Дифференциальных
![]()
|
(3.8)Aiyi1 Biyi Cy F, i 1, 2,...,n 1, i i1 i A B F. nn1 nnn Система уравнений (3.8) имеет ненулевые элементы матрицы коэф- фициентов только на трех диагоналях, так называемая трехдиагональная матрица. B0 C0 A1 B1 C1 0 A2 B2 C2 .... .... .... An1 0 Bn1 An Cn1 Bn Такую систему уравнений удобнее всего решать методом прогонки. Будем искать решение системы уравнений в виде: i i1 i i y y . (3.9) Здесь kи βk– неизвестные коэффициенты, обычно называемые в ли- тературе «прогоночные коэффициенты» или «коэффициенты прогонки». Равенство (3.9) имеет место при всех i, поэтому можно записать y y i1 i1 i . (3.10) i1 Подставим (3.10) в (3.8), получим: Aii1yi i1 Biyi Cy F И перепишем его в форме (3.9): i i i i1 y C y F A . (3.11)iA B i1 A B i i1 i i i1 i Сравнение (3.11) и (3.9) дает рекуррентные соотношения для опреде- ления прогоночных коэффициентов iи βi: A A i i i i1 B i C , F A , i 1..n 1 . (3.12) i i i i i1 i i1 B Недостающие коэффициенты 0 и β0 определяются из первого гранично- го условия (3.8): 0 C F y y 0 y . 0 B 1 B 0 1 0 Откуда 0 0 C0 , F0 . (3.13) 0 B 0 0 B0 Для точки i= n-1 справедливо уравнение n1 n1 n n1 y y . (3.14) Привлекая второе граничное условие из (3.8) Ay By F, (3.15) n n1 n n n решаем систему уравнений (3.14) (3.15) относительно ynи находим |