Дифференциальных
 Скачать 157.37 Kb.
|
(2.14) b b 1 2 1 b b 2 1 2 1 2 1 Полученное значение и будет являться недостающим начальным условием. Объясняется это линейностью задачи. Как известно, диффе- ренциальное уравнение (2.10) имеет общее решение yx c1u1 x c2u2 x yнx, где u1 (x) и u2 (x) – линейно-независимые решения однородного уравне- ния (при f(x) 0), а yn(x) – какое-либо решение неоднородного уравне- ния (частное решение неоднородного уравнения). Удовлетворяя левому граничному условию (2.11), в общем решении останется одна неизвест- ная постоянная, которая входит в выражение для y(x) линейным обра- зом. Проведя в плоскости (, b) прямую, проходящую через две точки (1, b1) и (2, b2) при заданном значении b мы однозначно найдем точное значение . Теперь таблицу значений функции yx (и ее производной) можно найти интерполяцией yx y x yx y x 1 . 1 1 1 2 1 Однако на практике, жертвуя машинным временем, обычно проводят третий расчет задачи Коши с условиями y0 a, y 0 . В случае расчета справа налево от точки x= lдо x= 0 алгоритм рас- чета меняется. Рассмотрим задачу (2.10) с начальными условиями: yl , y l b . Решая две задачи Коши для = 1, = 2 при x = 0 получим некото- рые значения y1 (0) = a1 и y2 (0) = a2. Недостающее начальное условие получится с помощью линейной интерполяции a a a 1 2 1 a2 1 Замечание. На практике обычно выбирают простейшие значения , например 1 = 1 и 2 = 0. При этом, если само уравнение (2.10) является однородным, т.е. f(x) 0, и граничное условие так же однородное, y (0) = 0, то решение имеет вид y2 (x) 0, b2 = 0. Тогда второй расчет (при 2 = 0) нет необходимости производить и формула (2.14) даст ответ в виде b. b 1 1 Поэтому, если предложено решить однородное уравнение, то следует посмотреть, есть ли однородное граничное условие и если оно есть, то начинать расчет следует от этой границы! Эта рекомендация остается в силе и для других методов решения краевых задач. Пример. Решить краевую задачу: y 1 4xy 8y 5, 0 x 1; y 0 y0 0; y1 0. Будем проводить расчет слева направо (от x= 0 до x= 1). Выберем начальные условия, удовлетворяющие левому граничному условию: y1 0 1; y2 0 2 ; y 0 ; 1 1 2 2 y 0 . Чтобы показать универсальность метода, в расчете были выбраны, наверное, совсем неподходящие значения 1 = 20 и 2 = 10. Таблица 2.1
В таблице 2.1 приведены результаты расчета. В первом столбце вы- даны значения xс шагом h= 0.1. Затем в двух столбцах выданы значе- 1 ния y1 (x) и y'(x), в следующих двух – y2 (x) и y2'(x), в двух последних столбцах – решение краевой задачи. В результате интерполяции по фор- муле (2.14) получено значение = 1. Обсудим результаты. Заслуживает внимание последний столбец (для y'(x)). Нетрудно заметить, что значение y'(x) от одной точки к соседней изменяются на постоянную величину – 0.4. Это означает, что функция y'(x) – линейная (многочлен первой степени). Значит, точное решение y (x) – многочлен второй степени и, следовательно, можно найти в ана- литической форме точное решение задачи. Оно имеет вид y ax2 bx c . Коэффициенты a, bи cможно найти подстановкой най- денного выражения y(x) в дифференциальное уравнение и в граничные условия. Рекомендуем проделать эти выкладки и получить точное реше- ние. Можно поступить и проще. Найдем по таблице y''. y y1 y0 0.61 4. h 0.1 Откуда y x 4x 1 ; yx 2x2 x 1. При интегрировании использовались начальные условия y'(0) = 1, y(0) = 1. Рекомендуем про- верить, что найденное решение действительно удовлетворяет заданному уравнению, и граничным условиям. Вот так численный счет помог найти аналитическое решение задачи! |