Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
ГЛАВА 21 К ПСИХОЛОГИИ И ЕСТЕСТВЕННОМУ РАЗВИТИЮ ГЕОМЕТРИИ 1 1. Для животного организма имеют прежде всего величайшее значение взаимные отношения частей собственного тела и отно- шения физических объектов к частям этого тела. На них покоит- ся физиологическая система пространственных ощущений. Более сложные условия жизни, при которых простое и прямое удов- летворение потребностей уже невозможно, вызывают усиление интеллекта. Физические и в особенности пространственные от- ношения тел друг к другу могут получить тогда посредственный, косвенный интерес, значительно превосходящий интерес к мгно- венным ощущениям. Отсюда развивается пространственная кар- тина мира, сначала инстинктивно, потом ремесленным, так сказать, путем и наконец научно, в форме геометрии. Отноше- ния тел суть отношения геометрические постольку, поскольку они определяются пространственными ощущениями или нахо- дят в таковых свое выражение. Как без ощущений термических не было бы учения о теплоте, так без пространственных ощуще- ний не было бы и геометрии. Но и учение о теплоте и геометрия нуждаются еще в опыте относительно тел, т. е. оба должны вый- ти за тесные пределы той чувственной области, которая состав- ляет их специальные основы. 2. Самостоятельное значение отдельное ощущение имеет то- лько на самой низкой ступени животной жизни, например при рефлективном движении, при устранении неприятного раздра- жения кожи, при хватательном рефлексе лягушки и т. д. На бо- лее высокой ступени развития внимание направляется не на одни только пространственные ощущения, но на те тесно свя- занные между собой комплексы чувственных и пространственных ощущений, которые мы называем телами. Тело возбуждает наш интерес и есть цель нашей деятельности. Но род этой деятельно- сти определяется между прочим и тем, где это тело находится, близко ли или вдали, наверху или внизу и т. д., т. е. пространст- венными ощущениями, которые его характеризуют. Этим опре- деляется как, через какую реакцию тело может быть достигнуто: нужно ли для этого протянуть руку, сделать большее или мень- шее число шагов, бросить что-нибудь и т. д. Количество ощу- 1 Статья эта была уже напечатана в журнале «The Monist», July 1902. 340 щающих элементов, которые возбуждаются внешним телом, количество мест, которые покрываются им, объем тела соответ- ствует, при прочих равных условиях, степени удовлетворения органической потребности и имеет поэтому биологическое зна- чение. Если наши зрительные и осязательные ощущения вызы- ваются сначала только поверхностью тел, то затем мощные ассоциации побуждают именно примитивного человека пред- ставлять себе больше или, как он полагает, воспринимать боль- ше, чем он действительно наблюдает. Место, замкнутое в те поверхности, которые он одни только и воспринимает, он пред- ставляет себе материально заполненным. Особенно сильно про- исходит это тогда, когда он усматривает и схватывает тела, до известной степени уже известные. Для того, чтобы сознать, что только поверхность воспринимается, необходима уже значитель- ная абстракция, которой невозможно предполагать у человека примитивного. 3. Важны в этом отношении и своеобразные типические формы объектов добычи и объектов привычных. Особые формы, т. е. особые комплексы пространственных ощущений, с которы- ми человек знакомится в своих сношениях с окружающей его средой, уже чисто физиологически охарактеризованы недву- смысленным образом. Прямая линия и плоскость, круг и шар отличаются от других форм своей физиологической простотой. Формы симметрические и геометрически подобные обнаружи- вают свою родственность уже своими чисто физиологическими свойствами. Многообразие фигур, известных нам из физиологи- ческого опыта, не мало. При занятии телесными объектами при- соединяется еще, обогащая знания, физический опыт. 4. Грубый физический опыт заставляет нас приписывать те- лам известное постоянство. Если этому не противоречат особые соображения, мы принимаем это постоянство и для отдельных признаков комплекса — «тело». Мы представляем себе постоян- ными и цвет, твердость, форму и т. д. В особенности мы считаем тело пространственно постоянным, неразрушимым. Это предпо- ложение пространственного постоянства, пространственной суб- станциональности именно и находит выражение в геометрии. Физиологически-психологическая организация уже сама по себе склонна выдвигать постоянства. Ибо общие физические посто- янства должны и в ней найти свое выражение, так как и она сама, ведь, представляет собой случай физического тела; особые же физические постоянства оказывают свое действие при при- способлении вида. Заставляя оживать образы воспринятых тел в первоначальных их формах и первоначальной их величине, па- 341 мять обусловливает узнавание этих тел и таким образом образует первую основу впечатлений постоянства. Но геометрия нужда- е±ся еще в специальном индивидуальном опыте. 5. Тело ^удаляется от наблюдателя А, быстро перемещенное из среды ГОНъ среду MNO. Для оптического наблюдателя А тело К становится при этом меньше и в общем — другой формы. Но для оптического наблюдателя В, который перемещается вместе с телом К и сохраняет по отношению к нему прежнее положение, тело достается неизмененным. Аналогичное можно сказать и о прикасающемся к телу ЛГгаптическом наблюдателе, хотя здесь и отпадает перспективное уменьшение, потому что чувство осяза- ния вообще не есть чувство, действующее на расстоянии. Вос- приятия наблюдателей А и В не должны противоречить друг другу. Это требование отсутствия противоречий становится осо- бенно настоятельным потому, что в роли А и В может быть попе- ременно один и тот же наблюдатель. Противоречия исчезают, когда приписывают телу К известные, постоянные пространст- венные свойства, не зависящие от положения его в отношении других тел. Признают, что пространственные ощущения наблю- дателя А, определяемые телом К, зависят от других пространствен- ных ощущений (от положения К в отношении к телу наблюдателя А). Но эти пространственные ощущения, определяемые телом К в наблюдателе А, не зависят от других пространственных ощуще- ний, которые характеризуют положение К относительно В или относительно FGH... MNO. В этой независимости и заключается то постоянное, о котором у нас идет речь. Таким образом основ- ная предпосылка геометрии покоится на опыте, хотя и на опыте идеализированном. 6. Чтобы упомянутый здесь опыт выступил с полной опреде- ленностью и бросался в глаза, тело ^должно быть так называемым твердым телом. Если пространственные ощущения, связанные с тремя различными чувственными ощущениями, остаются неиз- мененными, то тем самым дано неизмененное состояние всего комплекса пространственных ощущений, которые определяют- ся твердым телом. Эта определенность вызываемых телом про- странственных ощущений тремя элементами этих ощущений характеризует, следовательно, физиологию ощущений твердого тела. Это применимо как к зрению, так и осязанию. При этом определении твердости мы не думаем о физических условиях твердости, что заставило бы нас перейти в различные другие чув- ственные области, а только о факте данном в чувстве простран- ства. Мы рассматриваем здесь всякое тело как геометрически твердое, пока оно действительно имеет указанное свойство, сле- 342 довательно, и жидкость, пока ее части не перемещаются относи- тельно друг друга. 7. Хотя постоянно и с полным основанием указывают, что геометрия занимается не физическими, а только идеальными объектами, однако, с другой стороны, нельзя сомневаться, что она обязана своим происхождением интересу к пространствен- ным отношениям физических тел. Следы этого происхождения ясно видны в ней, и только принимая их во внимание, мы впол- не поймем ход ее развития. Наше знание о пространственных отношениях тел основано на сравнении вызываемых ими про- странственных ощущений. Мы приобретаем достаточный про- странственный опыт и без всяких искусственных или научных вспомогательных средств. Мы можем, например, приблизитель- но судить, вызовут ли твердые тела, которые мы воспринимаем рядом друг с другом в разных положениях и на различных рассто- яниях, приведенные последовательно в одинаковое положение, равные или неравные пространственные ощущения. Мы при- близительно знаем, может ли одно тело покрыть другое, можно ли известной палкою, лежащей горизонтально, достать извест- ной высоты. Но пространственные ощущения зависят от физио- логических обстоятельств, которые никогда не могут быть вполне тождественными для сравниваемых предметов. Строго говоря, след всякого ощущения в нашей памяти следовало бы всегда сравнивать с настоящим ощущением. Если поэтому дело идет о точном определении пространственных отношений тел друг к другу, должно найти такие признаки их, которые были бы воз- можно более независимы от неподдающихся контролю физио- логических обстоятельств. Достигается это сравнением тел с телами. Покрывает ли одно тело А другое тело В, может ли одно из них быть перенесено как раз на то место, которое занимает другое, т. е. вызывают ли оба они при равных условиях одни и те же пространственные ощущения, — все это может быть установ- лено с большой точностью. Мы считаем такие тела пространствен- но совместимыми, геометрически во всех отношениях равными. Род ощущений не имеет при этом существенного значения; речь идет здесь только о равенстве или неравенстве ощущений. Если оба тела твердые, весь опыт, полученный нами с одним более подвижным и удобным масштабом А, мы можем перенести и на другой масштаб В. К тому обстоятельству, что и невозможно, и не нужно для каждого тела пользоваться особым телом для срав- нения или масштабом, мы еще вернемся ниже. Самыми удобны- ми телами для сравнения, правда, только для грубых сравнений, и неизменяемость которых при передвижениях мы постоянно 343 наблюдаем, являются наши руки и ноги. Названия древнейших мер показывают, что первоначальные измерения производились именно шагами, локтями и т. д. С введением общепринятых условных и сохраняемых вещественных мер начинается период большей точности измерения; принцип однако остается тем же самым. Масштаб делает возможным сравнение тел, перемеще- ние которых трудно или практически невозможно. 8. Было уже указано, что наибольший интерес представляют для нас не пространственные, а прежде всего материальные свой- ства тел. Это обстоятельство обнаруживается, без сомнения, и в начатках геометрии. Объем тела инстинктивно рассматривается как количество материальных свойств и в качестве такового об- разует объект спора задолго до всякого более глубокого геомет- рического понимания. Благодаря этому, сравнение, измерение объемов получает особое значение и становится одной из пер- вых и важнейших задач примитивной геометрии. Первые измере- ния объемов производились, вероятно, при помощи мер емкости для жидкостей и плодов. Целью их, следовательно, было удобное определение количества однородной материи или совокупности (числа) однородных, однообразных (тождественных) тел. Так, вероятно, и пространство помещений для хранения запасов (кладовых) первоначально измерялось совокупностью, числом однородных тел, которые они могли вмесить. Измерение объема посредством единицы объема есть, по всей вероятности, идея гораздо более позднего происхождения и могла развиться, без сомнения, только на более высокой ступени абстракции. 9. Вероятно и поверхности первоначально измерялись сово- купностью (числом) плодов или полезных растений, посевом, который могло вместить данное поле, а иногда и работой, кото- рая для этого требовалась. Измерение поверхности посредством другой поверхности получалось здесь легко и наглядно, когда рядом оказывались поля равной величины и равной формы. При этом, конечно, не сомневались, что поле, состоящее из n полей равной величины и формы, имеет и в « раз большую хозяйствен- ную ценность. Но мы не будем низко оценивать значения этого умственного шага, если вспомним о неправильностях в измере- ниях поверхностей, которые встречаются у египтян 2 и даже еще у римских Agrimensores (землемеры) 3 . Когда персидский «сверх- человек» Ксеркс 4 захотел пересчитать свои полчища, которые 2 Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter. Papyrus Rhind. Leip- zig, 1877. M. Cantor, Die römischen Agrimensoren. Leipzig, 1875. 4 fferOdoi, VII, 22, 56, 103, 223 k 344 ему предстояло «уничтожить» и которые он бичами гнал через Геллеспонт против греков, он поступил следующим образом: 10 000 человек были тесно установлены на одном месте, послед- нее было ограждено и каждый последующий отряд войска, или скорее орды рабов, который заполнял огороженное место, счи- тался в 10 000 человек. Здесь перед нами обратное применение мысли, что поверхность измеряется совокупностью (числом) равных, тождественных, лежащих рядом друг с другом тел, по- крывающих эту поверхность. С течением времени начинают оставлять без внимания, сначала инстинктивно, а потом созна- тельно, измерение высоты этих тел, чем совершается переход к измерению поверхности посредством единицы поверхности. Ана- логичный шаг к измерению объема посредством единицы объема требует гораздо более развитого, геометрически более вышко- ленного воззрения, совершается позже и в настоящее время еще мало знаком народу. 10. Древнейшая оценка больших расстояний посредством дней или часов пути и т. д. направила, вероятно, внимание на труд, работу, время, необходимые для преодоления этих рассто- яний. Но если измеряют длину многократным наложением рук, ног, локтей, масштаба, измерительной цепи, то это, собственно говоря, есть измерение посредством перечисления равных тел, т. е. собственно опять-таки измерение объема. Странность этого взгляда в ходе нашего изложения исчезнет. Затем, сначала ин- стинктивно, а потом сознательно отвлекаются от обоих попереч- ных измерений, употребленных для измерения тел, и таким образом совершается переход к измерению длины посредством единицы длины. 11. Определяют обыкновенно поверхность как границу объ- ема. Так поверхность металлического шара есть граница между металлом и воздухом, она не принадлежит ни металлу, ни возду- ху; приписывают ей только два измерения. Аналогично с этим, линия, имеющая одно измерение, есть граница поверхности, на- пример экватор есть граница поверхности полушария. Не имею- щая измерений точка есть граница линии, например дуги круга. Движением точки образуется линия, имеющая одно измерение, движением этой линии образуется поверхность, имеющая два измерения, и движением этой последней — трехмерное телесное пространство. При развитой абстракции это воззрение не пред- ставляет никаких затруднений. Оно страдает только тем недо- статком, что не вскрывает естественного пути, которым пришли к этим абстракциям, а, напротив того, искусственно затушевы- вает его. По этой причине здесь все же чувствуется некоторая неловкость, когда с этой точки зрения приходится, например, 345 r определять меру и единицу поверхности после того, как уже по- кончено с измерением длины 5 12. Более однородное понимание получается, если рассмат- ривать всякое измерение, все равно, идет ли речь об объемах, по- верхностях или линиях, как счет пространства посредством лежащих рядом друг с другом, пространственно тождественных или, по крайней мере, рассматриваемых как таковые тел. Повер- хности можно рассматривать как телесные листы равной, посто- янной, произвольно малой, исчезающей толщины, а линии — как шнуры или нити постоянной, исчезающей толщины. Точка становится тогда небольшим телесным пространством, измере- ния которого произвольно принимаются во внимание, независимо от того, принадлежит ли она другому пространству, поверхности или линии. Употребленные для счета тела можно, в зависимости от потребности, выбирать произвольно малыми и произвольной подходящей формы. Ничто нам не мешает эти представления, полученные означенным естественным путем, обычным обра- зом идеализировать в абстракции, отвлекаясь от толщины лис- тов, изображающих поверхности, и нитей, изображающих линии. Обычное, несколько боязливое изложение основных понятий геометрии объясняется тем, что метод бесконечно малых вели- чин, освобождающий от случайных исторических, элементар- ных оков, стал обнаруживать свое действие лишь в позднюю стадию развития геометрии и что еще гораздо позже (работами Гаусса) снова была найдена свободная от предвзятых взглядов связь геометрии с науками физическими. Но совершенно непо- нятно, почему же этот более правильный взгляд теперь, по край- ней мере, не применить к элементам. Уже Лейбниц указывал, что более рационально начинать геометрические определения с тела 6 13. Мысль об измерении пространств, поверхностей и линий телами стала совершенно чуждой нашей утонченной геометрии. Однако эта мысль не есть только предтеча идеализированных методов. Она играет важную роль в психологии геометрии, и мы находим ее применения в мастерской исследователя и изобрета- теля и в поздних стадиях развития. Метод неделимых Cavalieri кажется наиболее понятным, если принять во внимание эту мысль. Согласно собственным его объяснениям нужно пред- ставлять себе подлежащие сравнению поверхности (квадратуры) заполненными произвольно многими равно отстоящими парал- лельными нитями, наподобие ткани, а подлежащие сравнению Holder, Anschauung u. Denken in der Geometrie. Leipzig, 1900, стр. 18. Письмо к Джордано (Leibniz, Mathem. Schriften, herausg. v. Gerhardt. Berlin, 1849. l Abt., I. Bd., стр. 199). 346 |