Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что

• Название: Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что
• Анкор: mah3.pdf
• Дата: 05.08.2018
• Размер: 2.08 Mb.
• Имя файла: mah3.pdf
• Тип: Документы; #22507
• страница: 9 из 15

существования подобных треугольников, а один совре- менный геометр, Делъбёф, вывел всю геометрию Евклида из допущения сходства.
Б
Фиг.
25
С
Фиг.
26
Гипотезу тупого угла, полагал Saccheri, опровергнуть нетрудно.
Приступив же к опровержению гипотезы острого угла, он натолк- нулся на затруднения и поиски за ожидаемыми противоречиями
18
Enge l und Stacke l, 1. с., стр. 21 и след.
386

A
В
Фиг. 27
увлекли его к выводу ряда дальнейших следствий, с которым впо- следствии встретились Лобачевский и Bolyai в их исследованиях. В
конце концов он пришел к мысли, что последняя гипотеза дол- жна быть отвергнута, как несовместимая с природой прямой ли- нии, ибо она ведет к допущению различных прямых, совпадающих в бесконечности и, следовательно, имеющих там общий перпенди- куляр. Saccheri оказал существенное содействие и в значительной мере подготовил позднейшую работу выяснения, но обнаружил еще некоторую зависимость от традиционных взглядов.
18. Работа Lambert'а от 1766 года
19
по методу своему родст- венна работе Saccheri, но в выводах он идет дальше и обнаружи- вает более свободный взгляд. Lambert исходит из рассмотрения четырехугольника с тремя прямыми углами и исследует послед- ствия, которые получаются, если принять, что четвертый угол прямой, тупой или острый. Он находит, что подобие фигур не совместимо со вторым и третьим допущением. Случай тупого угла, с которым связана сумма углов треугольника, большая 2/Î,
он находит осуществленным в геометрии сферической поверхно-
сти, в которой трудности параллельных линий совершенно отпа- дают. Это приводит его к догадке, что случай острого угла, с суммой углов треугольника, меньшей 2R, мог бы быть осуществ- лен на некоторой мнимой сфере. Разность между 2R и суммой уг- лов треугольника в обоих случаях пропорциональна площади треугольника, что можно доказать соответствующим делением больших треугольников на меньшие, причем с уменьшением треугольников сумма углов его может быть сделана произвольно близкой к 2R. Этим Lambert значительно приближается к точке зрения современных геометров. Шар с мнимым радиусом г^ГЛ
ibid., стр. 152 и след.
387

не есть, правда, наглядный геометрический образ, но аналитиче- ски он есть поверхность с отрицательной постоянной мерой кривизны Гаусса. Случай этот еще раз показывает как экспери- ментирование символами может привести исследование на пра- вильный путь в той стадии, когда других точек опоры еще совсем нет и когда следует ценить каждое средство, которое может ока- заться полезным
20
. Думал же, по-видимому, и Гаусс о мнимой сфере, как то видно из его формулы для окружности круга (письмо к Шумахеру от 12 июля 1831 года). При всем том Lambert верит, что настолько приблизился к доказательству пятого требования, что недостающее легко дополнить.
19. Обратимся теперь к тому исследователю, взгляды кото- рого знаменуют собой самый радикальный поворот в понима- нии геометрии. К сожалению, он сообщил их лишь в кратких устных или письменных замечаниях. «В геометрии Гаусс видел последовательно построенное здание лишь в том случае, если во главе этого здания ставится положение о параллельных линиях,
принятое как аксиома. Но он пришел к убеждению, что положе- ние это не может быть доказано, но что оно известно из опыта,
например из углов треугольника: Брокен, Хохенхаген и Инзель- берг (вершины в Германии), что оно приблизительно верно.
Если же не хотят принять названную аксиому, то отсюда следует другая, совершенно самостоятельная геометрия, которую он от- части исследовал и назвал анти-евклидовой геометрией». Тако- вы были взгляды Гаусса, согласно сообщению Сарториуса фон
Валътерсгаузена
21
. Примыкая к этим взглядам, О. Stolz в неболь- шой, но очень содержательной работе
22
предпринял попытку вывести основные положения Евклидовой геометрии, не остав- ляя области фактов, поддающихся наблюдению. Изложим наи- более важное из этой работы. Пусть нам дан один большой треугольник ABC (фиг. 28) с суммой углов, равной 2Ä. Опустив перпендикуляр AD на линию ЕС, мы дополняем фигуру, приба- вив к ней BAE = ABD и CAF=ACD, и к фигуре BCFAE прибавля- ем совместимую с ней фигуру CBHA'G. Таким образом мы получаем один прямоугольник, ибо углы у Е, F, G, Ή прямые, а у
А, С, А', В — равные 2R и, следовательно, крайние линии суть прямые и равны противолежащим линиям. Каждый прямоуго- льник может быть разделен на два совместимых прямоугольника
20
См. примечание на стр. 378.
21
Gauss zum Gedächtnis. Leipzig, 1856.
22
Daz letzte Axiom der Geometrie. Berichte des naturw.-medizin. Vereins zu Innsb- ruck, 1886, стр. 25^34.
388

β
Η
D
Ρ
Ν
Β
Α'
Фиг.
28
Фиг.
29
перпендикуляром, восстановленным к середине одной его сто- роны, а, продолжая деление, можно получить перпендикуляр на каком угодно месте разделенной стороны. И то же самое можно сделать и со второй парой противоположных сторон. Таким об- разом можно из данного прямоугольника ABCD (фиг. 29) вырезать какой угодно меньший прямоугольник AMQP с каким угодно от- ношением сторон. Диагональ разделяет этот меньший прямо- угольник на два совместимых прямоугольных треугольника, так что в каждом из них (независимо от отношения сторон) сумма углов равна 2R. Каждый косоугольный треугольник можно про- ведением высоты разложить на прямоугольные треугольники, из которых каждый может быть в свою очередь тем же способом разложен на прямоугольные треугольники с меньшей длиной сторон, и таким образом 2R оказывается равной сумме углов
каждого треугольника, если только это оказывалось (до точности)
верным для одного треугольника. С помощью таких, основанных на наблюдении, положений легко вывести, что противоположные стороны прямоугольника (или вообще так называемого паралле- лограмма) везде, на каком угодно продолжении, остаются на равном расстоянии друг от друга, т. е. не пересекаются. Эти ли- нии имеют, следовательно, свойства параллельных линий Евкли-
да, а потому и могут быть так названы и определены. В такой же мере следует из свойств треугольников и прямоугольников, что две прямые, пересеченные третьей прямой так, что сумма внут- ренних углов по одну сторону этой последней меньше 2R, по этой ее стороне и пересекаются, а по обеим сторонам от точки своего пересечения расходятся до бесконечности. Отсюда следу- ет, что прямая бесконечна. Таким образом то, что в качестве аксио- мы, в качестве исходного положения, было лишенным основания утверждением, может иметь смысл как вывод.
20. Таким образом геометрия есть применение математики к опыту относительно пространства. Подобно математической фи- зике, она становится дедуктивной точной наукой только тем, что
389

объекты опыта изображает схематическими, идеализированны- ми понятиями. Подобно тому как механика может утверждать постоянство масс или сводить взаимодействие тел к одним уско- рениям лишь в пределах ошибок наблюдения, так и существова- ние прямых, плоскостей, величины суммы углов треугольника и т. д. возможно утверждать лишь с тою же оговоркой. Но так же, как физика иногда оказывается вынужденной заменять свои идеальные допущения другими, обыкновенно более общими,
например постоянное ускорение падающего тела — ускорением,
зависящим от расстояния, постоянное количество теплоты —
переменным и т. д., так должна делать это и геометрия под дав- лением фактов или в виде попытки ради научного выяснения
23
После сказанного перед нами явятся в правильном свете попыт- ки Лежандра, Лобачевского и обоих Bolyai, из которых младший находился, может быть, под косвенным влиянием Гаусса.
21. На попытках Schweickarfa и Taurinus'a, тоже современ- ников Гаусса, мы останавливаться не будем. Работы Лобачевско-
го были первыми, которые стали известны в широких кругах и оказали влияние (1829). Очень скоро вслед за этим обнародовал свою работу младший Bolyai (1833), который во всех существен- ных пунктах сходится с Лобачевским, отличаясь только формой выводов. Судя по актам, теперь легко и в обилии доступным,
благодаря прекрасным изданиям EngeFsi и StäckeFx
1
* можно предположить, что и Лобачевский предпринял свои исследова- ния в надежде, что отрицание аксиомы Евклида приведет к про- тиворечиям. Но когда это ожидание не оправдалось, у него хватило интеллектуального мужества сделать отсюда все выводы.
Лобачевский излагает свои выводы в синтетической форме. Но мы можем представить себе те общие аналитические рассужде- ния, которые, по всей вероятности, подготовили построение его геометрии. Возьмем точку вне прямой g (фиг. 30) и из нее опус- тим на эту прямую перпендикуляр р.
Фиг.
30
23
Разницу между геометрией и физикой Дюгем (La Théorie physique, стр. 290)
считает основной и качественной, а я усматриваю здесь только разницу в сте- пени.
24
F. Engel, N. L Lobatschefskij, Zwei geometrische Abhandlungen. Leipzig, 1899.
390

Фиг.
31
В плоскости gp проведем через ту же точку прямую, образую- щую с перпендикуляром острый угол s. Если теперь испытать до- пущение, что g и А не пересекаются, но что это пересечение произойдет при малейшем уменьшении угла s, то однородность пространства вынуждает к выводу, что и вторая прямая k с тем же углом s по другую сторону перпендикуляра имеет те же свойства.
Все проведенные через ту же точку непересекающиеся прямые будут в таком случае лежать между h и k. Эти последние линии,
составляющие пределы пересекающихся и непересекающихся ли- ний, Лобачевский и называет параллельными. Во введении к сво- им «Новым началам геометрии» (1835) Лобачевский рассуждает вполне как натуралист. Никто, конечно, не может предположить,
чтобы сколько-нибудь разумный человек допустил «угол паралле-
льности» s значительно меньшим, чем прямой, у прямых линий,
которые столь близко лежат друг к другу, что их пересечение де- лается очевидным уже при небольшом их продолжении. Хотя расчленяемые здесь отношения могут быть изображены лишь грубыми чертежами, но должно помнить, что в действительности,
при данных размерах чертежа, отклонение s от прямого угла дол- жно быть так мало, что для нашего глаза линии h и k совпадают до неразличимости. Продолжим теперь перпендикуляр p за точкой пересечения его с А и проведем через конечную его точку новую параллель / к А, которая, конечно, параллельна и к g. Новый угол параллельности s '< s, если только мы не желаем в отношении ли- ний А и / опять вернуться к определениям Евклида. Продолжая далее перпендикуляр и проводя новые параллельные, мы нахо- дим, что угол параллельности будет все уменьшаться. Если, далее,
отстоящие прямые сильнее сходятся, то, ради последовательно- сти, должно принять, что при сближении линий, при уменьше- нии перпендикуляра, угол параллельности, наоборот, возрастает.
Таким образом угол параллельности есть обратная функция пер- пендикуляра p и Лобачевский обозначает ее II (р). Пучок паралле- лей в одной плоскости изображен схематически на фигуре 31.
391

Все параллели асимптотически сближаются со стороны своего схождения. Равномерность пространства требует, чтобы каждая
«полоса» между двумя параллелями была совместима со всякой другой, поскольку перемещение производится лишь в направле- нии длины их.
Фиг.
32
22. Представим себе, что круг беспредельно увеличивается;
его радиусы должны перестать пересекаться, когда при нараста- нии лежащих между ними дуг схождение их будет соответство- вать параллелизму. Круг переходит тогда в так называемую
«предельную линию». Аналогично с этим шаровая поверхность при беспредельном увеличении превращается в поверхность, ко- торую Лобачевский называет «предельной поверхностью». Отно- шение предельной линии к предельной поверхности таково же,
как большого круга на шаре к шаровой поверхности. Геометрия шаровой поверхности независима от аксиомы параллельных ли- ний. Так как можно доказать, что треугольники из предельных линий на предельной поверхности столь же мало нарушают пра- вило о сумме углов, как конечные сферические треугольники на шаре бесконечного радиуса, то для этих предельных треугольни- ков имеют силу правила геометрии Евклида. Чтобы найти точки предельной линии, берем пучок параллелей (в плоскости): да,
6ß, су, db,... (фиг. 32) и к точке а на прямой аа определяем точки
Ъ, с
у
d... на остальных параллелях таким образом, что углы
aab = рея, аас = уса, aad = bda ... При однородности всего по- строения каждая из параллелей может быть рассматриваема, как
«ось» предельной линии, которая, вращаясь около этой оси,
описывает предельную поверхность. Таким же образом можно каждую из параллелей рассматривать как ось предельной повер- хности. На том же основании все предельные линии и предель- ные поверхности совместимы. Пересечение каждой плоскости с предельной поверхностью есть круг, и только когда ось лежит в плоскости, мы получаем вместо круга предельную линию. В гео-
392

метрии Евклида нет ни предельных линий, ни предельных по- верхностей. Аналогами их являются в ней прямая линия и плоскость. Если нет предельной линии, то три произвольные точки, не лежащие на одной прямой, должны лежать на круге.
На этом основании /. Bolyai мог заменить этим последним тре- бованием аксиому Евклида.
23. Пусть (фиг. 32) яа, £ß, су... представляют систему парал- лелей и ае, a
l9
е
{
, а
2
, е
2
... систему предельных линий, из которых каждая система делит другую на равные части. Отношение двух предельных дуг между одними и теми же параллелями, напри- мер ad=u и a^d^—u ', зависит тогда исключительно от расстояния между ними, т. е. от аа^х. Можно положить вообще, что
и χ
— = е—, причем k выбирается так, чтобы е было основанием на-
и'
k
туральных логарифмов. Этим путем вводятся экспоненциальные и через них гиперболические функции. Для угла параллельности
1 - π
находим: s = cot- II(/?) = e
k
. При/? = 0, s = -, а при/? = оо, s = 0.
Рассмотрим один пример, освещающий отношение геомет- рии Лобачевского к геометрии Евклида и сферической геометрии.
Для прямолинейного треугольника Лобачевского со сторонами а,
Ь, с и противолежащими углами А, В, С мы имеем, если С есть прямой угол:
Λ
α
Λ
с .
sh — = sh — sin A
k k
При этом sh означает гипербологический синус.
е
х
-е

х
e
xi
-e
xi
s h x = , smjc= , или
2 2/
χ χ
3
χ
5
χ
7
χ χ
3
χ
5
χ
7
ShX =
V.
+
^\
+
^\
+
J\
+K
и
8
ш х = - - -
+
---
+
к
Если рассматривать содержащиеся в предыдущем отноше- нии sin (xi) = / · sh χ или sh (xi) = / · sin x между круговой и гипер- болической функциями, то нетрудно видеть, что приведенная выше формула для треугольника Лобачевского переходит в фор- мулу сферического треугольника sin— = sin—sin А, если в первой
k k
заменить k через ki и рассматривать k как радиус шара, которо- му, правда, в обычных формулах дают значение единицы. Об- ратное превращение сферической формулы в формулу
Лобачевского тем же путем ясно само собой. Для k, очень боль- шого сравнительно с а и с, мы можем ограничиться первым
15 Познание и заблуждение 393

членом разложения sh или sin и в обоих случаях получаем
а с
— = — · sin А или а = с · sin А, т. е. формулу плоской геометрии Ев-
k k
клида, которую мы таким образом рассматриваем как предель-
ный случай как геометрии Лобачевского, так и сферической геометрии для очень больших значений k или для k = оо. Мы мо- жем также сказать, что в бесконечно малом все три геометрии совпадают.
24. Итак, мы видим, что, допустив сходимость параллельных прямых, мы можем развить систему геометрии, свободную от внутренних противоречий. Правда, это допущение не подтверж- дается ни одним наблюдением доступных нам геометрических фактов и в такой мере противоречит нашему геометрическому инстинкту, что делает вполне понятным отношение старых ис- следователей, как SacchenH Lambert. Наше представление, руко- водимое созерцанием и привычными евклидовскими понятиями,
может только частями и постепенно приспособляться к требова- ниям геометрии Лобачевского. Мы должны при этом руководст- воваться больше геометрическими понятиями, чем чувственными
образами доступной нам небольшой пространственной области.
Должно однако признать, что математические количественные понятия, при помощи которых мы самодеятельно изображаем факты геометрического опыта, не абсолютно соответствуют этим последним. Как и физические теории, геометрическая теория более проста и точна, чем то собственно может быть доказано опытом с его случайными уклонениями. Разные понятия могут в области, доступной наблюдению, одинаково точно выражать факты. Таким образом должно отличать факты от умственных
образов, которые они возбудили. Последние, т. е. понятия, дол- жны быть лишь согласимы с наблюдением и кроме того логиче- ски не противоречить друг другу. Эти два требования могут быть однако осуществлены многообразно, и отсюда различные систе- мы геометрии.
25. Из работ Лобачевского видно, что они представляют резу- льтат долголетнего и напряженного умственного труда, и можно предполагать, что он сначала должен был общими рассуждения- ми и аналитическими вычислениями выработать себе общую картину своей системы, прежде чем был в состоянии изложить ее в синтетической форме. Привлекательной эту тяжеловесную
Евклидовскую форму никак нельзя назвать и, может быть, имен- но этой форме главным образом надо приписать то, что значе- ние работ Лобачевского и Bolyai так поздно получило всеобщее признание.
394

26. Лобачевский развил только следствия, вытекающие из ви- доизменения пятого требования Евклида. Если же отвергнуть положение Евклида, что «две прямые не ограничивают простран- ства», то приходят к некоторой противоположности геометрии Ло-
бачевского
1
^ . В отношении поверхностей это есть сферическая геометрия. Вместо Евклидовских прямых линий мы имеем здесь большие круги сферы, которые все дважды пересекаются и каж- дая пара которых образует два сферических двуугольника. Здесь,
следовательно, совсем нет параллелей. Возможность подобной геометрии в трехмерном пространстве (с положительной мерой кривизны) впервые указал Риман. Ее, по-видимому, не допускал
Гаусс, может быть, из пристрастия к бесконечности пространст- ва. Гелъмголъц
26
, который развивал далее именно в физическом смысле исследования Римана, напротив, в первой своей работе оставил без внимания пространство Лобачевского, т. е. простран- ство с отрицательной мерой кривизны (с мнимым параметром
k). Действительно, рассмотрение этого случая ближе математи- ку, чем физику. Гелъмголъц обсуждает здесь только случай Евкли-
да с мерой кривизны, равной нулю, и пространство Римана с положительной мерой кривизны.
27. Итак, факты пространственного наблюдения мы можем изображать со всей доступной нам точностью как при помощи геометрии Евклида, так и при помощи геометрии Лобачевского и
Римана, если только в двух последних случаях примем параметр
k достаточно большим. До сих пор физики не имели оснований отказаться от допущения геометрии Евклида, т. е. k = оо. По ока- завшейся целесообразной привычке они придерживаются про-
стейших предположений до тех пор, пока факты не принудят их к усложнению или видоизменению этих предположений. Это соответствует и точке зрения всех выдающихся математиков в отношении прикладной геометрии. Поскольку однако взгляды натуралистов и математиков в этих вопросах различны, объясня- ется это тем, что для первых физически данное имеет величай- шую важность, геометрия же есть только привычное средство для его исследования, между тем как для последних именно эти вопросы представляют величайший специальный и в особенно- сти гносеологический интерес. Но раз математик попытался изменить ближайшие и простейшие предположения, которые внушал ему геометрический опыт, и раз эта попытка увенчалась
25
См. работу De Tilly, цитированную на стр. 363.
26
Über die tatsächlichen Grundlagen der Geometrie, 1866. Wissenschaftliche Abhan- dlungen. II, стр. 610 и сдед.
is* 395

для него расширением понимания, то, конечно, такие попытки должны были развиваться и далее, в интересе уже чисто матема- тическом. Были развиты системы геометрии, аналогичные при- вычной нам геометрии, но с точки зрения предположений еще более свободных, еще более общих, для любого числа измере- ний, не претендующие быть чем-либо, кроме научных экспери- ментов в мыслях, без притязаний на применение к чувственной действительности. Достаточно указать здесь на движение вперед математики в работах Клиффорда, Клейна, Ли и др. Весьма редко какой-нибудь мыслитель так уходил в свои теоретические по- строения и настолько отрывался от действительности, чтобы ду- мать, что данное нам чувственное пространство имеет больше
трех измерений, или изображать это пространство при помощи геометрии, значительно уклоняющейся от Евклидовской. Гауссу,
Лобачевскому, J. Bolyai, Риману это было вполне ясно, и они во всяком случае не ответственны за те дикие мнения, которые были высказаны в этой области впоследствии.
28. Не во вкусе физика делать предположения относительно свойств геометрических образов в бесконечности, ему недоступ- ной, и затем сравнивать эти последние с ближайшим опытом и к нему их приспособлять. Он предпочитает (как это сделал в своей работе Stolz) рассматривать, как источник своих понятий, непо- средственно данное и значение этих понятий затем распростра- няет и на область недоступного ему бесконечного до тех пор,
пока не увидит себя вынужденным их изменить. Но и он должен быть весьма благодарен за выяснение того факта, что существует
несколько удовлетворяющих делу геометрий, что можно справи- ться с делом и при помощи конечного пространства и т. д., од- ним словом, за устранение традиционных ограничений мышления.
Если бы мы жили на поверхности планеты с мутной, непрозрач- ной атмосферой и, обладая только наугольником и измерительной цепью, приступили бы к измерениям, исходя из предположения плоской поверхности, то нарастание нарушений правила отно- сительно суммы углов в случае больших треугольников скоро за- ставило бы нас заменить нашу планиметрию сферометрией.
Возможности аналогичных данных опыта в трехмерном про- странстве физик в принципе не может исключить, хотя явления,
вынуждающие к допущению геометрии Лобачевского или Рима-
на, столь чудовищно противоположны всему, к чему мы до сих пор привыкли, что никто не считает наступления их вероятным.
29. Вопрос, представляет ли данный физический объект пря- мую линию или дугу круга, неправилен по форме своей поста- новки. Натянутая нить или световой луч не есть, конечно, ни то,
396

ни другое; Вопрос может быть только о том, реагирует ли наш объект пространственно так, что он лучше соответствует одному,
чем другому понятию и соответствует ли он вообще с достаточ- ной и достижимой точностью одному из геометрических понятий.
Если этого нет, то возникает вопрос, можем ли мы практически устранить или, по меньшей мере, мысленно определить и учесть
отклонение от прямой или круга, т. е. можем ли мы исправить ре- зультат измерения. Но при практическом измерении мы всегда делаем только одно: сравниваем физические объекты. Если бы оказалось, что при прямом исследовании эти последние соответ- ствуют геометрическим понятиям со всей возможной точно- стью, но косвенные результаты измерения больше отклоняются от теории, чем то допустимо в пределах возможных ошибок, то мы действительно были бы вынуждены изменить наши физиче- ски-метрические понятия. Физик однако будет прав, если он по- дождет наступления этого положения, между тем как перед
математиком с его рассуждениями поле действий всегда свободно.
30. Понятия натуралиста о пространстве и времени суть наи- более простые понятия. Пространственные и временные объек- ты, соответствующие их требованиям, могут быть устроены с большой точностью. Почти каждое отклонение, которое еще мо- жет быть замечено, возможно устранить. Каждое построение в пространстве или времени можно мыслить осуществленным, не делая насилия над фактами. Прочие физические свойства тел настолько зависят друг от друга, что произвольные фикции на- ходят здесь тесные рамки в фактах. Совершенного газа, совер- шенной жидкости, совершенно упругого тела не существует;
физику известно, что его фикции соответствуют фактам только приблизительно, произвольно упрощая их; ему известны откло- нения, которые не могут быть устранены. Шар, плоскость и т. д.
можно мыслить сделанными с какой угодно точностью, не про- тивореча никаким фактам. Если, поэтому, какой-нибудь физи- ческий факт требует видоизменения наших понятий, физик охотнее жертвует менее совершенными понятиями физики, чем более простыми, более совершенными и устойчивыми понятия- ми геометрии, составляющими самую твердую основу всех его построений.
31. Но, с другой стороны, физик может извлечь существен- ную пользу из работ геометров. Наша геометрия относится все- гда к объектам чувственного опыта. Но если мы оперируем с абстрактными вещами, как то атомами и молекулами, которые по самой природе своей не могут быть даны нашим чувствам, мы не имеем более никакого права обязательно мыслить эти вещи в
397

отношениях, в относительных положениях, соответствующих
Евклидову трехмерному пространству нашего чувственного опы- та. Это в особенности должен принимать во внимание тот, кто считает атомистические теории необходимыми
27 32. Вернемся к происхождению геометрии из практической потребности. Познание пространственной субстанционально- сти, пространственного постоянства протяженной вещи, не- смотря на ее движения, является для нас биологически необходи- мым, ибо существует некоторая связь между пространственным количеством и количеством удовлетворения потребности. По- скольку это знание не обеспечено достаточно самою нашею фи- зиологическою организациею, мы употребляем наши руки и ноги для сравнения с протяженным объектом. Но пользуемся ли мы для сравнения нашими руками или искусственным масшта- бом, раз мы сравниваем тела между собой, мы уже вступили в область физики. Все физические определения относительны. Так
и все геометрические определения имеют значение, относитель-
ное к масштабу. Понятие меры есть понятие отношения, кото- рое ничего не говорит нам о самом масштабе. В геометрии мы только принимаем, что масштаб всегда и везде остается равным тому, чему он где-либо и когда-либо оказался равным. Относи- тельно самого же масштаба здесь не высказано ничего. Этим на место пространственного физиологического равенства выступает совершенно иначе определяемое физическое равенство, которо- го также не следует смешивать с первым, как нельзя отождеств- лять показаний термометра с тепловыми ощущениями. Правда,
практический геометр констатирует расширение нагретого мас- штаба масштабом, остающимся в постоянной температуре, и об- ращает внимание на то, что вследствие такого постороннего
пространству физического обстоятельства указанное выше отно- шение равенства нарушается. Однако для чистой геометрии вся-
27
Находясь еще под влиянием атомистической теории, я попытался однажды объяснить спектральные линии газов колебаниями друг относительно друга атомов, входящих в состав молекулы газа. Затруднения, на которые я натолк- нулся при этом, навели меня в 1863 году на мысль, что нечувственные вещи не должны быть обязательно представляемы в нашем чувственном простран- стве трех измерений. Таким путем я пришел к мысли об аналогах пространст- ва различного числа измерений. Одновременно с этим изучение различных физиологических многообразий (см. стр. 375) привело меня к вопросам, за- тронутым в конце настоящей главы. Мысль о конечных пространствах, схо- дящихся параллельных линиях и т. д., которая могла возникнуть только при историческом изучении геометрии, была тогда далека от меня. Мои критики прекрасно сделали бы, мне кажется, если бы не оставляли без внимания ого- ворки, напечатанные курсивом. Подробности относительно этого см. в при- мечаниях к моей работе «Erhaltung der Arbeit». Prag, 1872.
398

кое предположение относительно масштаба чуждо. Молчаливо,
но без достаточного основания, сохраняется привычка, обуслов- ленная только физиологически, считать масштаб постоянным.
Было бы совершенно бесплодно и не имело бы никакого смысла,
если бы мы приняли, что масштаб, а следовательно и тела вооб- ще с перемещением в пространстве претерпевают изменения или остаются неизменными: ведь все это могло бы быть конста- тировано опять только при помощи нового масштаба. Из этих соображений обнаруживается относительность всех пространст- венных соотношений.
33. Если критерий пространственного равенства существен- но изменяется уже введением мер, то с введением понятия числа
в геометрию он претерпевает дальнейшее изменение, становится точнее. Этим обусловливается большая тонкость различений,
какую простое понятие совмещения никогда не могло бы дать.
Только применение арифметики к геометрии приводит к поня- тиям несоизмеримого, иррационального. Таким образом в наших геометрических понятиях имеются чуждые пространству приме- си; они изображают пространственное с некоторой свободой и именно с произвольной большей точностью, чем то может быть достигнуто пространственным наблюдением. Неполный контакт между фактами и понятиями делает возможными разные геомет- рические системы (теории)
28
. То же самое можно сказать и отно- сительно физики
29 34. Все развитие, приведшее к перевороту в понимании гео- метрии, следует признать за здоровое и сильное движение. Под- готовляемое столетиями, значительно усилившееся в наши дни,
оно никоим образом не может считаться уже законченным. На- против, следует ожидать, что движение это принесет еще бога- тейшие плоды — и именно в смысле теории познания — не только для математики и геометрии, но и для других наук. Буду- чи обязано, правда, мощным толчкам некоторых отдельных вы- дающихся людей, оно однако возникло не из индивидуальных,
но общих потребностей. Это видно уже из одного разнообразия профессий людей, которые приняли участие в движении. Не то- лько математики, но и философы, и дидактики внесли свою долю в эти исследования. И пути, проложенные различными исследователями, близко соприкасаются. Мысли, высказанные
28
Мы не можем предполагать, чтобы материя осуществляла все атомистиче- ские фантазии физика. Столь же мало может удовлетворять пространство
(как объект опыта) всем идеям математика, что однако не должно возбуждать сомнений в значении соответствующих исследований самих по себе.
29
См. примечание на стр. 390.
399

Лейбницем
3
®, встречаются вновь в мало измененной форме у Фу-
рье
31
, Лобачевского, J. Bolyai, H. Erb'а
32
. Философ Ибервег
33
, ко- торый в своей оппозиции против Канта примыкал по существу к психологу Бенеке
34
, а своими геометрическими рассуждения- ми — к H. Erb'y [в свою очередь называющему своим предшест- венником К A. Erb
9
а
35
], своими исследованиями в значительной мере расчистил почву для работ Гелъмголъца.
35. Результаты, к которым привели нас предыдущие рассуж- дения, можно сжато выразить так:
1) Опыт был признан источником наших геометрических понятий.
2) Была выяснена множественность понятий, удовлетворя- ющих одним и тем же геометрическим фактам.
3) Сравнением пространства с другими многообразиями были получены более общие понятия, для которых понятия гео- метрические составляют частный случай. Этим геометрическое мышление было освобождено из традиционных границ, считав- шихся непереходимыми.
4) Указанием многообразий, родственных пространству, но от него отличных, были возбуждены совершенно новые вопро- сы: Что такое пространство физиологически, физически, гео- метрически? К чему сводятся его особые свойства, так как мыслимы и другие? Почему пространство трехмерно? и т. д.
36. Эти вопросы, решения которых невозможно ожидать ни сегодня, ни завтра, изображают перед нами всю глубину того,
что подлежит еще исследованию. Не будем вовсе говорить о суждениях непризванных «беотийцев», появление которых пред- видел Гаусс и которые настраивали его к такой сдержанности.
30
См. стр. 354, 355.
31
Séances des Écoles normales. Débats. T. I, 1800, стр. 28.
32
H. Erb, Grossherzoglich Badischer Finanzrat, Die Probleme der goraden Linie, des
Winkels und der ebenen Fläche. Heidelberg, 1846. Автор дал здесь то дополне- ние к элементарной геометрии, которого требовал Гаусс в одном письме к
Бесселю. В том же направлении работал И. Шрам в своей статье «Leibnizens
Definitionen der Ebene und der Geraden». Статья напечатана на правах рукопи- си в 1903 году в Оберштейге, в северном Тироле.
33
Die Prinzipien der Geometrie wissenschaftlich dargestellt. Archiv für Philologie und
Pädagogik, 1851. Напечатано в книге ßrasch'a, Welt- und Lebensunschauung F.
Überwegs. Leipzig, 1889, стр. 263-317.
34
Logik als Kunstlehre des Denkens. Berlin, 1842. II. Bd., стр. 51-55.
35
Zur Mathematik und Logik. Heidelberg, 1821. Сочинения этого мне не удалось достать. — Читателей, особенно интересующихся философией, отсылаем еще к работе С. Siegern, цитированной на стр. 370.
400

Но что нам сказать о той суровой придирчивой критике, кото- рой подверглись мысли Гаусса, Римана и их товарищей со сторо- ны людей, занимающих выдающееся положение в науке? Неужели им на себе самих не пришлось никогда испытать того, что иссле- дователь на крайних границах знания находит часто то, что не может быть гладко и немедленно усвоено каждым умом и что тем не менее далеко не бессмысленно? Конечно, и такие иссле- дователи могут впадать в ошибки. Но и ошибки иных людей бы- вают нередко по своим последствиям плодотворнее, чем открытия других.