Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 7 из 28

(1.11)

 


1
^ _h k ^

k

₂ hf_ x_i  , y_i  _,


2 2
 

k₃  hf_x_i h, y_i k_{2 }.

Данный метод требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части f(x,y) уравнения (1.4). Суммарная погрешность этого ме-

тода есть величина O (h⁴).

Метод Рунге-Кутта (1.11) требует большего объема вычислений по сравнению с методом Эйлера, однако это окупается повышенной точно- стью, что дает возможность проводить счет с большим шагом. Другими словами, для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта (1.11).

Дополнительного повышения точности расчетов можно добиться, повысив порядок метода за счет увеличения количества операций на один шаг разностной сетки. Алгоритм расчета уравнения (1.4) для метода Рунге-Кутта-Мерсона 5-го порядка представлен уравнениями (1.12).

y  y

 ¹ _k 4k k_, i 0,1,..,

i1 i ₆ 0 3 4

k₀  hf_x_i,y_i,


k

h
 

k ⁰

₁ hf_x_i ₃ , y_i _{3 },

 

k
_k ^ _h k_{0 1} ^



(1.12)

₂ hf_x_i ₃ , y_i ₆  _{6 },

 


2

_{k } ^ _h k₀ 3k^



₃ hf_x_i ₂ , y_i ₈  _{8 },

 

^ k 3k ^

k₄  hf_ x_i  h, y_i  ⁰ ²  2k_{3 }.

_ 2 2 _

Суммарная погрешность метода равна O(h⁵).

В случае длительных расчетов, требующих большого количества вы- числений, можно сократить время расчета за счет использования пере-

менного шага разностной сетки h. При использовании переменного шага в расчетах контролируется разность между соседними значениями сеточ- ной функции Δ = (y_i- y_i+1). В случае превышения Δ заданной погрешно-

сти  шаг сетки уменьшается в два раза, при малых значениях Δ шаг уве- личивается в два раза. Условия автоматического выбора шага сетки пред- ставлены уравнениями (1.13).

 ₅


_2  h_i,   ₃₂ ;

h_i1  _0.5  h_i,   5;