Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что
 Скачать 2.08 Mb.
|
35426. Данные опыта, взаимно связанные между собой, могут быть познаны и независимо друг от друга и, без сомнения, часто и были так находимы до установления их связи. Это не исключа- ет, чтобы впоследствии одно оказалось данным и определяемым через другое и, следовательно, из него выводимым. Так, напри- мер, если известна симметрия и однообразие прямой и плоско- сти, отсюда легко вывести, что пересечение плоскостей есть прямая линия или что две точки на плоскости могут быть связа- ны прямой линией, лежащей всецело в этой плоскости и т. д. То обстоятельство, что для таких выводов нужен только минимум едва заметных опытов, не должно вводить нас в заблуждение, будто и этот минимум совершенно'излишен и что для построе- ния геометрии достаточно лишь созерцания и рассуждения. 27. Так же как воззрительные образы прямой и плоскости становятся богаче через метрический опыт и образы круга, шара, цилиндра и т. д., и лишь через него получают симметрическое значение. Та же экономия, которая заставляет наших детей со- хранять в их восприятиях и рисунках лишь типическое, приводит и нас к схематизации и логической идеализации представлений, приобретенных из опыта. Хотя в действительности не встречаем нигде совершенной прямой или точного круга, мы предпочита- ем в мышлении отвлекаться от этих уклонений. Геометрия таким образом занимается идеалами, но идеалами, которые возникли че- рез схематизацию опытных объектов. 28. Я указывал уже в другом месте, что неправильно при эле- ментарном преподавании обращать преимущественное внима- ние только на логическую сторону геометрии и не раскрывать перед детьми источников познания, содержащихся в опыте. Американцы, над которыми сила традиции менее властвует, не- давно успешно порвали с этой системой и ввели нечто вроде эк- спериментальной геометрии, как предварительную ступень к систематическому ее преподаванию 26 29. Нельзя провести резко границы между инстинктивным, ремесленным и научным приобретением геометрических пред- ставлений. В общем можно сказать, что с разделением хозяйст- венных задач, по мере того как отдельные группы начинают 26 W.T. Campbell, Observational Geometry. New-York. 1899. — W.W. Speer, Ad- vanced Arithmetic. Boston 1899. 356 целью и профессией, приобретает сильный экономический инте- рес и связь отдельных операций измерения и начинается период научного развития геометрии, к которому мы и перейдем. 30. Взаимная зависимость измерений друг от друга получается различным образом. Раз пришли к мысли об измерении поверх- ностей поверхностями, за этим должны были последовать даль- нейшие шаги. В случае поля в форме параллелограмма, который можно разложить на равные меньшие параллелограммы так, чтобы получить n рядов по т полей в каждом, считать эти поля было излишне. Перемножив числа боковых сторон, можно най- ти, что поверхность всего поля равна т · n таких частичных по- лей, а поверхность каждого из двух треугольников, получаемых m · n пересечением диагонали, равна частичных полей. В этом заключалось первое и наиболее простое применение арифмети- ки к геометрии. Одновременно с этим бросалась в глаза зависи- мость мер поверхностей от других мер длины и углов. Поверхность прямоугольника оказывается больше, чем поверхность косоуго- льного параллелограмма с соответственно равными сторонами; поверхность зависит, следовательно, не только от длины сторон, но и от углов. Напротив, прямоугольник, построенный из полос, параллельных его основанию, можно при сохранении той же вы- соты сдвинуть в какой угодно параллелограмм, не изменяя тем его поверхности. Четырехугольник с данными сторонами еще не определен по своим углам, что знает всякий плотник. Но он прибавляет диагонали и превращает четырехугольник в треуго- льники, которые при данных сторонах вполне определенны, т. е. постоянны и в углах. Познание зависимости измерений друг от друга привело к собственной задаче геометрии. /. Steiner вполне прав, когда называет главное свое сочинение «систематическим развитием зависимости геометрических фигур друг от друга» («Sys- tematische Entwicklung der Abhängigkeit der geometrischen Gestal- ten voneinander»). В оригинальном и слишком мало оцененном элементарном учебнике геометрии SnelÎn 11 означенная задача ясно бросается в глаза даже начинающему. 31. Построим из проволок плоский телесный треугольник. Если вращать одну сторону его вокруг ее конца, увеличивая внутренний угол у этого конца, то эта сторона изменяется и вме- сте с углом растет противоположная ему сторона. Чтобы соста- 27 Snelly Lehrbuch der Geometrie. Leipzig, 1869. 357 эксперимент все же остается только копией физического. Мыс- ленный эксперимент был бы невозможен, если бы физический опыт не привел раньше к знанию пространственно неизменяе- мых физических тел 28 , к понятию меры. Через такие опыты при- шли к познанию того, что из шести измеримых величин в треугольнике (3 сторон и 3 углов) три и среди них, по меньшей мере, одна сторона достаточны для определения треугольника. Если среди этих трех определяющих величин находится только один угол, то для однозначного определения треугольника необ- ходимо, чтобы то был угол, заключенный между данными сторо- нами или лежащий против большей стороны. Если познана определимость треугольника тремя сторонами и то, что форма его не зависит от его положения, то три угла в равносторонних треугольниках и два угла, лежащие против равных сторон в рав- нобедренном, могут быть только равны, какова бы ни была вза- имная зависимость углов и сторон. Это логически неоспоримо. При всем том опытная основа здесь столь же мало излишня, как в аналогичных случаях физики. 32. Род зависимости сторон и углов сначала познается, ко- нечно, в случаях специальных. При вычислении поверхностей прямоугольников, как и треугольников, полученных из первых разрезом по диагонали, должно было броситься в глаза, что из прямоугольника со сторонами 3, 4 получается прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5. Прямоугольность оказалась связанной с определенным рациональным отношением сторон. Этим опытом пользовались для того, чтобы соединенными тре- мя шнурами длиной в 3, 4, 5 получать прямые углы 29 . Было обра- щено внимание на уравнение З 2 + 4 2 = 5 2 , которое вполне аналогичным образом оказалось правильным для всех прямоуго- льных треугольников с длинами сторон а, Ь, с (а 2 + Ь 2 = с 2 ). Общеизвестно, как глубоко это отношение проникает в гео- метрию мер, как все косвенные измерения расстояний могут быть к нему сведены. 33. Попробуем теперь исследовать основу этого отноше- ния. Здесь прежде всего следует заметить, что ни в греческих геометрических, ни в индийских арифметических выводах так 28 29 Все построение геометрии у Евклида ясно обнаруживает уже эту основу. Еще яснее она обнаруживается в упомянутой уже выше характеристике Лейбница. Мы вернемся еще к этому. Λ/. Cantor, Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1880, I, стр. 55, 56. 358 отклонение направлений, параллельные прямые -- как прямые одинакового направления. 36. Для того чтобы углы, данные нам в воззрении, охаракте- ризовать, определить геометрически, мы обладаем различными средствами. Если для двух определенных, но в прочем произво- льно выбранных точек, из которых одна лежит на одной стороне угла, а другая --на другой (обе вне точки пересечения), дано расстояние, то угол определен. С целью ввести в определение однообразие, можно выбрать расстояния этих точек от вершины раз навсегда определенной и равной величины. Этот способ определения не приобрел однако права гражданства в элемен- тах 30 , вследствие того неудобства, что при таком измерении двойному, тройному и т. д. углу, лежащему в той же плоскости и имеющему общую вершину, не соответствует двойного, тройно- го и т. д. расстояния между указанными точками. Более простую меру, более простую характеристику угла можно получить через счет частями круговой дуги или поверхностью круга, которую вырезывает угол, лежащий в плоскости круга с вершиной в цент- ре. Эта характеристика более удобная 31 . Когда мы пользуемся дугой круга для определения угла, мы собственно измеряем опять-таки объем тела особо простой формы, помещенного между двумя точками на сторонах угла на равном расстоянии от вершины. Но круг может быть охарактеризован и одними (пря- мыми) расстояниями. То, что в качестве основных мер употреб- ляются главным образом две меры, (прямая) мера длины и мера угла, и что из них выводятся все остальные меры, есть только дело большей наглядности, непосредственности и вытекающих отсюда привычки и удобства. Но это вовсе не необходимо. Так, например, можно прямую, пересекающую другую прямую под прямым углом, определить без особой меры угла сказав, что все ее точки лежат на равных расстояниях от двух точек первой пря- мой, равно отстоящих от точки пересечения прямых (фиг. 19). Подобным же образом может быть определена линия, делящая угол пополам, и через ряд таких последовательных делений угла — может быть выведена произвольно малая угловая едини- ца. Прямою, параллельною другой прямой, может быть названа 30 В тригонометрии нашел применение принцип измерения близкий к этому. 31 Так вырезанная поверхность шара служит мерой телесного угла. 361 рии, как задача арифметики состоит в определении зависимо- стей между операциями счета, между нашими упорядочивающими деятельностями. 40. Весьма вероятно, что быстрое развитие геометрии обу- словлено опытом зрения. Но знание свойств световых лучей, ко- торого мы достигли при современном развитии техники, не должно внушать мысли, будто опыт над световыми лучами есть существенная основа геометрии. Правда, лучи в воздухе, напол- ненном дымом или пылью, дают нам прекрасный наглядный об- раз прямых. Но метрические свойства прямых линий мы столь же мало можем заимствовать от светового луча, как и от представле- ния прямой. Для этого безусловно необходим опыт над телесными объектами. Натягивание нитей, применяемое геометрами-практи- ками, есть прием, без сомнения, более древний, чем применение диоптра. Но раз мы уже познали телесную прямую, световой луч может явиться весьма наглядным и удобным средством прихо- дить к новым воззрениям. Современную синтетическую геомет- рию вряд ли мог бы изобрести слепой. Древнейший же и сильнейший опыт, лежащий в основе геометрии, так же досту- пен слепому через осязание, как и зрячему. И тот и другой знает пространственное постоянство тел в их подвижности; оба при схватывании тел получают представление объема. Творец при- митивной геометрии сначала инстинктивно, а потом намеренно и сознательно отвлекался от свойств тел, не имевших значения для его операций, не интересовавших его в данный момент. Так мало-помалу развились на основе данных опыта идеализирован- ные понятия геометрии. 41. Итак, наше геометрическое познание обязано своим происхождением различным источникам. Множество простран- ственных форм физиологически нам знакомо через непосредст- венное воззрение, через зрение и осязание. С этими формами связан физический (метрический) опыт (сравнение пространст- венных ощущений, вызываемых различными телами при равных условиях), который опять-таки можно свести к связи ощущений наших чувств. Эти опыты различного порядка бывают большей частью так тесно между собою связаны, что только тщательный анализ может их разделить. Отсюда возникли столь расходящие- ся взгляды относительно геометрии. То ее сводят к чистому воз- зрению, то к физическому опыту, в зависимости от того, какой момент оценивается слишком низко или оставляется без внима- 364 42. Если спросить беспристрастного, добросовестного чело- века, как он представляет себе пространство, отнесенное, на- пример, к системе координат Декарта, он ответил бы приблизи- тельно следующее: «Я представляю себе систему твердых (опре- деленной формы), прозрачных, проницаемых, соприкасающих- ся кубов, предельные поверхности которых оттенены слабыми зрительными или осязательными представлениями, одним сло- вом, какие-то привидения кубов». Над этими-то телами-приви- дениями и сквозь них и движется действительное тело или тоже его привидение, сохраняя свое пространственное постоянство (в указанном выше смысле), когда мы занимаемся практической или теоретической геометрией или форономией. В знаменитом исследовании кривых поверхностей Гаусса, например, речь идет собственно о наложении бесконечно тонких, листообразных и, следовательно, сгибаемых тел друг на друга. Что опыты разного рода совокупно влияют на образование соответственных основ- ных представлений, отрицать невозможно. 43. Как ни многообразен был специальный опыт, послужив- ший исходным пунктом для геометрии, он все же может быть сведен к минимуму фактов: существуют подвижные тела особого пространственного постоянства, твердые тела. Подвижность же их характеризуется следующим образом. Мы проводим из одной точки три прямые, не лежащие все три в одной плоскости, в остальном же совершенно произвольные. Перемещением по трем направлениям, параллельным этим прямым, возможно из каждой данной точки достичь любой другой. Таким образом три измерения, физиологически и метрически охарактеризованные как простейшие, достаточны для всех пространственных опреде- лений. Таковы основные факты. 44. Подобно всякому другому опыту, образующему основу экспериментальной науки, физически-метрический опыт идеа- лизируется в наших понятиях. Влечет к этому потребность изоб- разить факты с помощью простых, прозрачных, логически легко усваиваемых понятий. Нет абсолютно твердого, пространственно вполне неизменяемого тела, как нет совершенной прямой линии, абсолютной плоскости, как нет совершенного газа, совершенной жидкости. Но мы охотнее и легче оперируем этими понятиями, чем другими, более точно соответствующими свойствам объек- тов, и затем принимаем в расчет отклонения. Теоретической гео- 365 между тем как физика по понятным причинам не может, напри- мер, создавать газов более совершенных, чем те, которые суще- ствуют в природе. Ибо в последнем случае дело идет не об одном произвольно создаваемом, пространственном свойстве, как в геометрии, а об отношении между давлением, объемом и темпе- ратурой, существующем в природе и от нашей воли независи- мом. 45. Выбор понятий, правда, определяется фактами, но так как он покоится на самодеятельном воспроизведении этих фак- тов в мыслях, то нашему произволу предоставлен известный простор. Важность понятий оценивается в зависимости от раз- меров области их применения. Это обстоятельство выдвигает на передний план понятие о прямой и плоскости, ибо каждый гео- метрический объект может быть, по крайней мере, с достаточ- ным приближением разложен на ограниченные элементы плос- костей и прямых линий. На какие свойства прямых линий, плос- костей и т. д. мы особенно обращаем внимание, остается делом произвольным, и это выражается в различии определений одно- го и того же понятия 34 46. Нельзя сомневаться, что основные принципы геометрии заимствованы из физического опыта, ибо само пространствен- ное созерцание, само пространственное ощущение не поддают- ся измерению, не допускают никакого метрического опыта. Но столь же несомненно и то, что, раз связь пространственного со- зерцания с простейшим метрическим опытом установлена, гео- метрические факты могут быть легко и точно воспроизводимы в представлениях, в мысленном эксперименте. Одно то обстоятель- ство, что непрерывному метрическому изменению тел соответ- ствует непрерывное изменение пространственного ощущения, делает возможным установлять мысленным экспериментом, ка- кие метрические элементы вообще зависят друг от друга. Если такие метрические элементы одинаково входят в различные по- строения разных положений, их метрические результаты рас- \ 34 Стоит сравнить, например, определение прямой у Евклида и у Архимеда. 366 Преимущество геометрического мысленного эксперимента срав- нительно с физическим заключается только в том, что первый может быть выполнен на основании более простых, более легких и почти бессознательно приобретенных опытов. Фиг. 20 47. Пространственное воззрение и пространственное пред- ставление сами по себе имеют качественный, а не количествен- ный, не метрический характер. Мы получаем в них сходства и различия протяжения, но не собственно величины. Представим себе, например, что по краю неподвижной монеты катится без трения в направлении часовой стрелки другая монета, равная первой по величине. Как бы живо мы ни представляли себе это движение, тщетна будет попытка вывести из одного этого пред- ставления угол вращения при полном обороте. Но если мы заме- чаем, что в начале движения радиусы а, а' (фиг. 20) образуют одну прямую, а после четверти оборота вокруг неподвижной мо- неты одну прямую составляют радиусы Ь, Ь', то сейчас же видим, что радиус а' направлен теперь вертикально вверх и, следовате- льно, сделал половину оборота. Таким образом мера вращения выводится из понятий метрических, фиксирующих идеализиро- ванный опыт, полученный на телесных объектах, но направление вращения устанавливается при этом созерцательным представ- лением. Метрические понятия определяют только, что равным дугам равных кругов соответствуют равные углы, что радиусы 367 48. Если я представляю себе треугольник с увеличивающим- ся углом, то вижу, что растет и противолежащая ему сторона. Отсюда получается впечатление, что эта зависимость вытекает а priori из представления. Однако представление воспроизводит здесь только факт опыта. Мера угла и мера стороны суть два фи- зических понятия, приложимые к одному и тому же факту, но столь нам привычные, что кажутся только двумя различными признаками одного и того же фактического представления и по- тому необходимо между собой связанными. И однако без физи- ческого опыта мы никогда не получили бы этих понятий. 49. Взаимодействие созерцания и идеализированного опыт- ного понятия обнаруживается при всех геометрических выводах. Рассмотрим, например, простую теорему, что три линии, пер- пендикулярные к серединам сторон треугольника ЛВС, пересе- каются в одной точке. К этой теореме привели эксперимент и созерцание. Но чем тоньше исполнено построение, тем лучше мы убеждаемся, что третий перпендикуляр не проходит вполне точно через точку пересечения двух первых и что, следовательно, при действительном построении были бы всегда находимы лишь три близкие друг другу точки пересечения. Но, ведь, в действи- тельности мы не проводим ни совершенных прямых, ни совер- шенных перпендикуляров, ни ведем их точно из середины сторон и т. д. Только при этих идеальных условиях перпендикуляр к се- редине линии AB заключает в себе все точки, равно удаленные от А и Д и перпендикуляр к середине линии ВС — все точки, равно удаленные от В и С; вследствие этого точка пересечения этих двух перпендикуляров находится на равном расстоянии от точек А, В, Си, находясь на равном расстоянии от А, С, лежит также на третьем перпендикуляре к середине линии АС. Таким образом наша теорема выражает только то, что чем точнее выполняются предпосылки, тем точнее совпадают три точки пересечения. 50. Эти примеры ясно, надеемся, показали, как важно взаи- модействие созерцания и понятия. «Мысли без содержания пус- ты, наглядные представления без понятий слепы», говорит Кант 35 . Еще лучше, пожалуй, сказать так: «Понятия без наглядных пред- ставлений (созерцаний) слепы, наглядные представления без по- нятий бессильны». Ибо не вполне правильно называть созерцание слепым, а понятия пустыми. Если далее Кант^ утверждает, что 35 Kritik der reinen Vernuft, 1787, стр. 75. 36 Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft. Vorwort. 368 пожалуй, и обо всех науках, не исключая математики, сказать, что «они суть науки только постольку, поскольку они оперируют понятиями». Ибо наша логическая власть распространяется толь- ко на понятия, содержание которых мы сами определили. 51. Факты твердости и подвижности тел достаточны, чтобы понять каждый геометрический факт, как бы он ни был сложен, т. е. чтобы вывести его из этих фактов. Но геометрии приходит- ся, и в собственных своих интересах, и в качестве науки вспомо- гательной или при преследовании практических целей, отвечать на вопросы, часто повторяющейся формы. Было бы поэтому неэ- кономно каждый новый случай анализировать с самого начала, от самых элементарных фактов. Выгоднее из некоторых про- стых, привычных и несомненных положений — выбор которых не чужд произвола — вывести ответы на наиболее часто встреча- ющиеся вопросы, в виде раз навсегда установленных теорем. С этой точки зрения становится сразу понятной форма геометрии, например значение, которое она придает своим теоремам о треу- гольниках и т. д. Для указанной цели желательно получить воз- можно более общие положения с самой широкой областью применения. История показывает, что такие положения были получены через соединение специальных познаний в познание более общее. И в настоящее время мы бываем еще вынуждены к такому процессу, когда дело идет о связи двух геометрических образов и когда специальные случаи формы и положения при- нуждают видоизменить выводы. Как один из наиболее извест- ных примеров из элементарной геометрии достаточно указать вывод отношения, существующего между центральным и впи- санным углом. Кроман* 1 задался вопросом, каким образом про- исходит то, что мы доказательству на специальной форме (для особого треугольника) приписываем общеобязательное значе- ние. Чтобы объяснить это, он принимает, что мы быстро изме- няем в мыслях фигуру, заставляя ее принимать всевозможные формы, и таким образом убеждаемся в правильности вывода во всех частных случаях. История и самонаблюдение показывают, что эта мысль в существенном правильна. Но мы не должны принимать (как это делает Кроман), что всякий индивидуум, за- нимающийся геометрией, в каждом отдельном случае «с быстро- той молнии» исполняет такой полный обзор и достигает такой ясности и силы убеждения в общем характере геометрических положений. Часто нужная операция невыполнима, а заблужде- 37 Kroman, Unsere Naturerkenntnis. Kopenhagen, 1883, стр. 74 и след. 13 Познание и заблуждение 369 38 . Но то, чего индивидуум не делает или не может сделать в одно мгно- вение, он может сделать в течение всей своей жизни. Целые по- коления работают над поверкой геометрии, и эта коллективная работа тоже усиливает убеждение в ее правильности 39 . Я знавал одного во многих отношениях превосходного учителя, который заставлял своих учеников производить все доказательства на не- правильной фигуре, ибо полагал он, дело вообще не в фигуре, а лишь в логической связи понятий. Но фиксированные в поняти- ях данные опыта связаны с данными воззрения. И какие поня- тия применимы в том или другом случае, может научить нас только фигура, данная в воззрении или представлении. Метод этого учителя очень удобен для того, чтобы показать роль в по- знании логических операций. Но тот, кто постоянно применяет такой метод, наверное упускает из виду, что понятия черпают свою силу в чувственности. Мнение, что новое познание может быть раз навсегда при- обретено в течение нескольких минут, при помощи удачно постро- енных силлогизмов, не подтверждается точно установленными фактами. Оно неверно ни по отношению к отдельному учащему- ся или исследователю, ни по отношению к какому-нибудь народу или человечеству, ни в отношении к геометрии, ни в отношении к какой-либо другой науке. Напротив, история науки показывает, что новое, правильное познание, покоящееся на верных осно- вах, может то больше, то меньше затемняться, может выступать в односторонней, неполной форме, для одной группы исследо- 38 Holder, Anschauung und Denken in der Geometrie. Leipzig, 1900, стр. 12. 39 Gerken, высказывающийся в своей программной статье «Die philosophischen Grundlagen der Mathematik» (Perleberg 1887, стр. 27) в том же духе, что и Кро- ман, ссылается при этом на Бенеке. Последний во многих местах своего сочи- нения «Logik als Kunstlehre des Denkens» подробно разбирает вопрос о математическом познании, как, например, в томе II на стр. 51 и след. На стр. 52—53 он говорит: «Прежде всего нет сомнения, что такое бесконечное срав- нение действительно может быть совершено; в некоторых случаях это может быть даже непосредственно, наглядно показано. Возьмем приведенное выше геометрическое положение (о сумме углов в треугольнике). Если я вращаю в круге вершину треугольника, лежащую против продолженного основания его и при этом (вращая таким же образом вспомогательные линии и весь чер- теж) наглядно показываю, что означенное соотношение существует во всех положениях треугольника и (что с этим непосредственно связано) при всех отношениях его величин, то спрашивается, сравнил ли я при этом конечное или бесконечное число случаев?» О сомнительной «быстроте молнии» у Бене- ке нет однако и речи. — См. также несколько иные рассуждения на эту тему у С. Siegel, Versuch einer empiristischen Darstellung der räumlichen Grundgebilde u. s. w. (Vierteljarschr. f. wiss. Philosophie, 1900, в особенности стр. 203). 370 Однократного нахождения и провозглашения какого-нибудь по- знания бывает недостаточно. Часто проходят года и даже столе- тия, пока общее мышление разовьется настолько, чтобы оно могло стать общим достоянием и укрепиться. Этот факт особен- но хорошо освещен в глубоких исследованиях Дюгема 40 об исто- рии статики. 40 Duhem, Les origines de la statique. Paris. 1905, в особенности Т. I, стр. 181 и след. 13* 371 |