Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 26 из 28

(3.8)

^Ai^yi1 ^{ B}i^yi

• 
  Cy  F,
  

i 1, 2,...,n 1,

i i1 i
^A  B  F.

_ nn1 nnn

Система уравнений (3.8) имеет ненулевые элементы матрицы коэф- фициентов только на трех диагоналях, так называемая трехдиагональная матрица.

B₀ C₀

A₁ B₁ C₁ 0

A₂ B₂ C₂

.... .... ....

^An1

0

^Bn1

A_n

^Cn1

B_n

Такую систему уравнений удобнее всего решать методом прогонки.

Будем искать решение системы уравнений в виде:


i i1 i

i
y   y   . (3.9)

Здесь _kи β_k– неизвестные коэффициенты, обычно называемые в ли- тературе «прогоночные коэффициенты» или «коэффициенты прогонки».

Равенство (3.9) имеет место при всех i, поэтому можно записать

y   y
i1 i1 i

  . (3.10)

i1
Подставим (3.10) в (3.8), получим:

^Ai^i1^yi

• 
  _{i1 }  B_iy_i
  

• 
  Cy  F
  

i i1 i

И перепишем его в форме (3.9):

i i i i1
y   ^C

y  ^F

 A

. (3.11)

ⁱA  B ^i1 A  B

i i1 i i i1 i

Сравнение (3.11) и (3.9) дает рекуррентные соотношения для опреде- ления прогоночных коэффициентов _iи β_i:

A

A

i

i i i1

• 
  B
  

i
   ^{C ,}   ^F

 A

, i 1..n 1 . (3.12)

i i


i
i i1

i i1 ^{ B}

Недостающие коэффициенты ₀ и β₀ определяются из первого гранично- го условия (3.8):

0
C F

y   y  ⁰   y

  .

0 _B 1 _B

0 1 0

Откуда

0 0

_ C_{0 ,}


^F0 . (3.13)

   


0

B

0
0 ^B0

Для точки i= n-1 справедливо уравнение


n1 n1 n n1
y   y   . (3.14)

Привлекая второе граничное условие из (3.8)

Ay  By

 F, (3.15)

n n1

n n n

решаем систему уравнений (3.14) (3.15) относительно y_nи находим

A

n n n1
y  ^F

 A