Цифровые измерительные устройства. Цифровые Измерительные Устройства. Цифровые измерительные устройства теоретические основы цифровой измерительной техники
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
2 , что являетсяквадратом действующего значения синусоиды. Члены же вида ½U m 2 cos2α,являющиесяпроекциямитрех векторов, расположенными под углами 120° друг к другу (2ωt 1 = 0, 2ωt 2 = 4π/3 или 240°, и 2ωt 3 = 8π/3, или, после вычитания 2π, 120°), дадут в сумме нуль. У2.4.5. Поскольку требуется дать объяснение своими словами, всякие подсказки излишни. У2.4.6. Различие в формулах объясняется разной разрядностью. У десятиразрядного устройства квант составляет 1/1023 от диапазона Натуральный логарифм 1023 равен 6,93 ≈ 7; это значит, что экспонента, описывающая установление напряжения, приближается к установившемуся значению с погрешностью 1/1023 примерно за 7 постоянных времени. У двенадцатиразрядного устройства квант равен 1/4093 от диапазона; соответствующий натуральный логарифм составляет 8,32. После округления вверх (запас допустим, недостаток – нет!) получается 9 постоянных времени. Очевидно, этим и объясняются коэффициенты 7 и 9 в формулах. Несложный расчет времени выборки сделайте сами. У2.4.7. При измерении мощности обычными ваттметрами погрешность такого рода называется фазовой: косое сечение вносит фазовый сдвиг между перемножаемыми величинами, и тем самым изменяет получаемое значение мощности. Простейшая мера, направленная на снижение фазовой погрешности, вносимой косым сечением – перегруппировка входов мультиплексора, чтобы ток каждой фазы измерялся ближе по времени к напряжению той же фазы. Разница во времени между обслуживанием различных фаз несущественна. Следующая, более сложная мера – программное приведение напряжения и тока 136 одной и той же фазы к одному моменту времени с помощью расчетной интерполяции между дискретными отсчетами (желательно привести здесь необходимые математические выражения). У2.4.8. Для ответа на вопрос: нужно ли включить УВХ в измерительный канал, следует найти максимальное возможное изменение напряжения за время преобразования АЦП, а для этого, в свою очередь, нужно вычислить максимальную производную сигнальной функции. Эта функция при максимальной возможной амплитуде может быть приблизительно представлена как 512q.sin(20πt), где q – квант АЦП, а t – время в секундах. Максимум производной получится в точке t = 0. После вычисления максимальной производной (она будет выражена в квантах в секунду) искомое изменение напряжения найдется умножением на время преобразования 10.10 –6 секунды. Если получится результат, меньший кванта – УВХ заведомо не нужно. У2.4.9. Если частота преобразований АЦП составляет 200 кГц, сигнал не должен содержать спектральных составляющих с частотой, равной или превышающей 100 кГц. Рассмотрим маловероятный пограничный случай, когда весь спектр сигнала сосредоточен на этой частоте, а амплитуда сигнала составляет половину диапазона преобразования (то есть весь сигнал как раз укладывается в диапазон). Тогда получим максимальную производную, равную ½.2π.10 5 ≈ 314000 диапазонов в секунду (отметим, что здесь удобнее иная по сравнению с предыдущей задачей, и тоже необычная единица для скорости изменения напряжения). Умножив ее на заданную погрешность датирования 50.10 –9 с, получим 15,7.10 –3 или 1,57 % диапазона. Это формальное рассуждение дает преувеличенную оценку погрешности прежде всего потому, что в условиях задачи погрешность датирования не разделена на систематическую и случайную составляющие. Влияние систематической составляющей сводится к задержке зарегистрированного сигнала без искажений его формы, что обычно не рассматривается как погрешность. Искажения формы сигнала вызываются только случайной составляющей погрешности датирования, которая, как правило, намного меньше систематической составляющей. Кроме того, следовало бы принять во внимание действительный спектр сигнала (также отсутствующий в условиях задачи). У2.5.1. Частотная характеристика фильтра против наложений спектров для АЦП с частотой преобразований 100 кГц должна быть такой, чтобы подавлялись спектральные составляющие сигнала, начиная от 50 кГц. Вид характеристики в полосе пропускания зависит от требований к измерительному каналу (наилучшее сохранение спектрального состава сигнала, наилучшая передача формы сигнала, быстрейшее установление после скачка). Выберите сами один из этих вариантов и назовите тип соответствующей характеристики фильтра. У2.5.2. Ноль на характеристике двойного Т-образного фильтра расположен на частоте f = 1/(2πRC). Для подавления помехи частотой 50 Гц должно быть RC = 1/2π f = 1/100π ≈ 3,183.10 – 3 секунды. Выбор значений R и C зависит от сопротивления цепи, на которую нагружен фильтр. Предположим, например, что с точки зрения нагрузки допустимо R ≤ 15 кОм. Соответственно 137 получится C ≥ 0,2122мкФ. Выберем удобные несколько бòльшие номиналы емкостей C = 0,25мкФ. и 2C = 0,5 мкФ; тогда формально будет R = 12732 Ом, R/2 = 6366 Ом. Обычно сопротивления «горизонтальных» резисторов округляют до ближайшего стандартного номинала, а резистор R/2 выполняют как подстроечный, выбирая его номинал с запасом. У2.5.3. Коэффициент передачи RC-фильтра первого порядка вообще равен 1/√1 + (ωRC) 2 . В данном случае требуется, чтобы он составлял на частоте 50 Гц не более, чем 0,01; поэтому можно пренебречь единицей под корнем и выразить требование к элементам фильтра как 1/(100πRC) ≤ 0,01, где постоянная времени RC выражена в секундах. Получается, что она должна быть не менее 0,3183 секунды. Далее, если вольтметр имеет четырехзначную индикацию, то время установления показаний после скачка напряжения следует вычислять как интервал, в течение которого экспонента приближается к своей асимптоте с погрешностью 10 – 4 от размера скачка. Натуральный логарифм 10000 равен около 9,21; умножив это число на постоянную времени фильтра, получаем время установления 2,93 секунды. Почти три секунды надо ждать, пока показания быстродействующего вольтметра не перестанут изменяться! У2.5.4. Подставив в формулу для коэффициента передачи эквивалентного фильтра частоту 50 Гц и время интегрирования 60 мс, получим K(f) = sin(3π)/3π = 0. Но в условиях задачи указана нестабильность частоты сети ± 1 %. Учитывать изменение знаменателя формулы на такую малую величину не имеет смысла; отклонение же числителя sin(3π ± 0,03π) от нуляпроще всего оценить, приравняв синус малого угла его аргументу: sin0,03π ≈ 0,03π. Окончательно K(f) ≈0,03π/3π = 0,01 – отклонение частоты на 1 % вызывает пропускание эквивалентным фильтром одного процента помехи. Это соответствует коэффициенту подавления помехи 40 дБ. У2.5.5. Обычно считают, что погрешность 0,1 % соответствует разрядности n = 10. Таким образом, за указанное фирмой время будут достоверно отработаны только 10 разрядов из 16 двоичных разрядов микросхемы AD420. У2.5.6. При использовании всех восьми каналов микросхемы пропускная способность АЦП 500 киловыборок в секунду обеспечивает 500/8 = 62,5 тысяч циклов опроса в секунду. Это число соответствует частоте выборок по каждому из каналов. Разделив его на 22,2, получаем максимальную частоту входного сигнала 2815 Гц. Аналогично, при пропускной способности 357 киловыборок в секунду получаем 357/8 = 44625 циклов опроса в секунду и максимальную частоту входного сигнала 2010 Гц – совсем не так много. У2.5.7. Полоса пропускания АЦП порядка единиц и десятков герц вполне допустима при измерении температуры и других медленно меняющихся величин; она подходит и для многих биомедицинских экспериментов, где как раз нужно отделять полезный низкочастотный сигнал от высокочастотных и и fT fT f K π π ) sin( ) ( = 138 шумов. Для этих экспериментов разрешение 10 … 12 битов также является удовлетворительным. У2.5.8. Эффективная разрядность n эфф = (70 – 1,76)/6,02 = 11,34 бита, она менее, чем на бит отличается от номинальной разрядности 12 битов. У2.5.9. Если сигнал запуска вольтметра поступает от внутреннего источника, не синхронизированного с сетью, то помеха вызовет разброс показаний в пределах 10 – 4 от напряжения помехи, или на ± 200 мкВ. Пользователь увидит этот разброс и постарается уменьшить его влияние многократным повторением измерений или различными средствами защиты от помехи. Если вольтметр запускается синхронно с сетью, то его цикл преобразования будет заставать каждый раз одну и ту же фазу помехи, и получится смещение показаний в тех же пределах ± 200 мкВ. Пользователь, скорее всего, не заметит смещения и оно войдет в результат измерения как составляющая систематической погрешности. У2.5.10. Время установления выходного напряжения ЦАП для скачка входного кодового сигнала на единицу младшего разряда важно, если ЦАП используется для воспроизведения аналогового сигнала, описываемого непрерывной функцией времени. Небольшое отличие этого времени от времени установления при больших скачках кодового сигнала объясняется, видимо, тем, что в переходном процессе при изменении значения кодовой комбинации на единицу может участвовать большое число внутренних переключающихся элементов. Например, если комбинация 011111111111 переходит в 100000000000, то переключения происходят во всех разрядах. Почему в таком случае время для больших скачков кода все-таки больше чем для малых? Очевидно, потому, что при отработке большого скачка больше сказывается инерционность выходных цепей с операционным усилителем. У2.6.1. Из графика функции u(δ) видно, что при δ = 0 напряжение датчика составляет U 0 , а при максимальном значении измеряемой толщины 9δ 0 оно падает до 0,1U 0 . При разрядности АЦП n битов квант напряжения составит q = U 0 /2 n . Этот размер кванта должен обеспечить необходимое различение по толщине на участке характеристики с наименьшим значениям производной du(δ)/dδ = U 0 δ 0 /(δ + δ 0 ) 2 . Разделив квант напряжения на наименьшую производную, равную U 0 /(100δ 0 ), получаем квант толщины, который по условию должен составить не более, чем 9δ 0 /1000. Таким образом, имеем неравенство: 100δ 0 /2 n ≤ 9δ 0 /1000, или 2 n ≥ 100000/9 ≈ 11111. Ближайшее целое n, удовлетворяющее последнему неравенству, равно 14, при этом 2 n = 16384. Отметим, что при линейной характеристике датчика и полном использовании диапазона напряжений 0 … U 0 была бы достаточной разрядность n = 10, при которой 2 n = 1024. У2.6.2. Обращая заданную дробно-линейную функцию, получаем другую дробно-линейную функцию: x = (U датч – a )/(b – cU датч ), причем ясно, что a есть смещение по напряжению, а b чувствительность в начальной точке характеристики. Полезно проверить, одинакова ли размерность двух членов знаменателя в полученном выражении. Коэффициент 139 b имеетразмерность[U]/[x]; размерность коэффициента c, судя по исходной дробно-рациональной функции, 1/[x]. Поскольку c умножается на напряжение U датч , все оказывается правильным. Теперь введем обозначения для искомых коэффициентов линейных комбинаций: пусть, например, U x = dU датч + eU 0 ; U REF = fU датч + gU 0 , тогда N = N 0 U x /U REF = N 0 (dU датч + eU 0 )/(fU датч + gU 0 ). Условно (только для фиксированных единиц величины x !!!) приравнивая N = x, чтобы получить отсчет в единицах измеряемой величины, и сравнивая левую и правую части, получим: eU 0 /d = – a; f/(dN 0 ) = – c; gU 0 /(dN 0 ) = b. Видно, что один из коэффициентов, например, d, формально может быть выбран произвольно, а остальные тогда выражаются через известные величины. В действительности выбор коэффициентов должен быть таким, чтобы обеспечивались разумные значения U x и U REF У2.6.3. Попробуем формально, по только что полученным формулам, найти безразмерные коэффициенты d, e, f, g в выражениях: U x = dU датч + eU 0 ; U REF = fU датч + gU 0 . Очевидно, чтоиз a = 0следует e =0. Остаются два условия: f/(dN 0 ) = – c; gU 0 /(dN 0 ) = b. После подстановки N 0 = 4096; U 0 = 5 В; c = 0,25.10 – 3 1/мкм (здесь и далее объясните необходимость замены единиц!) и b = 5.10 – 3 В/мкм эти условия переходят в следующие соотношения: f/d = – 4096.0,25. 10 – 3 = – 1,024; g/d = 4096.5.10 – 3 /5 = 4,096. Замечая, что коэффициент f отрицателен и, следовательно, напряжение U REF должно уменьшаться с ростом измеряемой величины, примем g = 0,5 – тогда при U датч = 0 будет фигурирующее в условиях задачи U REF = 2,5 В. Отсюда d =0,5/4,096 = 0,1220703125 (здесь лучше не округлять результат, чтобы не нарушать точность последующей проверки, хотя реально подогнать коэффициент с такой точностью невозможно); f = (0,5/4,096).(–1,024) = – 0,125. Проверяем, что покажет прибор в конце диапазона. Напряжение датчика U датч = bx/(1 + cx); при x = 4 мм получится U датч = 5.4/(1 + 0,25.4) = 10 В. При этом опорное напряжение U REF = 0,5.5 – 0,125.10 = 1,25 В; напряжение на аналоговом входе АЦП U x = 1,220703125 В и окончательно показания АЦП N = N 0 U x /U REF = 4096. 1,220703125/1,25 = 4000, как и следовало получить по условиям задачи, чтобы измеряемая величина 4 мм выражалась в микромèтрах. Можно рассуждать менее формально.Анализируя выражениедля напряжения датчика U датч = bx/(1 + cx), видим, чтопри x = 4 мм его знаменатель 1 + cx = 2. Это значит, что последняя точка характеристики датчика лежит вдвое ниже соответствующей точки касательной к характеристике в ее начале (именно для этого в условиях задачи требовалось построить график!). Для того, чтобы «подсадить последнюю точку отсчета АЦП на касательную», напряжение U REF следует при максимальной измеряемой величине уменьшить тоже вдвое 140 по сравнению с исходным значением 2,5 В. Это сразу дает значения коэффициентов f и g. Наконец, подставив в N = N 0 U x /U REF значения для последней точки характеристики прибора: N = 4000; N 0 = 4096; U REF = 1,25 В, получаем необходимое значение напряжения U x на аналоговом входе АЦП. Итак, при любом способе рассуждения U x = dU датч ≈ 0,12207U датч ; U REF = fU датч + gU 0 = 0,5U 0 –0,125U датч Составляя упрощенную принципиальную схему сопряжения датчика с АЦП, можно коэффициент передачи напряжения датчика на аналоговый вход АЦП, равный 0,12207, обеспечить пассивным делителем напряжения (в предположении высокого входного сопротивления АЦП). Напряжение на опорном входе АЦП, равное 0,5U 0 –0,125U датч , удобно формировать на однокаскадном инвертирующем усилителе с входным сигналом U датч и постоянным смещением от источника U 0 на неинвертирующем входе. У2.6.4. Действительно, не всякая микросхема АЦП, имеющая аналоговый и опорный входы и допускающая логометрический режим преобразования, может быть использована в схеме, помещенной в книге В.С.Гутникова. Как аналоговый, так и опорный ее входы должны быть плавающими. Термин плавающий вход применим к любому электронному устройству; им обозначают вход, допускающий подачу сигнала от источника, выводы которого могут иметь произвольный (конечно, в определенных пределах) потенциал по отношению к общему («земляному») выводу устройства. В схеме, изображенной В.С.Гутниковым, сигнал на аналоговый вход АЦП поступает с измерительной диагонали моста, непосредственно не связанной с общим выводом микросхемы АЦП. Сигнал на опорный вход поступает с делителя, также не опирающегося ни на потенциал общего вывода, ни на потенциалы измерительной диагонали моста. При использовании любой микросхемы с плавающими входами необходимо следить за тем, чтобы потенциалы на ее входных контактах не выходили за допустимые пределы, которые должны быть указаны в техническом описании. У2.6.5. Формула для погрешности, приведенная в тексте раздела 2.6.2, позволяет найти математическое ожидание |