Цифровые измерительные устройства. Цифровые Измерительные Устройства. Цифровые измерительные устройства теоретические основы цифровой измерительной техники
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
σ 2 Теперь остается только вычислить среднеквадратичные значения суммарных погрешностей и найти их отношение. У2.2.6. Веса полученного кода будут 5121: веса каждого из трех бывших старшими разрядов уменьшатся вдвое, так как перед ними не стало счетчика на 2; вес бывшего младшего разряда возрастет в 5 раз, так как перед ним появился счетчик на 5. У2.2.7. Указание: формулировка задачи подсказывает, что решение неоднозначно. Для того, чтобы действовать не наобум, можно составить упорядоченную таблицу всех возможных четырехбитовых двоичных кодовых комбинаций в лексикографическом порядке, расшифровать их, пользуясь весами 5211, и далее вычеркнуть какие-либо шесть симметрично (относительно 2 1 0 ∑ − = = n i i i N α 2 1 1 ∑ = − = n i i i N α 2 1 ∑ = − = n i i i r α 130 середины) расположенных дублирующих комбинаций. Рядом приведено начало такой таблицы с тремя парами дублирующих комбинаций; из каждой такой пары при построении однозначного кода должна быть оставлена одна комбинация. У2.2.8. Подсказка: ну и что, что код Штибица невзвешенный? Ведь его комбинации расшифровываются арифметически: N = 8α 4 + 4α 3 +2α 2 +α 1 – 3. У2.2.9. Указание: логическую схему естественно строить на элементах И – ИЛИ, как показано на приводимом рисунке. О возможности ошибок можно высказать следующее утверждение, которое Вам предлагается проверить: указанные в тексте положения воспринимающих элементов относительно линии считывания обеспечивают одинаковые зоны допуска (на возможную неточность их установки) по обе стороны от номинального положения каждого воспринимающего элемента. У2.2.10. Подсказка: основой требуемых комбинационных логических цепей могут быть элементы ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. У2.2.11. Комментарий: эта задача имеет целью достичь лучшего понимания структуры кода Грея. В этом коде каждый цикл комбинаций длиной (считая от нуля) 2 k заканчивается комбинацией из (k – 1) младших нулей и одной единицы в k-м разряде. Так же заканчивается и самый длинный цикл, последняя комбинация в котором расшифровывается в случае использования дополнительного кода как «минус единица». У2.2.12. Один из возможных способов решения: использовать знак производной функции в точках f i (x) = 0. У2.2.13. Указание: при расчете подобных цепей согласования целесообразно сначала определить необходимый коэффициент передачи сигнала как отношение размаха сигнала, требуемого для АЦП к размаху сигнала датчика; затем выбрать структуру цепи (инвертирующий или неинвертирующий усилитель) и только после этого ввести необходимое смещение. У2.2.14 – У2.2.17 не требуют комментариев (решение последнего задания к тому же зависит от выбранного микроконтроллера). У2.2.18. Предположим, что АЦП тоже работает в дополнительном коде. Тогда микропроцессор «увидит» комбинацию 0000111111111011 и будет с ней обращаться как с положительным числом (его десятичное значение найдите сами). Если АЦП работает в смещенном коде, микропроцессор «увидит» комбинацию 0000011111111011, которую тоже «поймет» как изображение положительного числа (найдите и его десятичное значение). α i α iA ___ α i – 1 & & 1 α iB α i – 1 5211 N 0000 0 0001 1 0010 1 0011 2 0100 2 0101 3 0110 3 … … 131 У2.2.19. Наименьшая частота переключений в коде Манчестер-2 получается, когда фазы сигнала в смежных тактах различны, что происходит при передаче последовательностей вида 01010101…; наибольшая частота соответствует передаче одинаковых двоичных символов 11111111… или 00000000… При передаче в фазоразностном коде, в котором «1» в каком-либо битовом интервале изображается перепадом той же фазы, что в предыдущем интервале, а «0» – перепадом противоположной фазы, наименьшая частота переключений получается при передаче 00000000…, а наибольшая – 11111111... В обоих случаях частоты различаются вдвое. У2.2.20. Задача легко решается с помощью обычной карты Карно. У2.3.1. Пояснение: при построении графика относительной погрешности квантования как функции преобразуемого напряжения обычно по оси ординат откладывают не «мгновенные» значения погрешности (как, например, на рис. 2.15 или на рисунке к ответу на следующее упражнение), а их огибающие в положительной и отрицательной области. Такой график, построенный в линейном масштабе, представляет собой две расходящиеся гиперболы; а для многодиапазонного прибора – несколько пар гипербол. При десятичном отношении поддиапазонов относительная погрешность в точке переключения (например, при напряжении чуть большем, чем 1 В) возрастает в десять раз по сравнению с ее значением на концах каждого поддиапазона. При двоично-пятеричном отношении погрешность в точке переключения возрастает в 2 или 2,5 раза. В начале самого чувствительного поддиапазона гиперболы уходят соответственно в положительную и отрицательную бесконечности. Следует добавить, что рельное устройство переключения поддиапазонов должно обладать некоторым гистерезисом; в противном случае при напряжении, колеблющемся вблизи точки переключения, поддиапазоны будут непрерывно переключаться, что очень неудобно для пользователя. У2.3.2. Примеры распределений преобразуемой величины, при которых распределение погрешности квантования получается существенно неравномерным, могут быть самыми разными. На приводимом здесь рисунке показан один такой пример. В данном случае, как видно из графика, более вероятными оказываются отрицательные значения погрешности квантования. У2.3.3. Если суммарная допускаемая погрешность измерительного канала составляет 0,5%, то можно попытаться использовать восьмиразрядный АЦП, считая, что его погрешность квантования симметрирована идеальной регулировкой, как на рисунке предыдущего ответа, и заключена в пределах ±1/511 ≈ ±0,2 %. Однако у такого АЦП и все другие составляющие погрешности, в частности, нелинейность, должны составлять десятые доли кванта, чего реально трудно достичь. Безопаснее с точки зрения погрешности u u p(u) ∆ q 132 использовать десятиразрядный АЦП, хотя при его сопряжении с восьмиразрядным микроконтроллером возникнут некоторые неудобства. У2.3.4. Если прибор имеет четыре десятичных знака отсчета, то даже при полном использовании старшей декады, при котором максимальный отсчет составляет 9999, приведенная погрешность квантования (входящая в аддитивную составляющую погрешности прибора) будет иметь порядок 1/10000 = 0,01 %. При неполном использовании старшей декады приведенная погрешность квантования будет еще больше. Отсюда и ответ на поставленный вопрос. Если Вы забыли, что означает запись 0,005/0,002, обратитесь к последнему абзацу раздела 2.3. Приведенную там двучленную формулу принято сокращенно записывать в виде дроби c/d, причем подразумевается, что c и d выражены в процентах. У2.3.5. Указание: если биполярная характеристика получена путем предварительного смещения входного напряжения (например, в положительную сторону), то нулевая точка характеристики исходного АЦП, для которой обычно предусматривается аддитивная регулировка, переходит в точку, соответствующую максимальному по модулю отрицательному преобразуемому напряжению. У2.3.6. Так как интеграл от плотности распределения равен единице, плотность распределения погрешности квантования при равномерном законе должна быть равна 1/q. Поэтому для равномерного закона распределения при условии симметричного квантования p(∆) = 1/q при – q/2 < ∆ ≤ q/2; p(∆) = 0 при ∆ ≤ – q/2 и ∆ > q/2 (знаки неравенства расставлены произвольно). При математическом выражении треугольного закона распределения следует исходить из того, что плотность отлична от нуля на протяжении двух квантов, а ее максимальное значение составляет тоже 1/q. У2.3.7. Шум должен быть распределен по такому закону, у которого интегральная функция распределения F(∆) в диапазоне – q/2 < ∆ ≤ q/2 линейна, как показано на помещенном рядом рисунке. Если каждый кодовый переход на характеристике преобразования АЦП заменить функцией вида F(∆), линейные отрезки отдельных функций сольются в непрерывную прямую линию, что и требуется по условиям задачи. Плотность распределения шума Вам предлагается изобразить самостоятельно. Интересно было бы обдумать и способ формирования шума с таким распределением. У2.3.8. При действительном значении измеряемой длительности 520 нс и частоте квантующих импульсов 10 МГц исследуемый импульс содержит 5,2 периода квантующих импульсов. Погрешность квантования, выраженная в «импульсах» (квантах q = 100 нс) при единичном измерении принимает отрицательное значение (– 0,2 q) с вероятностью 0,8 и положительное значение 0,8 q с вероятностью 0,2. При усреднении двух отсчетов могут встретиться с разными вероятностями четыре ситуации, приведенные ниже в таблице: 1 q/2 – q/2 F( ∆ ) ∆ 133 Первый отсчет Второй отсчет Среднее – 0,2 q – 0,2 q – 0,2 q – 0,2 q 0,8 q 0,3 q 0,8 q – 0,2 q 0,3 q 0,8 q 0,8 q 0,8 q Вероятности каждого из трех получаемых при усреднении результатов находятся по обычным правилам теории вероятностей. У2.3.9. Погрешность современного классического цифрового частотомера содержит две составляющие: мультипликативную составляющую, равную погрешности образцовой меры (у цифровых средств измерений погрешность образцовой меры всегда проявляется как мультипликативная), и аддитивную погрешность квантования, зависящую от выбранного времени счета. График суммарной относительной погрешности в логарифмических координатах состоит из двух прямолинейных участков: при малых значениях измеряемой частоты преобладает погрешность квантования, логарифм которой линейно падает в функции логарифма частоты; при больших значениях частоты, когда отсчет содержит 7 и более значащих цифр, погрешность квантования оказывается меньше погрешности образцовой меры, и график становится горизонтальным. Между прямолинейными участками, конечно, имеется сопрягающий криволинейный участок (формально весь график криволинеен, но практически уже при отношении составляющих погрешности 5:1 меньшей составляющей можно пренебречь). Число знаков отсчета 8 согласовано с погрешностью образцовой меры и одновременно удобно технически с точки зрения реализации динамической индикации. У2.3.10. При двенадцати двоичных разрядах каждая единица LSB соответствует 1/4095 ≈ 0,024 % = 240 ppm диапазона преобразования (см. табл. 2.9). У2.3.11. Указание: решению многих задач помогают рисунки; в данном случае полезно обдумать приведенный рядом эскиз расположения двух фигурирующих в задаче прямых – одной, проведенной через крайние точки характеристики, и другой, обеспечивающей минимум модуля нелинейности. Этот минимум обеспечивается, когда наибольшие отклонения от аппроксимирующей прямой получаются в трех точках: в начальной, в конечной и в некоторой промежуточной. При этом, очевидно, модуль отклонения в промежуточной точке равен модулю отклонения в каждой из концевых точек. Любое другое расположение аппроксимирующей прямой увеличит модуль максимального отклонения. Отсюда и ответы на оба поставленных вопроса. У2.3.12. Вид характеристики преобразования ЦАП (без учета ее дискретного характера) показан с преувеличением размера погрешности старшего разряда на верхнем графике приведенного ниже рисунка. В действительности часть характеристики, обведенная кружком, в увеличенном масштабе выглядит так, как показано на нижнем графике рисунка. Скачок в U N 134 середине графика по условиям задачи составляет 0,1 % от веса старшего разряда; приращение выходного напряжения ЦАП в месте этого скачка, при переходе от N = 127 к N = 128, в наибольшей степени отличается от среднего по характеристике приращения (среднего кванта). Значит, в этом месте и нужно оценить дифференциальную нелинейность. Последнюю обычно выражают в единицах LSB (квантах), поэтому удобно представить номинальный вес старшего разряда рассматриваемого восьмиразрядного ЦАП как 128q. Тогда отклонение реального кванта, расположенного в середине характеристики ЦАП, от номинального кванта составит 0,128q Вообще говоря, оно должно быть отнесено к среднему по характеристике кванту, который из-за погрешности старшего разряда больше номинального на 0,05 %. Но вместе с тем не имеет смысла указывать дифференциальную нелинейность с тремя десятичными знаками, поэтому окончательный ответ можно сформулировать округленно как 0,13 LSB. Заметим, что характеристика реального ЦАП, у которого все разряды подогнаны с погрешностями, имеет такие же скачки (обусловленные погрешностью следующего по старшинству разряда) в точках ¼ и ¾ диапазона, а также и в других подобных точках, соответствующих изменениям более младших разрядов. У2.4.1. Отсчеты, взятые с частотой, вдвое превышающей граничную частоту спектра сигнала, уже статистически независимы (см. выше ссылку на К.Шеннона в перечне литературы к разделу 2.4). Тем более независимыми будут отсчеты, взятые с меньшей частотой. Другой подход заключается в том, чтобы брать отсчеты с интервалом дискретизации, несколько превышающим время корреляции сигнала, но для этого нужно знать его автокорреляционную функцию. У2.4.2. Поскольку в данной задаче имеется в виду спектральный подход к стробоскопическому преобразованию, следует преобразовать формулу для периода дискретизации T д (см. выше текст к рис. 2.26) в выражение для частоты f д = 1/T д . Примем, например, m = 1. Тогда получится f д = f 1 n д /(n д + 1), где f 1 – частота первой гармоники исследуемого периодического сигнала. Возьмем для наглядности какое-нибудь конкретное значение числа точек на период результирующего сигнала, например, n д = 24, тогда f д = 0,96f 1 Первая гармоника исследуемого сигнала даст со всеми гармониками спектра дискретизирующей последовательности комбинационные составляющие (суммарных и разностных частот). Из них только одна составляющая – с частотой f 1 – f д = 0,04f 1 попадет в «полосу Найквиста» (f < 0,5f д ) и будет воспринята как полезная. Аналогично, из комбинационных составляющих, обусловленных взаимодействием второй гармоники исследуемого сигнала 2f 1 со всеми гармониками спектра дискретизирующей последовательности, только составляющая с частотой 2f 1 – 2f д = 0,08f 1 будет воспринята как полезная, но она является как раз второй гармоникой первой полезной комбинационной U N U N 135 составляющей. Аналогичные рассуждения можно продолжить и для следующих гармоник (отметим, что при некотором номере гармоники они перестанут быть справедливыми). У2.4.3. Если напряжение на интервале дискретизации T д выражается как u(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 , то в начале этого интервала (где принято t = 0) оно равно a 0 , а в егоконце составляет u(T д ) = a 0 + a 1 T д + a 2 T д 2 . Коэффициент наклона интерполирующей прямой выразится как k = [u(T д ) – u(0)]/T д = a 1 + a 2 T д , а сама эта прямая u лин (t) = a 0 + kt.= a 0 + (a 1 + a 2 T д )t. Текущая погрешность восстановления найдется как разность u(t) – u лин (t) = a 1 t + a 2 t 2 – (a 1 + a 2 T д )t = a 2 t(t –T д ). Модуль последнего выражения имеет максимум, равный a 2 T д 2 /4, в точке t = T д /2. Теперь осталось заменить a 2 на вторую производную сигнала, равную d 2 u/dt 2 = 2a 2 . В итоге модуль максимальной погрешности получаетсяравным ∆ д = │d 2 u/dt 2 │T д 2 /8, что совпадает с «формулой Хлистунова». У2.4.4. Видимо, проще всего поступить следующим образом: записать u 1 , u 2 и u 3 как три значения синусоиды U m sin(ωt + φ), соответствующие значениям ωt 1 = 0, ωt 2 = 2π/3 и ωt 3 = 4π/3, возвести их в квадрат и просуммировать, а затем для каждого из слагаемых воспользоваться формулой sin 2 α = ½ – ½cos2α. Члены ½U m 2 после суммирования и последующего деления на 3 дадут снова ½U m |