шпора по аналит геометрии и линейной алгебре. Действия над матрицами
 Скачать 5.1 Mb.
|
 16. Векторное произведение векторов Упорядоченная тройка векторов a, b, c называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.  Векторным произведением данных векторов а и b называется вектор с, удовлетворяющий следующим условиям: 1) |с| = |a|·|b|·sinφ, где φ – угол между векторами а и b, т.е. модуль векторного произведения, равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b. 2) с﬩a, c﬩b, т.е. с перпендикулярен плоскости векторов а и b. 3) a, b, c – правая тройка векторов. Для векторного произведения обычно используют два обозначения: с=a x b или с=[a, b]. Свойства: 1) Векторное произведение антикоммутативно: [a, b] = – [b, a]. 2) Константу можно выносить за знак векторного произведения: [λa, b] = λ[a, b]. 3) Для любых векторов a, b, c и любых чисел α и β имеет место равенство: [αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c]. Аналогично, [a, μb + λc] = μ[a, b] + λ[a, c]. 4) Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны. Действительно, векторное произведение равно нулю |[a, b]| = |a| · |b| · sinφ = 0 в следующих трех случаях: а) а = 0, тогда а и b коллинеарны; б) b = 0, тогда а и b коллинеарны; в) sinφ = 0, т.е. а || b, тогда а и b коллинеарны; в частности [a, a] = 0.  17. Смешанное произведение векторов Пусть даны три вектора – а, b, c. Умножим b и с векторно. Полученный вектор [b, c] умножим скалярно на вектор а. В результате получим число (a, [b, c]). Число (a, [b, c]) называется смешанным произведением векторов а, b, c и обозначается: (a, b, c). Свойства: 1) Смешанное произведение некомпланарных векторов а, b, c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях: (a, b, c) = (a, [b, c]) = |a| · |[b, c]| · cosφ, где φ – угол между векторами а и [b, c]. Учитывая, что |a|·cosφ равно высоте параллелепипеда h, а модуль векторного произведения |[b, c]| равен площади параллелограмма, построенного на векторах b и с, получаем: (a, b, c) = Sосн · h = Vпаралл. 2) Смешанное произведение является положительным, если тройка векторов а, b, c правая, и отрицательным, если она левая. 3) Если  ортонормированный базис, то ()=1, если базис правый, и ()=-1, если базис левый.4) Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны. 5) Для любых векторов а, b, c верны равенства: (a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) = –(b, a, c) = –(c, b, a) = –(a, c, b). 6) Для любых векторов  , b, c и чисел α, β верно равенство:(α  + β , b, c) = α (, b, c) + β (, b, c).(а, α  + β , c) = α (a, , c) + β (a, , c).(а, b, α  + β ) = α (a, b, ) + β (a, b, ). Данная формула верна только в том случае, когда координаты векторов a, b, c заданы в ортонормированном базисе.18. Комплексные числа Комплексное число имеет вид , где и – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью ( ) комплексного числа .= -1;  =iЕсли действительная часть комплексного числа  равна нулю (  ), то комплексное число называется чисто мнимым.Сопряженные комплексные числа Комплексно сопряженным с числом z=а+ib называется комплексное число z=a- ib, т.е. число, отличающееся от z только знаком мнимой части. Модуль комплексного числа Модулем комплексного числа z = x + iy называется выражение r = |z| =  Если z является действительным числом, то его модуль r = |z| равен абсолютной величине этого действительного числа. Например: z = -17, r = |-17| = 17 Геометрическая интерпретация  19. Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрической формой комплексного числа z=x+iy, не равного нулю, называется запись z = r(cosφ + i sinφ), где r = — модуль комплексного числа z.cosφ = cos(arg z) = cjs(arg z+2Пk) = cos(arg z) arg z = arctg  , z пренадлежит 1 и 4 четвертиarg z = arctg +П, z пренадлежит 2 четвертиarg z = arctg -П, z пренадлежит 3 четвертиПоказательная форма комплексного числа   Формула Муавра |