Что своими аналогичными опытами ему удалось доказать про тивное, на что
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
отношение можно рассматривать с точ- ки зрения величины и направления, и тогда оказалось, что v-1 есть среднее пропорциональное направления между +1 и —1. Если бы шесть основных цветовых ощущений были совершенно независимы друга от друга, то система цветовых ощущений представляла бы многообра- зие пяти измерений, но так как они образуют три пары противоположных цветов, то эта система соответствует многообразию трех измерений. 378 нат какой-нибудь точки, элемента этого многообразия можно рассматривать выражения формы — или а' например log —- . Но при выборе определения расстояния или других понятий, аналогичных геометрическим, пришлось бы посту- пать весьма произвольно, если бы опыт о соответственном мно- гообразии не учил нас, что известные метрические понятия имеют реальное значение и поэтому должны быть предпочита- емы. Так обстоит, например, дело в геометрическом простран- стве с вытекающим из постоянства объема тел определением 10 элемента расстояния — ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 , a в звуковых ощу- щениях — с упомянутым уже выше логарифмическим выраже- нием. В большинстве случаев подобных искусственных построений отсутствуют такие опорные пункты, и все исследо- вание оказывается поэтому бесплодным. Аналогия с простран- ством теряет вследствие этого в полноте, плодотворности и полезности. 11. Риман развил мысли Гаусса еще и в другом направле- нии, исходя из исследования последнего относительно кривых поверхностей. Меру кривизны данной поверхности в данной точке Гаусс 11 выразил через К = —, где ds обозначает элемент ds исследуемой поверхности, а АУ — элемент поверхности сферы, принятой за 1, предельные радиусы которого параллельны пре- дельным нормалям элемента ds. Эта мера кривизны может так- же быть выражена в форме К = , где p l 5 p 2 обозначают P i * Р 2 главные радиусы кривизны исследуемой поверхности в данной точке. Особый интерес представляют поверхности, мера кри- визны которых имеет во всех точках одно и то же значение, по- верхности с постоянной мерой кривизны. Если представлять поверхности как бесконечно тонкие, нерастяжимые, но сгибае- мые тела, то поверхности с равной мерой кривизны могут при сгибании быть наложены друг на друга; так, например, можно плоский лист бумаги обернуть вокруг цилиндра или конуса, но этот лист бумаги не может быть наложен на поверхность шара. При этой деформации и даже при любом сгибании измеритель- ные отношения длин и углов фигур, начерченных в поверхно- 10 См. стр. 359. 11 Disquisitiones générales superficies curvas. 1827. 379 сти, остаются без изменения, если только при измерении не выходить из двух измерений поверхности. Мера кривизны по- верхности вовсе не зависит от формы последней в третьем из- мерении пространства, а только от ее внутренних измерительных отношений. Отсюда Риман пришел к мысли распространить по- нятие меры кривизны на пространство трех и больше измере- ний. В соответствии с этим он допускает возможность конечных беспредельных пространств с постоянной положительной ме- рой кривизны, соответственно беспредельной, но конечной шаровой поверхности двух измерений, между тем как, по наше- му обычному представлению, бесконечное пространство соот- ветствует бесконечной плоскости с мерой кривизны равной нулю; наконец, третий род пространства соответствовал бы по- верхностям с отрицательной мерой кривизны. Фигура, начер- ченная на поверхности некоторой постоянной кривизны, может быть перемещена без искажения только на этой поверхности; например, сферическая фигура может перемещаться только на этой сфере, и плоская фигура — только в плоскости. Нечто по- добное должно, по мысли Римана, существовать и для телесных фигур, для твердых тел. Как это далее развил Гелъмголъц^, по- следние могли бы свободно передвигаться только в пространст- вах с постоянной мерой кривизны. Как кратчайшие линии в плоскости бесконечны, на поверхности же шара имеют, как бо- льшие круги сферы, некоторую конечную длину и замкнуты (при продолжении возвращаешься к исходной точке), так Ри- ман представляет себе конечным, но беспредельным то, что в трехмерном пространстве положительной кривизны аналогич- но прямой линии и плоскости. Но здесь встречается некоторое затруднение. Если бы существовало понятие меры кривизны для четырехмерного пространства, то переход к более специа- льному случаю трехмерного пространства был бы понятен. Но переход от специального к более общему случаю заключает в себе нечто произвольное, и вполне естественно, что различные исследователи пошли здесь различными путями 13 (Риман, Kro- necker). Уже одно то обстоятельство, что для одномерного про- странства — любой крисой линии не существует меры кривизны в смысле ее внутренней меры и что эта мера кривизны является лишь в двумерном пространстве, возбуждает в нас во- 12 Über die Tatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Göttinger Nachrich- ten, 1868, 3 Juni. 1 См. напр. Kronecker, Über Systeme von Funktionen mehrerer Variablen. Ber. d. Berliner Akademie, 1869. 380 прос, имеет ли вообще то, что аналогично этому в трехмерном пространстве, какой-нибудь смысл, и в каких пределах? Не впадаем ли мы здесь в иллюзию, оперируя с символами, кото- рым, может быть, вообще ничего действительного не соответ- ствует, во всяком случае ничего наглядного, чем мы могли бы проверять и исправлять наши понятия? Мы дошли теперь до высших и наиболее общих идей о про- странстве и его отношениях к аналогичным многообразиям, ко- торые возникли из взгляда Гаусса на эмпирическое обоснование геометрии. Но развитие этого взгляда имеет двухтысячелетнюю историю, основные факты которой нам удастся, может быть, лучше обозреть с высоты, на которой теперь стоим. 12. Наивные люди, приобретавшие с масштабом в руках первые геометрические познания, придерживались простейших телесных образов — прямой линии, плоскости, круга и т. д. — и исследовали связи измерений на формах, которые можно было рассматривать как комбинации этих простых образов. От них не мог ускользнуть тот факт, что подвижность тела ограничивается, если закрепить одну, затем две точки его, а при закреплении трех точек возможность перемещения совершенно исчезает. Наблю- дая в отдельности вращение вокруг оси, вокруг двух точек или вращение в плоскости вокруг одной точки, как и перемещение при постоянном соприкосновении двух точек с прямой линией и третьей точки — с некоторой неподвижной плоскостью, про- ходящей через эту прямую, учились различать чистое вращение, чистое перемещение и движение, комбинированное из этих двух независимых движений. Первая геометрия, естественно, не была основана на чисто-метрических понятиях, а находилась под си- льным воздействием физиологического момента, созерцания 14 Этим объясняется появление двух различных основных мер: (прямой) длины и угла (круговой меры). Прямая понималась как твердое подвижное тело (масштаб), а угол — как вращение прямой около другой прямой (измеряемое описанной при этом дугой). Никто, конечно, не требовал особого доказательства равенства описанных этим вращением вертикальных углов. И другие тео- ремы об углах получались весьма просто. Если мы вращаем пря- мую b (фиг. 21) около точки пересечения ее с прямой до совпадения с этой последней, описывая угол а, и затем вращаем ту же линию около точки пересечения ее с прямой а до совпаде- ния с этой последней, описывая угол β, то линия b от первонача- льного своего положения до конечного в а делает поворот на См. стр. 338, 360. 381 Фиг. 21 Фиг. 22 угол м; отсюда внешний угол и = а+ ß, a так как и + γ= 2Л, то и α+ β+ γ= 2R 15 . Если (фиг. 22) перемещать неподвижную систему пересекающихся в точке 1 прямых a f b, с в их плоскости до точки 2 так, чтобы прямая а не меняла своего положения, то при этом чистом перемещении ни один угол не меняется. Сумма внутрен- них углов возникающего при этом треугольника 1 2 3 очевидно равна 2R. То же рассуждение освещает и свойства параллельных линий. Какие-нибудь сомнения вроде тех, действительно ли эк- вивалентно последовательное вращение вокруг многих точек вращению вокруг одной точки, существует ли вообще чистое пере- мещение — сомнения, которые оказываются совершенно основа- тельными, если вместо (Евклидовой) плоскости взять поверхность с кривизной, отличной от нуля, — не могли, конечно, возник- нуть на этой ступени у наивного исследователя, открывшего эти отношения. Рассмотрение движений твердых тел, которого Евк- лид тщательно избегал и вводил только в скрытом виде в прин- ципе совмещения, еще и в настоящее время является самым целесообразным средством при элементарном преподавании гео- метрии. Наилучший путь для усвоения учащимися знаний есть тот, которым эти знания были некогда добыты. 13. Здоровое, наивное понимание исчезло и в обработке гео- метрии произошли существенные изменения, как только она С. R. Kosack, Beiträge zu einer systematischen Entwicklung der Geometrie aus der Anschauung. Nordhausen, 1852. — Работу эту любезно доставил мне профес- сор F. Pietzker в Нордгаузене. — Подобные же простые выводы можно найти у Bernharde Beckefb (Leitfaden für den ersten geometrischen Unterricht in der Geometrie. Frankfurt a. M., 1874) и в другой работе того же автора: Über die Methode des geometrischen Unterrichts. Frankfurt a. M. 1845. — Первую из этих работ я получил благодаря любезности М. Шустера в Ольденбурге. 382 стала предметом мышления ученых специалистов. Прежде всего оказалось необходимым для удобства собственного обзора при- вести знания в систему, отделить непосредственно познанное от выводимого и выведенного и ясно указать ход вывода. В целях преподавания были поставлены во главу простейшие знания, легче всего поддающиеся усвоению и не подлежащие, как каза- лось, сомнению и отрицанию, и на них обоснованы другие. Эти основные положения старались ограничить самым необходи- мым, как мы то видим в системе Евклида. При этом стремлении обосновать каждое знание на другом и только самое немногое предоставить непосредственному познанию, геометрия посте- пенно отрывалась от той эмпирической почвы, на которой она зародилась. Привыкли знание, полученное путем выводов, це- нить выше знания, полученного из непосредственного воззре- ния, и, наконец, стали требовать доказательств для положений, в которых никто серьезно не сомневался. Так возникла --по преданию, в ограждение от нападок софистов — логически со- вершенная, законченная система Евклида. Но при этом искусст- венном нанизывании положений на произвольно выбранную нить вывода не только были намеренно скрыты пути исследова- ния, но и остались неотмеченными многократные органические связи геометрических учений 16 . Система скорее способна была воспитывать боязливо бесплодных педантов, чем плодотворно и производительно работающих исследователей. Положение дела ничуть не улучшилось, когда схоластика, предпочитавшая рабски комментировать продукты чужого ума, приучила людей к весьма малой чувствительности относительно рациональности основных допущений, но зато к тем большему вниманию к логической форме вывода. От этого настроения болсе или менее страдает вся эпоха от Евклида вплоть до Гаусса. 16 Система Евклида подкупала своими логическими преимуществами, вследст- вие чего оставались незамеченными недостатки ее в иных отношениях. Вели- кие исследователи вплоть до современной эпохи увлекались примером Евклида и в ущерб науке при изложении результатов своих исследований старались скрыть пути этих последних. Но науке не соответствуют искусственные при- емы адвокатов. Научно изложение, в котором все мотивы мыслей так изложе- ны, что значение и правильность их могут быть всегда проверены. Учащегося не следует вводить в науку с полузакрытыми глазами. Вследствие этого среди философов и дидактиков Германии явилась здоровая реакция, исходившая главным образом от Гербарта, Шопенгауэра и Тренделенбурга. Это течение старалось ввести в преподавание большую наглядность, более генетический метод и логически более прозрачные выводы. См. современные сочинения: M. Pasch (Vorlesungen über neuere Geometrie. Leipzig, 1882), D. Gilbert (Grund- lagen der Geometrie. Leipzig, 1899). 383 14. Среди положений, на которых Евклид построил свою си- стему, находится так называемое пятое требование (обозначен- ное так же, как 11 аксиома): «две прямые, пересеченные третьей таким образом, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону секущей, меньше двух прямых углов, при достаточном продолжении пересекаются на этой стороне». Евклиду легко уда- ется доказать, что две прямые, образующие с третьей, секущей равные соответственные углы, не пересекаются, параллельны. Но обратное положение, что две параллельные образуют со вся- кой секущей равные соответственные углы, ему приходится уже обосновать на пятом требовании. Это обратное положение рав- нозначуще с положением, что через точку можно провести к прямой только одну параллельную ей. Так как с помощью этого обратного положения доказывается, что сумма углов треуголь- ника равна 2R, и так как из этого последнего положения опять-та- ки вытекает первое, то этим ясно обнаруживается связь назван- ных положений и выясняется фундаментальное значение пятого требования для геометрии Евклида. 15. Пересечение слабосходящихся прямых лежит за предела- ми построения и наблюдения. Понятно поэтому, что последова- тели Евклида, приученные им к строгости логических выводов, ввиду важности утверждения, заключающегося в пятом требова- нии, уже в античную эпоху старались доказать это утверждение или заменить его положением, непосредственно очевидным. От Евклида вплоть до Гаусса было предпринято множество бесплод- ных попыток вывести содержимое пятого требования из осталь- ных допущений Евклида. Зрелище чрезвычайно возвышенное: движимые исключительно чистым стремлением к научному вы- яснению, люди на протяжении многих столетий занимаются отыскиванием источника познания, в правильности которого ни один теоретик и ни один практик на самом деле не сомневался серьезно вплоть до настоящего дня. С напряжением мы следим за этими настойчивыми проявлениями этической силы научного стремления и с радостью наблюдаем, как неудачи мало-помалу приводят исследователей к мысли, что только опыт есть истин- ная основа геометрии. Проследим это развитие на нескольких примерах. 16. К исследователям, имеющим большие заслуги в учении о параллельных линиях, принадлежат итальянец Saccheri и немец- кий математик Lambert. Чтобы ясно показать способ, которым оба они приступают к этому вопросу, заметим предварительно, что существование прямоугольников и квадратов не может быть доказано без помощи пятого требования, хотя нам и кажется, 384 в > Фиг. 23 что мы постоянно наблюдаем их. Рассмотрим, например, два равные, равнобедренные и прямоугольные у А и D треугольника ABC к ОВС(фит. 23), сложенные гипотенузами ВСтак, что обра- зуют равносторонний четырехугольник ABCD. Для определения рода и величины обоих равных (прямых) углов у В и С недоста- точно первых 37 теорем Евклида. Мера длины и мера угла по су- ществу своему различны и их невозможно прямо сравнивать; поэтому первые теоремы относительно связи сторон и углов тре- угольника имеют только качественный характер; поэтому здесь безусловно необходима количественная теорема об углах, вроде, например, теоремы о сумме углов в треугольнике. Заметим еще, что можно дать аналогичные 27 теоремам планиметрии, столько же теорем для шаровой поверхности и поверхностей постоянной отрицательной кривизны и что тогда аналогичные построения углов у В и С дадут тупой угол для первой поверхности и острый — для второй. 17. Главная заслуга Saccheri 17 заключается в форме поста- новки у него проблемы. Если пятое требование содержится уже в остальных допущениях Евклида, то и без него должна существо- вать возможность доказать, что в четырехугольнике ABCD (фиг. 24) с прямыми углами в А и В и при условии AC— BD углы в С и D суть прямые. И напротив, допущение, что Си D суть углы тупые или острые, должно в этом случае привести к противоречиям. Saccheri таким образом старается выводить следствия из гипотез прямого, тупого или острого угла. Ему удается доказать, что каж- дая из этих гипотез правильна во всех случаях, если только она верна в одном случае. При помощи какого-нибудь одного треуго- льника, сумма углов которого равна, больше или меньше 2R, бу- дет доказана в общем виде правильность гипотезы прямого, тупого или острого угла. Замечательно, что Saccheri указывает уже на физически-геометрические опыты, подтверждающие ги- потезу прямого угла. Если прямая CD (фиг. 24) соединяет концы двух равных перпендикуляров АСи BD, возведенных на прямой AB, и если перпендикуляр NM, опущенный из какой-нибудь Euküdes ab omni naevo vindicatus. Mediolani, 1733. Переведено в издании Engel und Stachel, Die Theorie der Parallellinien. Leipzig, 1895. 385 точки TV первой прямой на прямую AB, равен СА и DB, то прави- льность гипотезы прямого угла доказана. Что линия, находящая- ся на равном расстоянии от прямой линии, есть тоже прямая, Saccheri основательно не считает положением самоочевидным. Стоит вспомнить только, что круг, параллельный к большому кругу шара, не представляет кратчайшей линии на шар и обе стороны его не покрывают друг друга. Другие эксперименталь- ные доказательства правильности гипотезы прямого угла тако- вы. Если доказано, что угол в полукруге (фиг. 25) есть прямой угол (а+ р= R), то и 2а + 2ß = 2Л, a это и есть сумма углов в треу- гольнике ABC. Если радиус нанесен в полукруге 3 раза и прямая, соединяющая первую и четвертую конечную точку, проходит че- рез центр круга, то у точки С (фиг. 26) За = 2R и потому сумма углов в каждом из трех треугольников равна 2R. Существование треугольников неравной величины, но с равными углами (по- добных треугольников) тоже можно доказать экспериментально. В самом деле, если углы у В и С (фиг. 27) дают β+ δ+ γ+ ε= 4 JÏ, то и 4Rравна сумма углов в четырехугольнике ВСВ'С'. Еще Wallis^ обосновал в 1663 году доказательство пятого требования на до- пущении |