Дифференциальных
 Скачать 157.37 Kb.
|
ВВЕДЕНИЕПособие посвящено изложению численных методов решения двухто- чечных задач, которые встречаются во всех областях науки и техники. Для таких задач граничные условия задаются в двух точках, а дифферен- циальные уравнения часто нелинейны, так что получить аналитическое решение не возможно и поэтому для получения решения необходимо использовать численные методы. Численные методы решения таких задач делятся на два типа – итера- ционные и неитерационные. Для линейных задач решение можно полу- чить без использования итераций, при решении нелинейных задач без итерационных методов не обойтись. Однако следует отметить, что суще- ствует несколько способов, позволяющих исключить итерации, в резуль- тате чего существенно сокращается время счета. В пособии изложены как итерационные методы – метод Эйлера, метод линейной интерполяции, метод конечных разностей, так и безитерационные методы – метод про- гонки, метод суперпозиции. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙМатематическое моделирование задач механики, физики и других отраслей науки и техники сводятся к дифференциальным уравнениям. В связи с этим решение дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических задач. В вычислительной математике изуча- ются численные методы решения дифференциальных уравнений, кото- рые особенно эффективны в сочетании с использованием вычислитель- ной техники. Прежде чем обсуждать методы решения дифференциаль- ных уравнений, напомним некоторые сведения из курса дифференциаль- ных уравнений [1], и в особенности те, которые понадобятся при даль- нейшем изложении. Дифференциальные уравнения делятся на две категории в зависимо- сти от числа переменных: обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную, и уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных. Дан- ный раздел посвящен методам решения обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. Обыкновенными дифференциальными уравнениями на- зываются такие уравнения, которые содержат одну или несколько произ- водных от искомой функции y=y(x). Их можно записать в виде Fx,y,y,...,y(n) 0, где x– независимая переменная. (1.1)Наивысший порядок п входящей в уравнение (1.1) производной на- зывается порядком дифференциального уравнения. В частности, запишем уравнения первого и второго порядков: Fx, y, y 0, Fx, y, y, y 0. Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой функции y(x) и ее производных. На- пример, y x2y sin x го порядка. – линейное дифференциальное уравнение перво- Решением дифференциального уравнения (1.1) называется всякая праз дифференцируемая функция y=(x), которая после ее подстановки в исходное дифференциальное уравнение превращает его в тождество. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (1.1) содержит ппроизвольных постоянных С1, С2,… Сn: y x,C1,C2 ,...,Cn |