Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 3 из 28

(1.2)

где (1.2) является решением уравнения (1.1) при любых значениях С₁, С₂,… С_n, а любое решение уравнения (1.1) можно представить в виде (1.2) при некоторых С₁, С₂,… С_n.

Частное решение дифференциального уравнения получается из об- щего, если произвольным постоянным придать определенные значения. Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произ- вольной постоянной:

y  _x,C_.

(1.3)

Для заданного значения постоянной, С = С₀, частное решение урав- нения (1.3) имеет вид: y=(x, С₀).

Для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении, т. е. каков порядок уравнения. В качестве дополнительных ус- ловий могут задаваться значения искомой функции и ее производных при некоторых значениях независимой переменной, т. е. в некоторых точках.

Если дополнительные условия задаются в одной точке, t= t₀, то та-

кая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия называ- ются начальными условиями, а точка, в которой они задаются, – началь- ной точкой. Для уравнения первого порядка дополнительное условие одно, поэтому в этом случае может быть сформулирована только задача Коши.

Если же для уравнения порядка n> 1 дополнительные условия зада-

ются в более чем одной точке, т. е. при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются при этом граничными (или краевыми) условиями.

На практике обычно граничные условия задаются в двух точках x=aи

x = b, являющихся границами отрезка, на котором рассматривается диф- ференциальное уравнение.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, при- ближенные и численные.

Мы будем рассматривать численные методы решения дифференци- альных уравнений, которые в настоящее время являются основным инст- рументом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями.

1. Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкно- венного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Рассмот- рим уравнение

y^  f_x, y_ <sup>(1.4)

в окрестностях узлов</sup> x x_i, _i 0, 1,...._ ^{и заменим в левой части произ-}

водную y'правой разностью. При этом значения функции yв узлах x_i

заменим значениями сеточной функции y (x_i) = y_i:

y  y
i1 i

h_i

 f_x_i, y_i.