Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
ГЛАВА 22 ПРОСТРАНСТВО И ГЕОМЕТРИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 1 1. Пространственное воззрение человека коренится в его физиологической организации. Геометрические понятия развива- ются путем идеализации физического опыта пространства. Нако- нец, геометрическая система создается логическим упорядочением полученных понятий. Все три момента оставили ясные следы в современной геометрии. Таким образом теоретико-познаватель- ные вопросы о пространстве и геометрии подлежат изучению физиолога и психолога, физика, математика, философа и логика и могут быть постепенно разрешены, лишь приняв во внимание все, весьма различные здесь, точки зрения. Когда в ранней юности в нас пробуждается полное созна- ние, мы уже находим у себя представление окружающего нас, охватывающего наше тело пространства, в котором, частью из- меняясь и частью сохраняя прежнюю величину и форму, двига- ются различные тела. Как у нас явилось это представление, мы указать не можем. Только точный анализ целесообразно и пла- номерно устроенных экспериментов дает возможность догадать- ся, что этому содействовали прирожденные особенности нашего тела с одной стороны, и простой, грубый, физический опыт — с другой. Кроме своего чувственного качества (красный, шерохова- тый, прохладный и т. д.) каждый зрительный или осязательный объект характеризуется еще своим качеством места, локальным качеством (направо, наверх, впереди и т. д.). Чувственное каче- ство может оставаться тем же самым, когда локальные места не- прерывно изменяются; это значит, что один и тот же чувственный объект может перемещаться в пространстве. Когда такого рода состояния часто вызываются физически-физиологическими об- стоятельствами, то вместе с огромным многообразием случай- Глава эта была напечатана в журнале «The Monist», Vol. XIV. Oktober 1903. Я делаю в ней попытку в качестве физика занять известное положение к так на- зываемой метагеометрии. За подробными геометрическими доказательства- ми я должен отослать читателя к источникам. При всем том я надеюсь сохранить общепонятность изложения, так как привожу примеры, всякому знакомые и привычные. — Профессор F. Brentano сделал устные и письмен- ные возражения против изложенных в этой главе взглядов; эти возражения весьма интересны, но теперь, будучи занят другими вопросами, я на них по- дробно останавливаться не могу. 372 ных чувственных качеств постоянно повторяются одни и те же ряды локальных качеств, так что эти последние скоро образуют некоторую постоянную, сохраняющуюся схему или шкалу, в ко- торой и располагаются упомянутые выше чувственные качества. Таким образом хотя чувственные качества и локальные качества возбуждаются и могут выступать только вместе, тем не менее лег- ко возникает впечатление, будто система привычных локальных качеств дана до чувственных качеств. 2. Протяженные зрительные и осязательные объекты состо- ят из более или менее различимых чувственных качеств, которые связаны с соседними различными локальными качествами, об- разующими непрерывный ряд ступеней. Когда такие объекты перемещаются, и именно в области наших рук, мы воспринима- ем сжатие или набухание (в целом или в его частях), или сохра- нение прежнего состояния, т. е. контрасты предельных локальных качеств изменяются или остаются постоянными. В последнем случае мы называем объекты твердыми. Через познание таких постоянств, несмотря на пространственные их перемещения, различные части нашего пространственного воззрения стано- вятся сравнимыми, прежде всего в физиологическом смысле. Через сравнение различных тел между собой, через введение физической меры, эта сравнимость становится более точной, количественной и вместе с тем переходит границы индивидуума. Таким образом на место индивидуального, не передаваемого другим, пространственно- го воззрения становятся общеобязательные для всех людей понятия геометрии. Каждый человек имеет свое особое пространственное воззрение, но геометрическое пространство одно для всех. Мы должны строго различать между наглядным, воззрительным про- странством и метрическим пространством, содержащим физиче- ский опыт. 3. Потребность в глубоком гносеологическом выяснении основ геометрии заставила Римана 2 в середине прошлого столе- тия поставить вопрос о природе пространства. Еще до этого Гаусс, Лобачевский и оба Bolyai обратили внимание на эмпирически-ги- потетическое значение известных основных допущений геомет- рии. Когда Риман рассматривает пространство как частный случай многократно протяженной «величины», он мыслит некоторый геометрический образ, который можно представлять себе напол- няющим и все пространство, например координатную систему Декарта. Далее, Риман говорит, что положения геометрии нель- зя вывести из общих понятий о величинах, но те свойства, кото- рыми пространство отличается от других мыслимых величин Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Göttingen, 1867. 14 Познание и заблуждение 373 трех измерений, могут быть заимствованы только из опыта... «Подобно всем фактам, и эти факты не необходимы, а только эмпирически достоверны; они — гипотезы». Как основные до- пущения во всякой отрасли естествознания, так и основные до- пущения геометрии, к которым привел опыт, представляют идеализации этого опыта. В своем естественнонаучном понима- нии геометрии Риман стоит на точке зрения своего учителя Гаус- са. Гаусс высказал убеждение, «что мы не можем обосновать геометрию вполне a priori»... 3 «Мы должны смиренно признать, что, хотя число есть только продукт нашего ума, пространство есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело приписывать закона a priori 4 4. Каждый исследователь испытал, что познанию объекта, подлежащего исследованию, существенно помогает сравнение его с объектами родственными. Естественно, что и Риман ищет вещей, представляющих аналогию с пространством. Геометри- ческое пространство он рассматривает как непрерывное много- образие трех измерений, элементами которого надо считать определяемые тремя координатами точки. Он находит, «что мес- та чувственных предметов и цвета суть, пожалуй, единственные понятия, определения которых образуют многообразие многих измерений». К этой аналогии другие ученые прибавили еще но- вые и развили их далее, но, по моему мнению, не всегда с успе- хом 5 5. Если сравним сначала пространственное ощущение с ощу- щением цвета, то мы видим, что непрерывным рядам: наверху — внизу, направо -- налево, вблизи — далеко соответствуют три ряда ощущений цветов: черный — белый, красный — зеленый, желтый — синий. Система ощущаемых (созерцаемых) мест есть 3 Brief von Gauss an Bessel, 27 Januar 1829. 4 Brief von Gauss an Bessel vom 9 April 1830. — Выражение «число есть продукт или творение ума» с тех пор неоднократно употреблялось математиками. Но беспристрастное психологическое наблюдение учит нас, что образованию понятия числа в такой же мере кладет начало опыт, как образованию геомет- рических понятий. По меньшей мере прежде чем возникнет понятие о числе, должен уже существовать опыт, что в известном смысле равноценные объек- ты существуют множественно и неизменно. И числовой эксперимент играет выдающуюся роль в развитии арифметики. 5 Если устанавливать аналогию между высотой, интенсивностью и тембром звука, между цветом, насыщенностью и силой света с одной стороны, и тре- мя измерениями пространства — с другой, то такие аналогии удовлетворят немногих. Тембр звука, как и цвет, зависит от многих переменных. Поэтому, если эта аналогия имеет вообще какой-нибудь смысл, то тембру и цвету дол- жны соответствовать многие измерения. — Ср. Веппо Erdmann. Die Axiome der Geometrie. Leipzig, 1877. 374 в такой же мере непрерывное многообразие трех измерений, как и система цветовых ощущений. Против этой аналогии возража- ли, что в первом случае три изменения (измерения) гомогенны (однородны) и могут заменять друг друга, между тем как во вто- ром случае они гетерогенны и не могут заменять друг друга. Но это возражение оказывается неосновательным, если сравнивать пространственное ощущение с цветовым ощущением. Ибо пси- хофизиологические ряды направо — налево и наверху — внизу столь же мало могут заменить друг друга, как ряды красный — зеленый и черный — белый. Только когда сравнивают геометри- ческое пространство с системой цветов, это возражение стано- вится, по-видимому, основательным. Однако для полной аналогии между созерцаемым пространством и системой цветовых ощу- щений все же еще многого недостает. В то время, как близкие равные расстояния в пространстве непосредственно познаются нами как таковые, о различии между цветами мы ничего подоб- ного сказать не можем и в последней области не хватает, следо- вательно, физиологической сравнимости ее частей. Хотя вполне возможно, приложив физический опыт, обозначить каждый цвет системы через три числа, подобно местам в геометрическом про- странстве, и таким образом создать для цветов метрическую сис- тему, подобную пространственной, однако все же трудно найти что-либо, что соответствовало бы расстояниям или объемам и имело бы для системы цветов аналогичное физическое значе- ние. 6. Аналогии всегда заключают в себе нечто произвольное, так как распространяются на сходства, которые привлекли наше внимание. Однако вряд ли кто-нибудь станет отрицать аналогию между пространством и временем, и притом как при физиологи- ческом, так и физическом их понимании. В обоих случаях про- странство есть непрерывное многообразие трех измерений, а время — непрерывное однородное многообразие. Какой-нибудь физический процесс средней продолжительности, точно опреде- ленный известными обстоятельствами, является для нас теперь и во всякое другое время непосредственно равным по продолжите- льности. Физические процессы, когда-нибудь совпадающие по времени, совпадают по времени и во всякий другой момент. Су- ществует, следовательно, совмещение во времени, как существует совмещение в пространстве. Существует, следовательно, посто- янный физический объект времени, как и постоянный физиче- ский объект пространства (твердое тело). Существует не только пространственная, но и временная субстанциональность. Галилей пользовался еще физиологическими процессами — пульсом и 375 дыханием — для оценки времени, как некогда пользовались ру- ками и ногами для измерения пространства. 7. Есть также аналогия между пространственными ощуще- ниями — многообразием трех измерений — и ощущениями тонов, составляющими многообразие одного измерения 6 . Сравнимость различных частей системы ощущений тонов дана в непосредст- венном ощущении музыкального интервала. Метрическая систе- ма, соответствующая геометрическому пространству, получается здесь всего проще, если характеризовать высоту тона логариф- мом числа колебаний. Постоянному музыкальному интервалу здесь соответствует выражение: log— = log«' - log n = log τ - log-c' = konst, η где η', η обозначают числа колебаний, a τ', τ — продолжитель- ность колебаний высшего и низшего тона. Разность логарифмов означает здесь длину, которая остается постоянной при переме- щении вдоль линии тонов. Постоянный субстанциональный фи- зический объект, который мы ощущаем как интервал, определен для нашего уха временно, между тем как аналогичный объект для чувства зрения и осязания определен пространственно. Мера пространства только потому нам кажется проще, что мы ту же самую длину, которая остается постоянной для пространствен- ного чувства, выбрали и как основную меру в геометрии, между тем как к изменениям в области тонов мы приходим лишь око- льным физическим путем. 8. Теперь необходимо, помимо сходных черт, указать и на раз- личия в многообразиях, между которыми мы провели аналогию. Рассматривая время и пространство как многообразия ощущений, мы находим, что объекты, движение которых обнаруживается из- менением качеств времени и пространства, характеризуются вместе с тем и другими ощущаемыми качествами: цветами, ося- зательными свойствами, тонами и т. д. Если же проводить пол- ную аналогию между зрительным пространством и, например, ощущениями тона, то получается следующая странная вещь: в первой области локальные качества должны выступить одни, без прочих соответствующих объектам ощутимых качеств, т. е. так, как будто возможно было видеть какое-нибудь место или опре- деленное движение, не видя объекта, занимающего это место или совершающего это движение. Так как однако локальные ка- На эту аналогию я обратил внимание в 1863 году при изучении органа слуха и с тех пор проследил ее далее. См. «Анализ ощущений» (изд. С. Скирмунта). 376 чества представляют собою ощущения органов, которые могут быть возбуждены только вместе с чувственными качествами 7 , то упомянутая аналогия не является особенно заманчивой. Для ма- тематика, оперирующего многообразиями, не представляет суще- ственной разницы, движется ли объект определенного цвета непрерывно в оптическом пространстве или какой-нибудь пред- мет, занимающий определенное место, непрерывно изменяясь, проходит многообразный ряд цветов. Но для физиолога и психо- лога эти случаи весьма различны и не только по указанному выше, но и вследствие еще одного обстоятельства. Система локальных качеств нам весьма привычна, между тем как систему цветовых ощущений мы представляем себе только с трудом и искусственно на основании научных исследований. Цвет кажется нам вырван- ным членом многообразия, порядок которого для нас непривычен. 9. Многообразия, сравниваемые здесь с пространством, пред- ставляют, как, например, система цветов, тоже три измерения или меньшее их число. В самом пространстве мы находим повер- хности — многообразия двух измерений — и линии — многооб- разия одного измерения, а математик на своем обобщающем языке может сюда причислить и точки, как многообразия нуле- вого измерения. Но не представляет никакого затруднения рас- сматривать аналитическую механику, как то и было сделано, как аналитическую геометрию четырех измерений (четвертое изме- рение — время). Вообще отнесенные к координатам уравнения аналитической геометрии легко внушают математику мысль рас- пространить такого рода рассуждения на какое угодно большее число измерений. И физика могла бы рассматривать протяжен- ную материальную непрерывность, каждой точке которой мож- но приписать определенную температуру, силу притяжения, магнитный и электрический потенциал и т. д., как часть, как вы- резку многообразия многих измерений. Мы знаем из истории науки, что оперирование такими символическими образами ни- коим образом нельзя считать делом совершенно бесплодным. Символы, которые сначала не имели как будто никакого смыс- ла, постепенно -- так сказать, при мысленных экспериментах над ними — получили ясное и точное значение. Вспомним, на- пример, отрицательные дробные и переменные показатели сте- пени и подобные тому случаи, в которых именно этим путем были достигнуты важные и существенные расширения понятия, которые иначе были бы или совершенно не достигнуты или до- стигнуты гораздо позже. Вспомним так называемые мнимые ве- См. стр. 332-333. 377 личины, которыми давно оперировали и достигали даже важных результатов, прежде чем были в состоянии придать им вполне определенный и даже наглядный смысл. Но символическое изображение имеет, правда, и известный недостаток, заключаю- щийся в том, что слишком легко упустить совершенно из виду изображенный в символе объект и оперировать знаками, кото- рым порой никакого объекта не соответствует 8 10. Нетрудно подняться до Римановского представления непре- рывного многообразия и измерений и удается даже части такого многообразия реализовать и сделать наглядными. Пусть α ΐ 5 а ъ а ъ , я 4 ,.... У ТЬ какие-нибудь элементы (ощущаемые качества, ве- щества и т. д.). Если представить себе эти элементы соединенными во всех возможных отношениях, то каждое отдельное такое соеди- нение может быть представлено следующим выражением: а 2 а 2 *п+\ причем коэффициенты а удовлетворяют уравнению а { +я 2 +я 3 + ... а п+1 =1. Так как n коэффициентов а можно выбрать произвольно, то совокупность соединений из n + 1 элементов представляет непрерывное многообразие n измерений 9 . В качестве коорди- Я должен сознаться, что, когда я был молодым студентом, меня возмущал каждый вывод при помощи символов, значение которых не было вполне ясно и наглядно. Но историческое изучение способно уничтожить склон- ность к мистике, легко развивающуюся в случае малосознательного приме- нения таких методов: оно знакомит с эвристическим значением их и в то же время гносеологически выясняет, в чем именно заключается помощь, кото- рую они оказывают. Символическое изображение какого-нибудь вычисле- ния имеет для математика то же значение, какое имеет модель или наглядная рабочая гипотеза для физика. Символ, модель, гипотеза параллельны тому, что должно быть изображено. Но этот параллелизм может заходить далее или может быть проведен далее, чем это предполагалось первоначально при вы- боре этого средства. Так как то, что подлежит изображению, и средство изоб- ражения все же вещи различные, то мы в одном замечаем то, что оставалось бы в другом скрытым. На операцию а 2 / 3 трудно напасть непосредственно. Но вычисление с такими символами приводит к тому, что этот символ получает понятный смысл. В течение многих_йесятилетий оперировали, по примеру Эйлера, выражениями как cpsx + V-1 · sin x.и степенями с мнимыми пока- зателями. Это продолжалось до тех пор, пока в стремлении к взаимному при- способлению мысли и символа не прорвалась, наконец, yArgancfa в 1806 году зревшая в течение столетия идея, что |