Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 10 из 28

Метод стрельбы

Дана краевая задача для дифференциального уравнения второго по- рядка

y  px y  qx y fx  	0, 0  x l.	(2.4)
С граничными условиями в виде y0  a,		(2.5)
yl  b.		(2.6)

Приведем задачу (2.4) – (2.6) к системе дифференциальных уравне- ний первого порядка. Для этого введем обозначение y^'= z, тогда уравне- ние 2.4 перепишется в виде системы уравнений:

^_ y^  z,



_^z^  p_x_z q_x_y f_x_.

(2.7)

Исходное дифференциальное уравнение второго порядка (2.4) пре- вратилось в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка (2.7). Для решения (2.7) необходимо два начальных условия. В случае, если будут определены начальные условия, задача (2.7) с двумя началь- ными условиями будет являться задачей Коши. Одно начальное условие для системы уравнений (2.7) задано в исходной постановке уравнением (2.5). Для разрешимости (2.7) необходимо второе условие, соответст-

вующее функции z(x) в координате x= 0.

y_0_  a

z_0 _  ?

(2.8)

(2.9)

Задача (2.7) – (2.9) есть задача Коши для системы двух дифференци- альных уравнений первого порядка.

По смыслу значение функции z (0) определяет тангенс угла наклона функции y(x) при x = 0. Если в качестве начального значения функции z (x) задать произвольное значение z (0) = , и решить задачу (2.7) – (2.9) численно, одним из методов, описанных в главе 1, то в координате x = lбудет вычислено некоторое значение y (l) = y_n. Очевидно, что при слу- чайном выборе z(0) =  величина y(l) = y_n≠b, что противоречит на-

чальному условию (2.6) исходной задачи. При изменении параметра 

для граничного условия z (0) = ₁ решение задачи (2.7) дает отличное от предыдущего значение исходной функции на правой границе, y (l) = y_n,1. Исходя из этого, используется следующий алгоритм расчета. Вычисля-

ются значения y(l) при z(0) =  и z(0) = ₁. Проводится анализ, как при

изменении величины , изменилась величина y_n: стала ли она «ближе» к

величине b, или «дальше». По результатам анализа определяется новая величина параметра  и повторяется расчет. Многократным заданием величины  добиваемся совпадения вычисленной величины y_nс величи-

ной bс заданной точностью расчета.

Такой метод расчета называется методом «стрельбы». Название по- шло из баллистики артиллерийский снарядов, когда путем выстрелов с

«недолетом» и «перелетом» третьим выстрелом цель (в нашем случае это величина функции y(l) = y_n) поражается.

В случае, когда на левой границе (x = 0) задано условие второго рода (y' (0) = a), в качестве начальных условий (2.8) – (2.9) выступают урав- нения: y (0) = , z (0) = a,. Варьируемой величиной является значение исходной функции на границе x = 0. Алгоритм расчета при этом не меня- ется. В случае, когда на правой границе (x = l) задано значение производ- ной (y' (l) = b), в расчетах с величиной b необходимо сравнивать полу- ченное для разных величин  значение z_n.

Пример программы для граничных условий третьего рода:


dy_0 _


1


dx

 ₁y_0 _   ₁ ,

dy_l_



² dx

 ₂y_l _   ₂ .