Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
длина всех нитей может тогда служить мерой поверхностей, а общая поверхность всех листов — мерой объе- мов, причем в точности можно идти как угодно далеко. При до- статочно густом расположении и выборе подходящей формы число равноотстоящих равных тел может в такой же мере давать измерительные числа для поверхностей и пространств, как число тождественных тел, которые абсолютно покрывают поверхности или абсолютно густо наполняют пространства. Если представить себе, что эти тела сжимаются в линии (прямые) и в поверхности (плоскости), то получается деление поверхностей на элементы поверхности и деление пространств на элементы пространства, т. е. обычное измерение поверхностей поверхностями и про- странств пространствами. Недостаточное изложение Cavalieri, мало приспособленное к уровню развития современной ему гео- метрии, вызвало очень суровые приговоры историков геометрии над его прекрасными и плодотворными идеями 7 . Если еще Гелъ- мголъц в своей выдающейся юношеской работе 8 , в момент пере- веса фантазии над критикой, рассматривает поверхность как сумму лежащих в ней линий (ординат), то это показывает, как глубоко в нас засело первоначальное естественное воззрение и как легко оно каждый раз снова возрождается 9 Weissenborn, Prinzipien der höheren Analysis in ihrer Entwicklung. Halle, 1856. — Gerhardt, Entdeckung der höheren Analysis. Halle, 1855, стр. 18 и след. — M. Cantor, Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1892, II Bd. Helmholz, Erhaltung der Kraft. Berlin, 1847 стр. 14. Для читателей, далеких от геометрии, мы объясним метод Cavalieri простым примером. Представим себе, что мы из блока бумажных листов вырезываем прямой цилиндр с горизонтальным круглым основанием и вписываем в цилиндр конус с тем же основанием и той же высотой. В то время, как все листы, вырезанные цилиндром, равны, листы, принадлежащие конусу, увеличиваются пропорционально квадратам удаления от вершины. Из эле- ментарной геометрии мы в данном случае узнаем, что объем конуса есть третья часть объема цилиндра. Отсюда сейчас же получается квадратура па- раболы. Около части параболы описывается прямоугольник, проходящий через ось ее, касательную к вершине, и соответствующие противоположные стороны. Если представить себе этот четырехугольник покрытым системой нитей, параллельных к х, то в каждой из нитей, параллельных стороне χ прямоугольника, часть нити, лежа- щая вне отрезка параболы, пропор- циональна у". Поэтому поверхность, у находящаяся вне отрезка параболы, относится к поверхности всего пря- моугольника как 1:3, т. е. так, как объем конуса относится к объему ци- линдра. X 347 14. Итак, общий опыт свидетельствует, что существуют по- движные тела, которым, несмотря на их подвижность, должно приписать пространственное постоянство в изложенном выше смысле, — свойство, остающееся тождественным и образующее основу всех понятий о мерах. Но, кроме того общего опыта, на- копляется — сначала инстинктивно, а потом, при профессиона- льном занятии геометрией, и сознательно — еще разнообразный специальный опыт, полезный для геометрии. Так как этот опыт отчасти получается в неожиданной форме, отчасти согласуется с собою, но отчасти же при неосмотрительном применении его обнаруживает как будто парадоксальные противоречия, то он смущает наше мышление и побуждает отыскивать для него сис- тематическую, логическую связь. К изучению этих процессов мы теперь и обратимся. 15. Если бы нам и не было известно замечание Геродота 10 , в котором он сводит происхождение геометрии к измерению по- лей египтянами, и если бы сообщение Эвдема о первоначальной истории геометрии, известное в извлечении Прокла, совершенно затерялось 11 , мы все же не могли бы сомневаться в донаучной стадии развития геометрии. Первые геометрические воззрения были получены случайно и без специальных исследований, пу- тем ремесленного опыта при различных занятиях. Произошло это в то время, когда научный дух, интерес к связи, существую- щей между различными элементами этого опыта, был еще очень мало развит. Это ясно заметно даже в нашей скудной истории начатков геометрии, но еще яснее видно из общей истории куль- туры, доказывающей существование ремесленных геометриче- ских приборов в такую раннюю и варварскую эпоху, для которой существование научных стремлений допустить невозможно. 16. У всех диких племен мы находим плетеные работы, в которых, как и в их рисунках, картинах и резных изделиях, пре- обладают орнаментальные мотивы, состоящие из простейших геометрических форм. Объясняется это тем, что именно эти мо- тивы соответствуют, как рисунки наших детей, упрощенному, типическому, схематическому представлению объектов, которые За естественность взгляда Cavalieri говорит то, что и пишущий настоящие строки, будучи гимназистом и слыша о высшей геометрии, но ничего в ней не зная, пришел к сходным воззрениям, что, конечно, в XIX столетии было уже нетрудно. С помощью этих воззрений, он сделал много маленьких — ра- зумеется, давно известных — открытий, нашел теорему Gw/c/m'a, вычислил несколько тел вращения Кеплера и т. д. Herodot, II, 109. James Gow, History of Greek mathematics: Cambridge, 1884, стр. 134. 348 Фиг. 11 они желали воспроизвести, а с другой стороны именно такие мо- тивы всего легче могли быть осуществлены при помощи перво- бытных инструментов. Такой орнамент, состоящий из ряда треугольников одинаковой формы, но разным образом поверну- тых, или из ряда параллелограммов (фиг. 11), легко приводит к наблюдению, что сумма трех углов треугольника образует два прямых угла. Это наблюдение не могло ускользнуть и от зани- мавшихся глиняными и каменными работами ассирийцев, егип- тян, китайцев, греков и т. д., когда они из разноцветных камней одинаковой формы составляли свои обычные мозаики. Положе- ние пифагорейцев, что плоскость вокруг точки вполне заполняется шестью равносторонними треугольниками, четырьмя квадратами и тремя правильными шестиугольниками, указывает на такой же источник познания 12 . Тот же источник обнаруживается и в древ- нем греческом доказательстве суммы углов любого треугольника разделением его на прямоугольные треугольники (проведением высоты) и дополнением полученных частей до прямоугольни- ков 13 . Подобный же опыт получается при различных других слу- чаях. Землемер, например, обходит многоугольный участок зем- ли. Вернувшись к первоначальному пункту своего пути, он находит, что сделал полный оборот в четыре прямых угла. В слу- чае треугольника из шести прямых углов (фиг. 12), образован- ных при всех трех вершинах на внутренних сторонах трех сторон, остается еще, после вычитания трех углов поворота а, Ъ, с, два прямых для суммы внутренних углов. Такой вывод мы находим у Thibaut^', современника Гаусса. Если чертежник, чтобы описать треугольник, вращает линейку последовательно к сторонам со- ответствующего внутреннего угла и в том же направлении, то, прибыв обратно к первой стороне, он находит, что сторона ли- нейки, которая до вращения лежала на наружной стороне треу- гольника, после вращения лежит на внутренней его стороне (фиг. 13). Описывая внутренний угол в своем вращении в одном 12 Теорему эту Прокл приписывает пифагорейцам, см. Gow, History, стр. 143. 13 Hankel, Geschichte der Mathematik. Leipzig 1874, стр. 96. Thibaut, Grundriss der reinen Mathematik. Göttingen, 1809, стр. 177. — Возмож- ные возражения против этого вывода, как и последующих, мы оставляем пока без внимания. 349 Фиг. 12 Фиг. 13 и том же направлении, линейка при этой процедуре совершила половину оборота 15 . Тейлор 1 ** замечает, что к тому же опыту могут привести складки какой-нибудь материи или бумаги. Если сло- жить треугольный кусок бумаги указанным на фиг. 14 образом, то получается двойной четырехугольник, двойная поверхность которого соответствует, следовательно, поверхности треугольни- ка. Сумма углов, совпадающих у точки а, равна двум прямым уг- лам. Хотя этим способом и достигаются весьма удивительные результаты, тем не менее вряд ли можно допустить, что эти про- цедуры имели исторически плодотворное значение для развития геометрии. Этот материал имеет слишком ограниченное приме- нение и занятые им рабочие слишком мало вынуждены к точно- му наблюдению 17 Фиг. 14 17. Итак, познание, что сумма углов в плоском треугольнике составляет определенное количество, именно равно двум пря- мым, получено путем опыта, не иначе, чем, например, правило 15 Заметил это и автор при черчении. 16 Tylor, Einleitung in das Studium der Anthropologie. Braunschweig, 1883, стр. 383. 17 См. Z B. Sundara Row, Geometrie Exercises in Paper-Folding. Chicago, 1901. 350 рычага или закон Бойля — Мариотта. Конечно, одним глазоме- ром или даже измерением с помощью самых лучших инструмен- тов нельзя узнать того, что сумма углов абсолютно равна двум прямым. Но так же обстоит дело и с правилом рычага и с зако- ном Бойля — Мариотта. Все эти положения представляют идеали- зированный схематический опыт, ибо измерения всегда обнаружат небольшие отклонения от них. Но в то время как закон Бойля — Мариотта при дальнейших опытах скоро оказывается законом, установленным приблизительно, и нам приходится его видоиз- менять, чтобы точнее изобразить факты, правило рычага и тео- рема о сумме углов треугольника до того точно сходятся всегда с фактами, как только можно ожидать при неизбежных ошибках опыта, и то же самое можно утверждать обо всех выводах, для которых они служат предпосылками. Фиг. 15 18. Когда во время мощения треугольники равные и одина- ковой формы располагаются своими сторонами рядом друг с другом по одним прямым (фиг. 15), это опять может привести к весьма важному геометрическому познанию. При перемеще- нии треугольника в плоскости и вдоль прямой линии (т. е. без вращения) все точки его и, следовательно, все крайние точки описывают равный путь. Таким образом одна и та же крайняя прямая дает в обоих положениях треугольника пару прямых ли- ний, все точки которых находятся друг от друга на равном рас- стоянии. В то же время операция эта обеспечивает равенство углов с линией передвижения на той же стороне обеих прямых перемещаемой пары. Таким образом сумма внутренних углов, прилегающих к той же стороне линии передвижения, определя- ется как равная двум прямым. Этим получается теорема Евкли- да о параллельных линиях. Необходимо еще прибавить, что возможность осуществлять такой способ мощения на произво- 351 льно большом расстоянии могла дать особенно почувствовать рассматриваемое здесь познание. Перемещение треугольника вдоль линейки осталось до настоящего времени самым про- стым и естественным способом проводить параллельные ли- нии. Вряд ли необходимо еще прибавлять, что теоремы о сумме углов треугольника и о параллельных линиях взаимно связаны между собой, представляя только различные формы одного и того же опыта. 19. Упомянутые выше каменщики легко должны были усмот- реть, что правильный шестиугольник можно получить из равно- сторонних треугольников. Сразу были получены простейшие случаи деления круга, деление его на шесть частей радиусом, де- ление на три части и т. д. Из цилиндрического древесного ствола можно вследствие всесторонней симметрии круга бесконечно многообразными способами вырезать бревно с прямоугольным симметричным поперечным разрезом, грани которого лежали бы в поверхности цилиндра, что плотник находит почти инстин- ктивно, без всяких соображений. Диагонали прямоугольника должны при этом проходить через центр круга. По мнению Ган- келя 1 * и Тейлора 19 , этим путем, вероятно, было впервые узнано, что угол, лежащий в полукруге, есть прямой. 20. Натянутая нить дает нам своеобразное воззрение пря- мой линии. Последняя характеризуется ее физиологической простотой. Все части ее обусловливают одинаковое ощущение направления, каждая точка вызывает ощущение средины про- странственных ощущений соседних точек, каждая часть, как бы она ни была мала, похожа на какую угодно большую часть. Этой физиологической характеристики мало, конечно, геомет- ру, но она оказала влияние на определение прямой у многих геометров 20 . Чтобы стать геометрически пригодным, нагляд- ный образ должен однако быть обогащен физическим опытом над телесными объектами. Пусть веревка привязана одним концом у А, а другой конец продет у В через кольцо. Если тя- нуть за этот конец, мы видим, как у В появляются части верев- ки, которые раньше лежали между А и В, вся же веревка приближается при этом к форме прямой. Чтобы получить меж- ду А и В прямую, нужно*меньшее число равных частей веревки, тождественных ее телец, чем для того, чтобы получить между ними кривую. Неверно утверждение, будто прямая познается 18 Hankel, Gesch. d. Mathemat, стр. 206-207. 19 Tylor, ibid. 20 Euklid, Elemente. I. Def. 3. 352 нами как кратчайшее расстояние через одно только воззрение. Правда, можно правильно и надежно воспроизвести в пред- ставлении одновременное изменение формы и длины веревки, но это есть оживление прежнего опыта над телами — мыслен- ный эксперимент. Одно только неподвижное созерцание про- странства никогда не могло бы привести к такому познанию. Измерение есть опыт с телесной реакцией, эксперимент совме- щения. Созерцаемые, представляемые линии различных на- правлений и длины вообще невозможно прямо накладывать друг на друга. Возможность такого приема должна быть испы- тана на чем-либо материальном, что считается неизменным. Если иногда приписывается даже животным инстинктивное знание о прямой как кратчайшем расстоянии, то это ошибка. Если на животное действует какое-нибудь притягивающее его раздражение и под действием его животное повертывается так, что его плоскость симметрии проходит через раздражающий объект, то прямая линия есть здесь путь движения животного, однозначно определяемый раздражением. Это ясно вытекает из исследований Лёба о тропизмах у животных. 21. Что две стороны треугольника больше третьей, учит нас не одно воззрение. Если две стороны треугольника накладывать на третью, вращая их около углов, прилежащих к основанию, мы действительно уже в представлении видим, что эти стороны, двигаясь свободными концами по окружности, наконец, ча- стью покрывают друг друга, т. е. заполняют больше, чем третья сторона. Но кто ни разу не видел этого с телесными объектами, тот не будет иметь и такого представления. Искусственным пу- тем Евклид 21 выводит то же познание из того, что в треуголь- нике большая сторона связана с большим противолежащим углом. Настоящим источником познания является здесь опыт движения телесной стороны треугольника; он только старате- льно прикрыт здесь, и не в пользу ясности и краткости, формой вывода. 22. Упомянутыми опытами свойства прямых не исчерпыва- ются. Если проволоку любой формы положить на два гвоздя, укрепленных в доске, и перемещать при постоянном соприкос- новении с гвоздями, форма и положение частей проволоки, нахо- дящихся между гвоздями, постоянно изменяются. Чем проволока будет прямее, тем меньше становится это изменение. Прямая проволока перемещается при этом процессе в себе самой. Вра- щаемая вокруг двух своих неподвижных точек, кривая проволока 21 Euklid, Elemente, i. Prop. 20. 12 Познание и заблуждение 353 постоянно изменяет свое положение, тогда как прямая сохраняет всегда одно и то же положение, вращается в себе самой 22 . Поэ- тому, если мы определяем прямую линию как такую линию, ко- торая вполне определяется двумя своими точками, то в этом понятии не заключается ничего кроме идеализации полученного указанным опытом представления, которое с (физиологиче- ским) воззрением далеко еще не дано. 23. Подобно прямой линии и плоскость физиологически уже характеризуется своей простотой. Она является везде одина- ковой 23 . Каждая точка ее вызывает ощущение середины между пространственными ощущениями соседних точек. Каждая ма- лая часть ее похожа на любую большую. Но для того чтобы все это получило геометрическое значение, должен присоединиться опыт над телесными объектами. Подобно прямой линии плос- кость физиологически симметрична, когда лежит в средней ли- нии или к ней перпендикулярна. Но для того чтобы можно было симметрию признать постоянным геометрическим свойством плоскостей и прямых линий, они должны быть даны уже как по- движные, неизменяемые, телесные объекты. Связь физиологи- ческой симметрии с метрическими свойствами нуждается и в особом метрическом доказательстве. 24. Чтобы получить телесную плоскость, шлифуют три тела друг другом до получения трех поверхностей А, В, С, накладыва- ющихся друг на друга, что (как видно на фиг. 16) невозможно для поверхностей выпуклых или вогнутых, а возможно только для плоских поверхностей. При трении именно исчезают выпук- лые и вогнутые места. Подобным же образом можно с помощью несовершенной линейки получить более совершенную прямую, поступая так: приложив линейку концами к точкам А, В и прове- дя линию, вращают ее плоскость на 180° и, снова приложив к точкам А, В, проводят линию; средняя линия между двумя про- веденными будет более совершенной прямой, с которой можно повторить тот же прием. Раз шлифовкой тел получена плос- кость, т. е. поверхность, которая везде и на обеих сторонах имеет ту же форму, то открываются дальнейшие опыты. Две такие плоскости, наложенные друг на друга, показывают, что плос- 22 23 Лейбниц в письме к Джордано, отпечатанном в его математических сочинени- ях (Leibnizens math. Schriften, herausgegeben von Gerhardt, Berlin 1849, I. Abt., Bd. 1. Стр. 195, 196) пользуется последним свойством для определения пря- мых линий. Способность перемещаться в себе самой прямая линия разделяет с кругом и спиралью кругового цилиндра. Вращение в себе самой и опреде- ляемость двумя точками суть свойства, исключительно ей принадлежащие. См. Euklid, Elemente I. Definition 7. |