Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что

• Название: Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что
• Анкор: mah3.pdf
• Дата: 05.08.2018
• Размер: 2.08 Mb.
• Имя файла: mah3.pdf
• Тип: Документы; #22507
• страница: 2 из 15

ГЛАВА 19
ЧИСЛО И МЕРА
1. Естественнонаучное познание получается открытием свя- зи между известными реакциями или группами реакций А и В в каком-нибудь объекте, в относительно устойчивом комплексе чувственных элементов. Если, например, мы находим, что изве- стный вид растения, обладающий определенной формою и распо- ложением листьев, определенной формой цветка и т. п. (реакция
Л), обнаруживает также известные геотропические или гелио- тропические свойства (реакция Б), то в такой связи заключается естественнонаучное познание. Фиксирование такого познания в пригодной для сообщения форме*описания, исключающего не- правильные толкования, есть дело весьма сложное, несмотря на развитие упрощающей классификаторской терминологии. Та же сложность повторяется при описании свойств близкого к перво- му вида растения, которое опять-таки содержит много подроб- ностей, долженствующих быть отмеченными особо. Еще труднее бывает вследствие этих подробностей фиксировать в одном об- щем описании более обширную группу познаний. Для группы животных, которые родят развитых детенышей и вскармливают их своим молоком, удается еще указать общие физиологические и анатомические реакции, как то: высокую температуру крови,
легочное дыхание, двойной путь кровообращения и т. д. Но если представить великие анатомические и физиологические разли- чия, существующие между сумчатыми животными, или, тем бо- лее, однопроходными (monotremata), животными, несущими яйца,
утконосом, ехиднами с одной стороны и плацентарными млеко- питающими с другой стороны, которые в некоторых отношени- ях однако весьма близки, то становится ясно, как трудно сообщить в обобщающем описании большую группу зоологических позна- ний. При таком положении дела цель вывести развитие и ход жизни животных из свойств клеток и зародышевых зачатков,
принимая во внимание определяющие условия окружающей среды, может быть для нас лишь весьма отдаленным идеалом.
2. Если мы обратимся теперь к области физики, перед нами предстанет другая картина, составляющая как будто явную про- тивоположность первой. Положим, что две тяжести привешены к концам веревки, переброшенной через блок. Достаточно каж- дую из них заменить известным числом меньших равных тяже-
312

стей, чтобы быть в состоянии сказать, что перетянет та сторона,
на которой число равных тяжестей больше. Привесим тяжести к неравным плечам рычага, разделим плечи на малые равные час- ти, сосчитаем число частей тяжести и частей соответствующего плеча рычага и перемножим полученные числа; точно так же по- ступим и на другой стороне. Перетянет та сторона, на которой получено большее произведение. Таким образом здесь описание единичного факта достигается легко путем счета равных частей,
на которые можно разложить его признаки. И, далее, все случаи в одной какой-нибудь области, например все случаи рычага, раз- личающиеся между собой только числом равных частей основ- ных признаков, так схожи, что общее их описание легко дается в виде указания на правило вывода или вычисления из численных данных. На подобном основании получаются обобщения даже для весьма обширных областей фактов, например для всех ма- шин с помощью понятия работы. Подобным же образом могут быть в простейшей форме описаны таблицами чисел явления падения тел или преломления света, а счастливый взгляд может открыть и сжатую формулу, заменяющую такие таблицы. Вели- чины пространства, времени и силы могут быть разделены при помощи счета (измерения) на какие угодно небольшие равные части. Это дает нам возможность везде, где мы имеем дело с ве- щами измеримыми, представлять себе какие угодно факты постро- енными из произвольно малых («бесконечно малых») элементов и процессы, которые в них происходят, сводить к процессам, ко- торые происходят в этих бесконечно малых элементах в беско- нечно малые элементы времени. Для этого можно установить общие формулы (правила вычисления) в форме дифференциаль-
ных уравнений. Достаточно немногих таких уравнений, чтобы в принципе изобразить все возможные механические, термиче- ские и электромагнитные и т. д. факты, хотя, конечно, приложе- ние таких уравнений может в специальных случаях представлять еще весьма значительные затруднения. Аналогичная ступень в упомянутых выше областях еще недостижима. Области, которые в настоящее время доступны лишь отчасти количественному об- суждению, как, например, химия, образуют как бы середину между этими двумя крайними полюсами.
3. Если оказывается, что какая-нибудь качественная реак- ция abc связана с другой такой же реакцией k l m, то такая связь может быть лишь просто отмечена и фиксирована в словах. То же самое можно сказать о другой паре связанных между собой качественных реакций de/...ипор... Если оба эти факта и близ- ки друг к другу, все же будет в общем трудно обобщить их в од-
313

ном выражении. Но это обобщение становится тем легче, чем больше качественные различия сводятся к чисто количествен- ным. Стоит вспомнить, например, факты качественного хими- ческого анализа с одной стороны и факты учения о фазах в физической химии — с другой. Если во всем этом разобраться,
то становится ясным, что количественное исследование есть толь- ко частный и более простой случай качественного. Физика только потому достигла более высокой ступени развития, чем, напри- мер, физиология, что перед ней стояли более легкие и более простые задачи, и потому, что эти отдельные задачи гораздо бо- лее однородны, так что решения их легче поддаются обобщаю- щему выражению. Дело именно в том, что описание при помощи счета есть простейшее описание и, благодаря готовой системе чисел, может быть доведено до какой угодно тонкости и точности различий без всякого нового изобретения. Система чи- сел есть номенклатура неистощимой тонкости и широты и при всем том она не уступит в наглядности никакой другой номенк- латуре. Кроме того, пользуясь операциями над числами, можно из каждого числа получить всякое другое, благодаря чему именно числа оказываются особенно пригодными для выражения зави- симостей. Различия между отдельными зависимостями выра- жаются опять-таки численно и рассмотрение таких числовых различий ведет тем же путем к более общим правилам зависимо- стей. Эти очевидные преимущества, заключающиеся в примене- нии количеств, должны вызвать стремление к отысканию связей между качествами и количествами везде, где это только возмож- но, дабы таким образом постепенно свести все качественные исследования к количественным. Так качества цветов превра- щаются через показатели преломления и длины волн в количе- ственные признаки, и то же самое — качества тонов через числа колебаний и т. д.
4. Количественное исследование имеет еще особое преиму- щество перед качественным, когда дело идет об отыскании чувст- венно данных элементов в их взаимной друг от друга зависимости,
т. е. только о зависимостях, лежащих вне пределов С/, о физике в
широком смысле. Чтобы получить эти зависимости в чистом виде, должно быть по возможности исключено влияние наблю- дателя, элементов, лежащих в пределах U. Это происходит тогда,
когда все измерение относится лишь к сравнению качественно равных, к констатированию равенства или неравенства, причем качества ощущения, как такового, зависящие между прочим и от наблюдающего субъекта, оставляются в стороне. Интроспектив- ная психология пока не в состоянии исключать качественное.
314

Измерительные понятия имеют поэтому в этой области ничтож- ное значение. Связь психологии с физиологией и, посредствен- но, с физикой может в будущем изменить это положение дела.
5. Попытаемся теперь психологически выяснить происхож-
дение представления и понятия числа из непосредственной или посредственной биологической потребности. Дети, не имеющие еще понятия о счете, в возрасте 2—3 лет, сразу замечают, если в небольшой группе одинаковых монет или игрушек взять ка- кую-нибудь тайком или прибавить. Несомненно, и животное научается биологической нуждой различать, например, неболь- шие группы одинаковых плодов по их содержанию и предпочи- тает группу более богатую содержанием. Потребность в более тонком развитии этой способности различения приводит к раз- витию понятия числа. Чем больше членов объединяется в одну группу, без утраты ее обозреваемости и различимости отдельных членов, тем выше ценим мы означенную способность. Нашим детям удается сначала объединять в группу 2,3,4 члена, не теряя из виду различения этих членов. При этом близость членов по времени или пространству может содействовать образованию группы, а различие членов, в смысле их положения во времени или пространстве, может обусловить различение их. Так зарож- даются первые представления о числах, смотря по влиянию сре- ды, с названием или без названий. Эти представления развиваются через зрение, осязание или слух (в последнем случае наблюдени- ем ритма)
1
. Употребление представлений о числах при смене разных объектов ведет нас, с помощью названий чисел, к пони- манию особой однородной реактивной деятельности, независи- мой от рода объектов, к понятию числа
2
. Для получения более ясных численных представлений о группах с более богатым со- держанием, последние разделяются на систематически располо- женные, уже привычные части. Эту историю развития мы находим воплощенной в численных знаках ассирийцев, египтян, обита- телей Мексики, римлян и других народов
3
. Свидетельствуют об этой истории и наши игральные карты, и камни домино. Вполне правильно ведем мы детей в элементарной школе по тому же пути, который прошли самостоятельно все народы, именно даем
Научаются считать как люди зрячие и слышащие, так и слепые и глухоне- мые. Глухонемой Massieu сам говорит: «Я знал числа прежде, чем меня стали учить; меня научили им мои пальцы». (Туlor, Einleit. i. d. Studium d. Anthropo- logie, стр. 372; см. также Tylor, Anfänge d. Kultur. I, стр. 241 и след.)
Численные понятия приобретаются лишь выполнением численных операций в различных случаях. См. стр. 147, примечание.
См. таблицу I у М. Cantor, Mathem. Beiträge zum Kulturleben der Völker. 1863.
315

изображения группы объектов, упорядоченных и разделенных легко обозреваемым способом
4
. Но это средство делать обозри- мым содержание членов группы имеет узкие пределы.
6. Кроме этого средства -- наглядного распорядка членов какой-нибудь группы — есть еще и другое. Каждый член группы,
которую желают обозреть, присоединяют к члену другой группы объектов, нам весьма знакомой и привычной. Первобытные на- роды пользуются в качестве такой труппы пальцами рук, а иногда и ног
5
. Мы сами, будучи детьми, пользовались этим примитивным средством, чтобы усилить наши численные представления со- зерцанием этих особенно привычных нам объектов. Когда паль- цы во время этого процесса называются и, хотя бы без особого намерения, из простой привычки употребляются всегда в одном и том же порядке, то из этих названий пальцев развиваются при частом упражнении имена числительные, причем первоначаль- ное значение этих названий забывается
6
. Так как все содержание членов группы твердо упорядочено, то имя числительное опре- деляет число членов упорядоченной, сосчитанной группы
7
. Та- ково доказанное историей культуры происхождение имен числи- тельных. Потребность в них и повод к их развитию проявлялись довольно часто, когда приходилось устанавливать число друзей или врагов, делить добычу, добытую на войне или на охоте и т. д.
7. Это средство упорядочения может быть легко с помощью небольшого искусственного приема превращено в средство, пре- делы применения которого безграничны. Рассматривают группу из десяти членов как один член высшей группы, группу из деся- ти таких высших групп — как один член еще высшей группы и т. д. И, подобно тому как каждую группу можно рассматривать как один член высшей группы, так можно каждый член рассмат-
С. Schneider, Die Zahl im grundlegenden Rechenunterricht. Berlin, 1900.
Подробнее см. Tylor, E i. d. St. d. Anthropologie, стр. 372 и след. Племя Tama- паса, живущее вдоль реки Ориноко, говорит «целая рука» вместо пяти, «обе руки» вместо десяти, «целый человек» вместо двадцати. Следы этого прими- тивного способа счета сохранились еще у народов высоко цивилизованных;
французы, например, называют число 80 «quatre-vingt».
Tylor, Anfänge der Kultur. I, стр. 248 и след. Tylor, Anthropologie, стр. 373.
A. Lanner, Die wissenschaftlichen Grundlagen des ersten Rechenunterrichts. Wien und Leipzig, 1905. В этом сочинении много очень хороших психологических замечаний относительно того, как дети научаются считать, как у них образу- ются первые численные понятия и т. д. Понятие единицы может быть получе- но лишь из общего понятия числа специализацией абстракции. Задача 1x2
или в особенности 1x1 может быть понята только после того, как поняты за- дачи 2x2 или 3x2, как и д
1
— после я
2
, а
п
и т. д. Сходное с этим замечание см.
Ribot, L'évolution des idées générales. Paris, 1897, стр. 160.
316

ривать как группу из десяти меньших равных членов, что осо- бенно ясно бывает при счете (измерении) того, что поддается безграничному делению, например длин, но может быть выпол- нено и везде. Таким образом система чисел становится приме- нимой как для счета бесконечно большого, так и для счета бесконечно малого
8 8. Пусть группа А и группа В состоят из одних равных чле- нов. Будем связывать каждый член группы А соответственно с одним членом группы В. Если обе группы исчерпываются одно- временно, мы говорим, что они имеют равное содержание или —
короче — обе группы равны. Если В исчерпывается, когда груп- па А еще не исчерпана, то содержание А больше содержания В.
Числами мы называем такие понятия, через которые мы опреде-
ляем группы, из равных членов состоящие, в смысле их содержа-
ния, и различаем одну от другой. Там, где место численных представлений занимают численные понятия, нет уже непо- средственной наглядности, а только потенциальная наглядность.
Численное понятие дает нам возможность везде, где это важно и где мы не боимся затраты труда, наглядно представлять себе со- держание группы, по крайней мере посредственно. Мы не ста- нем останавливаться здесь на ученом споре, какие числа должно считать в психологическом и логическом отношении первичны- ми: количественные или порядковые. Да и невозможно из этих систем, которые установляются впоследствии, приписывать од- ной исключительное руководящее значение для культурного развития. Численные названия для маленьких чисел могут несо- мненно образоваться и без какого-либо принципа порядка. Но там, где число выходит за пределы непосредственно наглядного,
принцип порядка оказывается безусловно необходимым для об- разования понятия числа или количества, хотя этот принцип может и не быть прямо выражен. Когда мы считаем равные или кажущиеся нам равными объекты, то вместе с названием числа мы присоединяем к объектам, которые до тех пор едва различа- ли, отличительные знаки; эти последние очень скоро вновь утра- тили бы для нас обозреваемость, если бы они в то же время не были порядковыми знаками, образующими простую, весьма зна- комую и привычную нам систему. Только лишь принцип поряд- ка, благодаря которому каждое число потенциально содержит в себе представление обо всех предшествующих ему числах и вме- сте с тем ясно указывает положение его между двумя определен-
Наша десятичная система обязана своим естественным происхождением де- сяти пальцам рук и по аналогии с ней могут быть придуманы какие угодно другие системы.
317

•
ными членами системы, обусловливает большие преимущества числа перед простым названием. Каждый алфавитный указа- тель, цифры страниц какой-нибудь книги, каждый распределен- ный по номерам инвентарь и т. д. дает нам ясно почувствовать ценность порядка для быстрой ориентировки.
9. Часто называют числа «плодами свободного творчества че- ловеческого духа». Обнаруживающееся здесь восхищение пред человеческим духом весьма естественно пред готовым и внушите- льным зданием арифметики. Но пониманию этого творчества го- раздо более способствует, если мы наблюдаем инстинктивные начатки его и обстоятельства, вызвавшие потребность в нем. Та- кое исследование, может быть, приведет к мысли, что первые относящиеся сюда образования были бессознательными и био- логически вынуждены материальными условиями, ценность ко- торых могла быть познана лишь после того, как они были уже налицо и много раз обнаруживали уже свою полезность. Только воспитанный на таких более простых образованиях интеллект мог постепенно развиться до более свободных, сознательных и быст- ро удовлетворяющих потребность данного момента изобретений.
10. Для торговли и сношений, купли и продажи, требуется
развитие арифметики. Культура примитивная пользуется для подкрепления своих расчетов простыми приборами или счетны- ми машинами; таковы, например, римская счетная доска (Abacus)
или китайские счеты, ставшие общеизвестными через посредство русских и приобретшие права гражданства в наших элементар- ных школах. Во всех этих приборах подлежащие счету объекты символизируются в подвижных предметах, костяшках, шариках или других вещах, которыми и оперируют, вместо того чтобы оперировать более тяжеловесными объектами. Группа десятков,
сотен и т. д. отмечены особыми знаками, которым отведены спе- циальные отделения в машине
9
. Если взять понятие машины
(вспомогательного приспособления) несколько свободнее и шире,
то и в наших арабских (индийских) цифрах и десятичной систе- ме, в которой отсутствие групп в известном классе обозначается нулем
10
, тоже должно видеть счетную машину, которая с помо- щью бумаги и карандаша может быть устроена в любой момент.
При этом наше внимание "еще более облегчается, так как цифры делают излишним счет членов каждого класса.
Механические счетные машины Паскаля, Лейбница, Бэббэджа, Томаса и др.,
выполняющие арифметические операции посредством вращений рукоятки и зубчатых передач, как и современные интеграфы, представляют собой есте- ственное дальнейшее развитие примитивных счетных машин.
Важное изобретение нуля приписывается индусам.
318

И. В наших сношениях могут возникать различные задачи.
Является, например, потребность объединить в одну группу две или несколько групп равных членов и указать число членов этой новой группы, т. е. возникает задача сложения. Примитивное решение этой задачи заключается в том, чтобы были пересчита-
ны все члены группы, получаемой в результате объединения, все равно, были ли уже ранее пересчитаны члены в отдельных груп- пах или нет. И, действительно, наши дети пользуются еще и в настоящее время этим способом, оперируя над маленькими чис- лами и приобретая при этом опыт в счете. Этим опытом они впоследствии пользуются при сложении больших, написанных согласно десятичной системе, чисел, сосчитывая отдельно еди- ницы, отдельно десятки и т. д. и перенося получающиеся при этом единицы высших классов в эти последние. Уже этот про- стой пример показывает, что вычисление (арифметическое дей- ствие) состоит в освобождении от прямого считания, причем это последнее, с помощью числового опыта, заменяется возможно проще ранее уже исполненными действиями счета. Вычисление
есть непрямое или косвенное считание. Представим, что нам нужно сложить 4 или 5 многозначных чисел и что эта задача один раз решается прямым сосчитыванием, а другой раз —
обычным способом вычисления: сразу видна огромная экономия
во времени и работе, заключающаяся в последнем способе. Столь же часто встречаются в практической жизни случаи, побуждаю- щие к решению задач на вычитание, умножение, деление и т. д. И
опять можно показать, что и здесь дело сводится к упрощенному,
сокращенному счету с применением приобретенного уже число- вого опыта, но мы не будем на этом больше останавливаться
11 12. Итак, материальная среда, окружающая нас, далеко не столь неповинна в развитии наших арифметических понятий,
как это иногда думают. Если бы физический опыт не учил нас тому, что существует множественность эквивалентных, постоян-
ных вещей, если бы биологическая потребность не понуждала нас к объединению этих вещей в группы, счет не имел бы ника- кой цели и смысла. К чему нам было бы считать, если бы наша среда была совершенно непостоянна, как во сне менялась каж- дый момент? Если бы прямой счет не был практически неиспол-
Мое изложение этих вопросов от 1882 г. (Populäre Vorlesungen, 3 изд. стр. 224)
очень близко подходит к взглядам Гелъмголъца и Кронекера (Сборник, издан- ный в честь Целлера, 1887 г.). Другие пункты я попытался осветить в моей книге «Wärmelehre», 2 изд., стр. 65 и след. См. также прекрасный подробный разбор этих вопросов у Af. Pack, «Zählen und Rechnen» (Zeitschr. f. Philos, u.
Pädagogik von Flügel u. Rein, Jahrg 2, стр. 196 и след.). Далее: Czuber, Zum Zahl and Grössenbegriff (Zeitschr. f. d. Realschulwesen, Jahrg. 29, стр. 267).
319

г
ним при определении больших чисел, вследствие огромной затраты на него времени и труда, ничто не побуждало бы нас к изобретению вычисления, посредственного счета. Прямым сче- том мы только чувственно констатируем фактически данное.
Так как арифметические действия представляют собой лишь косвенный счет, то ясно, что с их помощью мы ничего не можем узнать существенно нового о чувственном мире, ничего, чего не мог бы дать и прямой счет. Как может, следовательно, математика предписывать a priori природе законы, если она по необходимости ограничивается только тем, что, пользуясь опытами упорядо- чивающей деятельности считающего, доказывает согласие резу- льтатов арифметического действия с исходными данными. Но навык в наблюдении и понимании различных форм собственной упорядочивающей деятельности может поэтому все же иметь высокую ценность и освещать один и тот же факт с самых раз- личных точек зрения.
13. Простые начатки арифметики развились на службе прак- тической жизни. Дальнейшее же ее развитие получилось вслед- ствие того, что арифметика стада предметом особой профессии.
Кому неоднократно приходится проделывать одни и те же вы- числения и кто приобрел в этом деле особую сноровку и обоб- щающий взгляд, тому особенно легко заметить возможные упро- щения и сокращения метода. Так зарождается алгебра, общие символы которой не обозначают особых чисел, а сосредоточива- ют внимание на форме операций. Алгебра решает все совпадаю- щие по форме операции сразу для всех случаев, и тогда остается только небольшая работа вычисления со специальными числа- ми. Алгебраические выражения, как и вообще математические,
выражают всегда лишь эквивалентность различных видов распре- делительной, упорядочивающей деятельности. Это относится,
например, к общим сторонам уравнения, выражающего теорему бинома. Когда мы рядом с квадратным уравнением пишем форму- лу его корней, мы в такой же мере устанавливаем эквивалентность двух операций, как если поместить рядом дифференциальное уравнение и его интеграл. Кстати заметим, что математически язык знаков опять-таки представляет собой род машины для об- легчения головы, — машины, при помощи которой мы символи- чески совершаем быстро и легко операции, которые без нее нас утомляли бы. Вместе с тем математическое письмо есть прекрас- нейший и наиболее совершенный пример удачной пазиграфии,
правда, для ограниченной области.
14. Рассмотрение групп равноценных объектов приводит не- посредственно только к понятию целых чисел. Если объекты
320

суть индивиды, не поддающиеся разложению на равноценные части, то при счете их находят вообще разумное применение то- лько целые числа. Но деление, как аналитическая противопо- ложность синтетическому умножению, приводит в особых случа- ях к разделению единичных сосчитанных объектов (единиц), к
дробным числам, которые, конечно, имеют смысл только для единиц, действительно разделимых. Применения арифметики к геометрии, например уже попытка выразить диагонали и сторо- ны квадрата в одних и тех же единицах, равно как и чисто ариф- метические операции, извлечение корня, как аналитическая противоположность синтетическому возведению в степень, при- водят к фикции чисел, не подлежащих полному определению
никакими конечными численными операциями, — к фикции ирра-
циональных чисел. Побуждают к образованию новых понятий и операции простейшие, как сложение и вычитание. Действия
7 + 8 или 8 — 5 осуществимы всегда. Но операция 5 — 8 представ- ляет собой нечто невозможное, если дело идет о совершенно равных численных объектах, не представляющих никакой проти- воположности. Но эта операция становится сразу возможной и получает разумный смысл, как только соответствующие едини- цы образуют какую-нибудь противоположность, как имущество и долг, движения вперед и назад и т. д. Так приходим мы к поня- тию противоположности положительных и отрицательных чисел,
для обозначения которых сохраняются знаки сложения и вычи- тания, при каковых действиях впервые обнаружилась потреб- ность в фиксировании этой противоположности. Строго говоря,
были бы необходимы для обозначения этой противоположности особые знаки. Правило знаков для умножения обозначенных
(положительных и отрицательных) чисел вытекает из того, что произведение (а - Ь) · (с - а) должно совпадать с произведением,
которое получается, если заменить множители простыми вели- чинами т и п. В случае чисел без противоположности, такое правило умножения не имеет никакого смысла. По упомянутому правилу знаков и положительное и отрицательное число дают положительный квадрат. Это обстоятельство ведет однако к тому, что квадратный корень из отрицательного числа должен с первого взгляда показаться невозможным, мнимым. И действите- льно, такой корень, как и отрицательное число, долгое время считались невозможными. И покуда неизвестна никакая другая противоположность, кроме противоположности положительных и отрицательных чисел, это так и остается. Wallis
12
, руководству- ясь геометрическими приложениями алгебры, первый пришел к
12
Wallis, Algebra. 1673, Кар. 66-69.
11 Познание и заблуждение 321

мысли рассматривать лДГ, как среднее пропорциональное между
—1 и +1 (+1 : / = / : —1, откуда / = V^T). Этот взгляд встречается более или менее ясно еще несколько раз, пока Argand
1
* не изло- жил его с полной ясностью и всеобщностью. Распространяя пропорциональность не только на величину, но и на направле- ние, он придает выражению о + thi-( значение вектора в плоско- сти. Мы доходим от начальной точки этого вектора до конечной,
передвигаясь в одном направлении на отрезок а и затем в направ- лении, перпендикулярном к первому, на отрезок Ъ. Таким образом точки плоскости могут быть изображены через комплексы.
15. Итак, практика арифметики в некоторых случаях приводит к (аналитическим) операциям, которые на первый взгляд кажутся невозможными, или их результаты — не имеющими никакого смысла. Но при более близком рассмотрении оказывается, что при небольшом видоизменении и расширении принятых до тех пор арифметических понятий эта невозможность исчезает и ре- зультат получает очень ясный смысл, правда, при несколько рас-
ширенной области применения арифметики. После того как математики были вынуждены против своей воли видоизменять свои понятия и когда они оценили значение и преимущества та- ких процессов, стало доступным быстрее удовлетворять назре- вавшие потребности именно через свободное творчество или даже предвосхищать эти потребности. Блестящие примеры тако- го творчества мы находим у Грассмана, Гамильтона и др. в облас- ти векториального исчисления, в котором численные понятия непосредственно приспособляются к потребностям геометрии,
кинематики, механики, физики и т. д.
16. Упомянем еще об одной современной попытке выразить в определенных понятиях не только беспредельно возрастающее или уменьшающееся бесконечное, но и актуально бесконечное.
В первом дне своих диалогов (1638) Галилей обращает внимание на следующий парадокс: бесконечное множество целых чисел кажется как будто гораздо большим числом, чем количество квадратных чисел, а между тем, так как каждому числу должно соответствовать свое квадратное число, то количества тех и дру- гих чисел должны быть равны. Приходит он к тому заключению,
R. Argand, Essai sur la manière de représenter les quantités imaginaires. Paris, 1806.
Взгляд ArgancTa становится ясным из следующего примера. Пусть от ка- кой-нибудь начальной точки проведен вектор г, от той же начальной точки проведен вектор лгпод углом φ к первому и от нее же в той же плоскости про- веден вектор п
2
г под тем же углом φ ко второму вектору и в том же направле- нии; тогда он называет второй вектор средним пропорциональным между первым и третьим. Сочинение ArgancTa представляет собой образец изложе- ния новой мысли.
322

что категории равного, большего, меньшего неприменимы к бесконечному. Эти рассуждения, следы которых можно просле- дить до античной эпохи, приводят к исследованиям Г. Кантора о многообразиях. Пример Галилея показывает, как можно прийти,
например, к следующим определениям: два многообразия обла- дают равной мощностью, если каждый элемент одного из них однозначно и взаимно соответствует элементу другого. Два та- кие многообразия называются эквивалентными. Многообразие
бесконечно, если оно эквивалентно собственной же своей час- ти
14
. Исследования Кантора показывают, что и в области актуа- льно бесконечного возможно целесообразным построением упо- рядочивающих понятий сохранить обозреваемость многообразия.
17. Что касается логико-математического изложения учения о числе, я хотел бы указать здесь на ясно и привлекательно напи- санную книгу L. Couturat
15
. Точка зрения, с которой обсуждается здесь предмет, соответствует психологическому и культурно-исто- рическому изучению, составляющему во всяком случае необхо- димое дополнение к указанной выше логической точке зрения.
Углубленное изучение истории развития могло бы оказать здесь столь же полезное и отрезвляющее влияние, какое оказали изве- стные лекции Феликса Клейна^.
18. Там, где уже заранее даны дискретные, равноценные для нашего актуального интереса, объекты, применения учения о числах сравнительно просты. Но многие объекты исследования,
как то пространственная и временная протяженность, интенсив- ность сил и т. д., не представляют непосредственно групп экви- валентных членов, доступных непосредственному счету. Правда,
можно эти объекты разнообразным образом делить на равно- ценные, поддающиеся счету, члены, эти последние, далее, де- лить на такие же члены и т. д., но и пределы деления этих членов должны быть воспринимаемы и различаемы искусственно, и де- ление, на котором хотят остановиться, следовательно, величина последних членов деления произвольна и случайна. Но раз пре- парирована таким образом подобная непрерывная величина, то часть ее, определение которой ищется в том или ином исследо-
11*
G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.
См. также цитированную в следующем примечании книгу Couturat, стр. 617 и след. См. наконец, A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktman- nigfaltigkeiten. Jahrb. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 8, Heft 2.
1900.
Couturat, De l'infini mathématique. Paris, 1896. Прекрасный краткий обзор раз- вития понятия числа см. у О. Stolz, Grossen und Zahlen. Leipzig, 1891.
F. Klein, Anwendung der Differential und Integralrechnung auf Geometrie. Eine
Revision der Prinzipien. Leipzig, 1902.
323

вании, может быть с какой угодно точностью определена счетом ее частей, т. е. измерением. Искусственно созданная числовая
непрерывность есть средство, при помощи которого мы можем с какой угодно точностью проследить условия естественных не- прерывностей. Но у какого-нибудь предела приходится остано- виться вследствие несовершенства наших чувств, даже усиленных искусственными средствами. Ибо то, что какой-нибудь масштаб покрывается подлежащим измерению объектом или что концы совпадают, невозможно установить с беспредельной точностью.
Эта неточность отзывается затем и на числе, которое, как резуль- тат измерения, дает нам отношение между измеряемым объектом и масштабом. Впрочем от того же недостатка не свободны и практические применения арифметики к отдельным, поддаю- щимся счету объектам, ибо идеальная предпосылка совершен- ной равноценности последних в действительности никогда не осуществима.
19. Когда нужно непрерывно изменяющиеся физические об- стоятельства, физические величины сводить к какой-нибудь мере, приходится выбрать сначала какой-нибудь объект для сравнения как единицу меры, и установить, каким способом возможно определять равенство другого объекта с этой избран- ной нами единицей. Равными в известном отношении мы счита- ем объекты, которые при неизменившихся условиях могут заменять друг друга с неизменными последствиями. Две тяжести равны,
когда, будучи положены одна после другой на одну и ту же чашку одних и тех же весов, одинаково отклоняют стрелку последних;
два электрических тока равны, когда, будучи один за другим вве- дены в неизменяющийся гальванометр, вызывают одно и то же отклонение стрелки; подобным же образом определяется равен- ство магнитных полюсов, градусов тепла, количеств теплоты и т. д. Если же на ту же чашку весов положить n тяжестей, по- рознь равных единице меры, если провести через ту же проволоку гальванометра (или также рядом расположенные проволоки) n
единиц тока и т. д., то результат (при совершенной заместимости единиц друг другом) зависит только от числа единиц и
17 20. Раз мы определили в числах основные обстоятельства в ряде однородных физических случаев, то часто удается выразить их взаимную зависимость в простой формуле с точностью, до- статочной для изображения фактов. Примерами этого могут слу- жить закон преломления света, закон Мариотта — Гей-Люссака,
закон Био — Савара. Такие законы, раз установленные, часто мо-
См. Helmholz, Zählen und Messen. (Philos. Aufsätze. Б. Zeller gewidmet 1887. стр.
15 и след.)
324

гут облегчить косвенное измерение там, где прямое трудно или невозможно. Так, например, трудно непрерывно изменять ин- тенсивность какого-нибудь источника света, но зато легко оце- нить глазом равенство двух источников света по равной яркости освещения двух граничащих друг с другом, равных поверхно- стей, находящихся на равном расстоянии от источников света, и при направлении лучей перпендикулярном к ним обоим. Если же доказано, что какая-нибудь поверхность, освещенная пер- пендикулярными лучами одного источника света, так же ярко освещена, как равная ей поверхность, освещенная 4, 9, 16... по- мещенными друг возле друга источниками света, порознь рав- ными первому, находящимися на расстоянии в 2, 3, 4... раза большем расстояния первого, то измерение отношения, сущест- вующего между двумя величинами интенсивности света, может быть сведено к измерению отношения, существующего между двумя расстояниями при равной яркости освещения, хотя глазу приходится только судить о равенстве и неравенстве в яркости освещения.
21. Складывая какую-нибудь физическую величину из одно- родных частей, необходимо всегда обращать внимание на то,
есть ли это соединение действительное сложение. Так, напри- мер, можно не задумываясь более или менее интенсивный свет сложить из однородных, независимых (не сливающихся) эле- ментов света и интенсивность его приравнять сумме частей,
между тем как со светом малых источников света это при извест- ных условиях, как известно, неправильно. Так и интенсивность тона нескольких равно настроенных камертонов в общем не есть сумма интенсивностей отдельных камертонов, но бывает тако- вой только в том случае, если и фазы совпадают. Относительно других предосторожностей, которые следует принимать во вни- мание, см. «Prinzipien der Wärmelehre», стр. 39-57.