˚ max q 𝑠𝑢𝑏 изменяется незначительно. Также стоит отметить, что при одном и том же количестве отведённого тепла, при прочих равных условиях, повышение давления торможения всегда будет больше в сверхзвуковом потоке. Это легко показать, если принять, что изменение энтропии есть мера изменения давления торможения при тепловом воздействии [ 77 ]. Действительно, согласно второму началу термодинамики Δ𝑠 1 –2 “ 2 ż 1 𝑑𝑞 𝑇 (2.44) Из уравнения ( 2.44 ) следует, что изменение энтропии тем больше, чем ниже средне интегральная температура процесса. Таким образом, при равных 71 начальных температурах и одном и том же количестве отведённого тепла изме нение энтропии всегда больше в сверхзвуковом потоке, т. к. средне интегральная температура ниже. Всё вышесказанное иллюстрирует рис. 2.25 , на котором изображена 𝑇 -𝑠 диаграмма процесса течения газа в канале постоянного сечения при наличии только теплового воздействия при M 1 “ 1 . Другими словами на рисунке изоб ражена линия Релея. Помимо традиционной зависимости термодинамической температуры от изменения энтропии 𝑇 “ 𝑇 pΔ𝑠q на рисунке так же приведено изменение температуры торможения 𝑇 ˚ “ 𝑇 ˚ pΔ𝑠q Кроме того, интегрируя уравнение ( 2.44 ) с использованием первого закона термодинамики и переходя к параметрам торможения, получим Δ𝑠 1 –2 “ 𝑘 R 𝑘 ´ 1 ln 𝑇 ˚ 2 𝑇 ˚ 1 ´ R ln 𝑃 ˚ 2 𝑃 ˚ 1 (2.45) После потенциирования уравнения ( 2.45 ), имеем σ ˚ “ 𝑃 ˚ 2 𝑃 ˚ 1 “ exp ˆ 𝑘 𝑘 ´ 1 ln 𝑇 ˚ 2 𝑇 ˚ 1 ´ Δ𝑠 1 –2 R ˙ (2.46) Из уравнения ( 2.46 ) следуют два важных вывода: 1. Изменение давления торможения происходит только под действием из менения температуры торможения и энтропии. 2. При отводе тепла от потока рост давления торможения сопровождается уменьшением энтропии. 1 Таким образом, по результатам проведённого анализа можно сделать сле дующие выводы: 1. Увеличение давления торможения при отводе тепла от движущегося потока возможно как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоках. 2. В дозвуковом потоке имеем конечный предел повышения давления тор можения. 3. Влияние вида рабочего тела существенно сказывается лишь в сверхзву ковом потоке. При переходе на газы с низким показателем адиабаты степень повышения давления торможения возрастает. 4. В сверхзвуковом потоке давление торможения при отводе тепла растёт быстрее, чем в сверхзвуковом. 1 Данный пункт ни в коем случае не вступает в противоречие со вторым началом термодинамики, т. к. речь идёт о закрытой термодинамической системе, т. е. системе допускающей обмен энергией с внешней средой 72 ´1.4 ´1.2 ´1.0 ´0.8 ´0.6 ´0.4 ´0.2 0.0 Δ𝑠{𝐶 𝑝 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 𝑇 𝑇 ˚ 1 , 𝑇 ˚ 𝑇 ˚ 1 𝑇 𝑇 ˚ 1 𝑇 𝑇 ˚ 1 𝑇 ˚ 𝑇 ˚ 1 𝑇 ˚ 𝑇 ˚ 1 𝑘 “ 1.4 𝑑𝑄 ă 0 M ă 1 M ą 1 Рисунок 2.25 — 𝑇 -𝑠 диаграмма процесса повышения давления торможения при тепловом воздействии на поток. M 1 “ 1 2.6.2 Обзор методов охлаждения потока Существует достаточно большое количество способов охлаждения газо вого потока. Ниже рассмотрены основные из них с точки зрения реализации эффекта повышения давления торможения. Теплоотвод от стенок канала Наиболее простым и очевидным способом отвода тепла от движущегося потока газа является теплоотвод через стенки канала. Уравнение, описываю щие изменение давления торможения при одномерном рассмотрении течения в канале при наличии трения и теплообмена выглядит следующим образом [ 56 ]: 𝑑𝑃 ˚ 𝑃 ˚ “ ´ 𝑘M 2 2 ˆ 𝑑𝑇 ˚ 𝑇 ˚ ` 4𝑐 𝑓 𝑑𝑥 𝑑 ℎ ˙ (2.47) 73 Как известно, коэффициенты трения и теплообмена связаны между собой аналогией Рейнольдса: St “ 𝑘 𝑞 𝑐 𝑓 2 , (2.48) где 𝑘 𝑞 — коэффициент аналогии Рейнольдса. С учётом последнего выражения уравнение ( 2.47 ) после некоторых преоб разований можно переписать в виде 𝑑𝑃 ˚ 𝑃 ˚ “ ´𝑘M 2 𝑘 𝑞 𝑐 𝑓 𝑑 ℎ ˜ 2 𝑘 𝑞 ` 𝑇 𝑤 𝑇 ˚ ´ 1 ` 𝑟 𝑘´1 2 M 2 1 ` 𝑘´1 2 M 2 ¸ 𝑑𝑥, (2.49) где 𝑟 — коэффициент восстановления температуры. Из уравнения ( 2.49 ) легко сформулировать условия роста давления тор можения потока при отводе тепла через стенки канала: 𝑘 𝑞 ą 2 ˜ 1 ` 𝑟 𝑘´1 2 M 2 1 ` 𝑘´1 2 M 2 ´ 𝑇 𝑤 𝑇 ˚ ¸ ´1 (2.50) На рис. 2.26 показаны результаты расчёта правой части неравенства ( 2.50 ) для ламинарного и турбулентного пограничных слоёв в зависимости от числа Маха при различных значениях температурного фактора 𝑇 𝑤 {𝑇 ˚ . По смыслу эти кривые являются линиями сохранения давления торможения в канале при на личии теплоотвода от стенок. Т.е. превышение этих значений приводит к росту давления торможения. Как видно из рисунка при росте числа Маха предельное 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 M 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 𝑘 𝑞 Pr “ 0.7 𝑇 𝑤 𝑇 ˚ “ 0.50 0.40 0.25 Пограничный слой ламинарный турбулентный Рисунок 2.26 — Линии сохранения давления торможения 74 значение коэффициента аналогии увеличивается. Кроме того, с ростом числа Маха разница между ламинарным и турбулентным течением в пограничном слое становится всё заметнее, это объясняется возрастающим влиянием коэффи циента восстановления (для расчёта использовались соотношения ( 1.9 ) и ( 1.11 )). Таким образом, определены предельные значения коэффициента аналогии Рейнольдса, превышение которых ведёт к росту давления торможения потока при отводе тепла от стенок канала. Рассмотрим изменение значений 𝑘 𝑞 при различных условиях. Коэффициент аналогии Рейнольдса Аналогия между механизмами переноса количества движения и тепла в турбулентном потоке была впервые предложена О. Рейнольдсом в 1874 году. Высказанная Рейнольдсом гипотеза приводит к следующему соотношению St “ 1 2 𝑐 𝑓 , т.е. 𝑘 𝑞 “ 1 В работах [ 78 ; 79 ] приведён обзор работ по исследованию аналогии Рей нольдса при «стандартных» условиях, т.е. при обтекании потоком несжимаемой жидкости полубесконечной плоской пластины. Сводка формул для расчёта 𝑘 𝑞 приведена в табл. 4 . Анализ данных показывает, что в широком диапа зоне изменения режимных параметров (Re, M, 𝑇 𝑤 {𝑇 ˚ ) значения коэффициента аналогии Рейнольдса 𝑘 𝑞 для газов лежат в диапазоне 0.96–1.44. Согласно неравенству ( 2.50 ) таких значений явно недостаточно для роста давления тор можения. Рассмотрим влияние различных возмущающих факторов на значения ко эффициента аналогии Рейнольдса. Влияние уровня турбулентности потока. Изучению влияния высокого уровня турбулентности потока 𝐼 “ b 𝑢 1 2 𝑢 8 75 Таблица 4 — Уравнения для расчёта коэффициента аналогии Рейнольдса при «стандартных» условиях № Уравнение для 𝑘 𝑞 Автор Год 1 1 О. Рейнольдс 1874 2 ” 1 ´ 𝑢 𝑒 𝑢 1 p1 ´ Prq ı ´1 Л. Прандтль, Г. Тейлор 1910, 1916 3 Pr ´ 2 { 3 А. Колбурн 1933 4 ! 1 ` 5 b 𝑐 𝑓 2 “ pPr ´ 1q ` ln 5Pr`1 6 ‰ ) ´1 Т. Карман 1939 5 0.695Re p0.09´0.01 log Re 𝑥,𝑤 q 𝑥,𝑤 Pr ´0.57 𝑤 ´ 𝑇 ˚ 𝑤 𝑇 𝑒 ¯ ´0.09 Л. Козлов 1964 6 1.16 Д. Сполдинг и С. Чи 1966 на коэффициент аналогии Рейнольдса посвящено достаточно мало исследо ваний [ 80 ]. Приведённые в литературе немногочисленные экспериментальные данные крайне противоречивы. Так, если в работах [ 81 ; 82 ] влияния 𝐼 на вели чину 𝑘 𝑞 замечено не было, то из работ [ 83 – 86 ] следует, что с ростом степени турбулентности коэффициент аналогии значительно возрастает (рис. 2.27 ). Существенную ясность в вопрос о влиянии 𝐼 на коэффициент аналогии 𝑘 𝑞 вносят экспериментальные исследования, проведённые в ЦАГИ [ 87 ]. По мне нию авторов [ 87 ], расхождения в результатах являются в основном следствием 0 2 4 6 8 10 𝐼 , % 1.0 1.1 1.2 1.3 𝑘 𝑞 {p𝑘 𝑞 q 0 1 2 4 5 3 Рисунок 2.27 — Сравнение опытных зависимостей коэффициента аналогии Рейнольдса от степени турбулентности 𝐼 набегающего потока. 1 — данные работы [ 84 ], 2 — [ 81 ], 3 — [ 86 ], 4 — [ 85 ], 5 — [ 83 ]. Индекс 0 — при 𝐼 « 0 % 76 не учёта влияния масштаба турбулентности набегающего потока и числа Рей нольдса пограничного слоя Re ˚˚ На рис. 2.28 приведены экспериментальные данные, позволяющие сделать вывод о независимости коэффициента аналогии Рейнольдса от эквивалентной турбулентности 𝐼 𝑒𝑞 , учитывающей совместное влияние интенсивности турбу лентности 𝐼 набегающего потока, масштаба турбулентности и числа Рейнольдса пограничного слоя Re ˚˚ , рассчитанного по толщине потери импульса. Как результат работы [ 87 ] можно отметить, что осреднённое значение ко эффициента аналогии Рейнольдса, полученное при 𝐼 ą 0, равно: 𝑘 𝑞 “ 1.179 ˘ 0.024. (2.51) 2.5 3.0 3.5 log Re ˚˚ 1.00 1.25 p𝑘 𝑞 q 0 𝐼 « 0 0 2 4 6 𝐼 𝑒𝑞 , % 1.00 1.25 𝑘 𝑞 𝐼 ą 0 Рисунок 2.28 — Зависимость коэффициента аналогии Рейнольдса от числа Рейнольдса и степени турбулентности набегающего потока. По данным работы [ 87 ] Влияние продольного градиента давления. Продольный градиент дав ления оказывает существенное влияние на процессы трения и теплообмена [ 80 ; 88 ]. На рис. 2.29 показаны результаты работы [ 80 ]. Как видно из графика, по ложительный градиент давления приводит к росту коэффициента аналогии Рейнольдса. Чтобы оценить пределы повышения 𝑘 𝑞 рассмотрим последовательно течения в ламинарном и турбулентном пограничных слоях при наличии про дольного градиента давления. Ламинарный пограничный слой. В общем случае течение в ламинарном пограничном слое при наличии трения и теплообмена описывается нелиней ными дифференциальными уравнениями в частных производных. Однако при выполнении определённых условий существуют автомодельные решения [ 25 ], описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. 77 𝑢 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 номер сечения ´300 ´200 ´100 0 100 200 300 𝑑𝑝 𝑑𝑥 , Н/м 3 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑢 𝑘 𝑞 0.8 1.0 1.2 𝑢 , м/с 1.0 1.5 2.0 𝑘 𝑞 Рисунок 2.29 — Влияние продольного градиента давления на коэффициент аналогии Рейнольдса. По данным работы [ 80 ] Приведём эти условия: – Линейная зависимость вязкости от температуры. – Число Прандтля равно единице Pr “ 1.0. – Температура стенки произвольна, но постоянна по всей поверхности 𝑇 𝑤 “ const Используя преобразование Иллингворта – Стюартсона ξ “ 𝑥 ż 0 𝑏 𝑝 𝑒 𝑎 𝑒 𝑝 ˚ 𝑒 𝑎 ˚ 𝑒 𝑑𝑥, η “ 𝑎 𝑒 𝑎 ˚ 𝑒 𝑦 ż 0 ρ ρ ˚ 𝑒 𝑑𝑦 и, принимая, что скорость на внешней границе пограничного слоя изменяет ся по закону ˜ 𝑢 𝑒 “ 𝐶ξ 𝑚 , (2.52) систему уравнений сжимаемого ламинарного пограничного слоя можно перепи сать следующим образом 78 𝑓 3 ` 𝑓 𝑓 2 “ β ´ 𝑓 1 2 ´ 1 ´ 𝑆 ¯ ; (2.53) 𝑆 2 ` 𝑓 𝑆 1 “ 0, (2.54) где 𝑓 1 “ 𝑢 𝑢 𝑒 , 𝑆 “ 𝑇 ˚ 𝑇 ˚ 𝑒 ´ 1 , β “ 2 𝑚 𝑚`1 Граничными условиями для этой системы являются 𝑓 p0q “ 𝑓 1 p0q “ 0, 𝑆p0q “ 𝑆 𝑤 , 𝑓 1 p8q “ 1, 𝑆p8q “ 0. (2.55) При принятых обозначениях, коэффициент аналогии Рейнольдса можно выразить следующим образом: 𝑘 𝑞 “ ´𝑆 1 𝑤 {𝑆 𝑤 𝑓 2 𝑤 (2.56) Результаты численного интегрирования системы ( 2.53 )–( 2.54 ) с граничны ми условиями ( 2.55 ) показаны на рис. 2.30 Из рисунка видно, что в области положительных градиентов давления коэффициент аналогии возрастает. Турбулентный пограничный слой. Для оценки влияния продольного градиента давления на коэффициент аналогии Рейнольдса в турбулентном пограничном слое воспользуемся теорией предельных относительных законов трения и теплообмена Кутателадзе–Леонтьева [ 58 ]. Согласно [ 58 ] зависимость коэффициента трения от параметров продоль ного градиента Ψ “ ˆ 𝑐 𝑓 𝑐 𝑓 0 ˙ Re ˚˚ “ ˆ ln ξ 1 𝐼 1 ˙ 2 , 𝐼 1 “ 1 ż ξ 1 ˆ 1 ` Λξ 1 ` 2ξ ˙ 1{2 𝑑ξ ξ , (2.57) где Λ “ ´ 2 𝑐 𝑓 δ 𝑢 𝑒 𝑑𝑢 𝑒 𝑑𝑥 — форм-параметр; ξ 1 — относительная толщина вязкого под слоя. Для коэффициента теплоотдачи имеем Ψ 𝑆 “ ˆ St St 0 ˙ Re ˚˚ “ ln 2 ξ 1 𝐼 1 𝐼 2 , 𝐼 2 “ 1 ż ξ 1 ˆ 1 ` Λξ 1 ` 2ξ ˙ ´1{2 𝑑ξ ξ , (2.58) 79 ´0.3 ´0.2 ´0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 β 2 4 6 8 10 𝑘 𝑞 𝑑𝑝 ą 0 𝑑𝑝 ă 0 𝑚 “ β 2 ´ β 𝑇 𝑤 {𝑇 ˚ 𝑒 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.13 -0.09 -0.05 0.00 0.05 0.11 0.18 Рисунок 2.30 — Изменение коэффициента аналогии Рейнольдса для ламинарного пограничного слоя при наличии продольного градиента давления Тогда выражение для коэффициента аналогии Рейнольдса принимает сле дующий вид: 𝑘 𝑞 “ Ψ 𝑆 Ψ 𝑘 𝑞0 “ 𝐼 1 𝐼 2 , (2.59) где 𝑘 𝑞0 — коэффициент аналогии при «стандартных» условиях. На рис. 2.31 показано изменение коэффициента аналогии Рейнольдса в турбулентном пограничном слое при положительном градиенте давления. Как видно из рисунка коэффициент может достигать существенных значений, но при параметрах градиента давления близких к отрывным. В целом можно заключить, что продольный положительный градиент дав ления может существенным образом нарушить аналогию Рейнольдса в сторону увеличения коэффициента аналогии. Однако это может происходить в состо яниях близких к предотрывным. Численный анализ таких течений связан со значительными трудностями и требует дальнейших детальных исследований. Кроме того, как видно из проведённого анализа, коэффициент аналогии увели чивается при положительном градиенте давления, т.е. при торможении потока. Однако, как известно [ 54 ], торможение сверхзвукового потока приводит к воз никновению скачков уплотнения, что, в свою очередь, ведёт к дополнительным 80 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Λ 0 {Λ 0 𝑐𝑟 2 4 6 8 10 𝑘 𝑞 Re ˚˚ 10 3 10 4 10 5 10 6 Рисунок 2.31 — Изменение коэффициента аналогии Рейнольдса для турбулентного пограничного слоя при наличии положительного продольного градиента давления потерям давления торможения. Следовательно, использование конвективного охлаждения в сверхзвуковом потоке при наличии продольного градиента дав ления представляется нецелесообразным с точки зрения увеличения давления торможения. Испарительное охлаждение Ещё одним способом охлаждения потока является испарительное охла ждение: впрыск в газовый поток испаряющейся жидкости. В работе [ 89 ] Шапиро и Хоторном было предложено уравнение описы вающее изменение давления торможения в канале постоянного сечения при впрыске испаряющейся жидкости: |