Дифференциальных
 Скачать 157.37 Kb.
|
Постановка краевой задачи для обыкновенных дифферен- циальных уравнений второго порядкаНа практике приходится часто решать задачи, когда условия задают- ся при двух значения независимой переменной (на концах рассматривае- мого отрезка). Такие задачи называются краевыми, получаются при ре- шении уравнений высших порядков или систем уравнений. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка d2y dy x qxy fx 0, 0 x l. (2.1)dx2 dx Краевые условия в общей форме запишем в виде: dy0 y 0 , (2.2)1 dx 1 1 dyl y l . (2.3)2 dx 2 2 Здесь x– независимая переменная, изменяющаяся от x=0 до x=l; y= y(x) – искомая функция; ρ(x), q(x) и f(x) – заданные функции, ко- торые чаще всего на промежутке x 0, l являются непрерывными; 1, β1, γ1, 2, β2, γ2 – заданные числа, определяющие вид граничных условий (2.2) – (2.3). Требуется найти такое решение y(x) уравнения (2.1), кото- рое при стремлении xк точке x=0 справа удовлетворяло бы граничному условию (2.2), а при стремлении xк правой границе x=lслева (изнутри области) – удовлетворяло бы правому граничному условию (2.3). Существуют различные частные случаи граничных условий (2.2) – (2.3). Так, например, если 1 = 0, β1 = 1, то говорят, что задано граничное условие первого рода: y(0) = γ1; если, например, 2 = 1, β2 = 0, то гово- рят, что на границе x=lзадано граничное условие второго рода y'(l) = γ2. Если, например, 1 > 0, β1 > 0, то говорят, что на границе x = 0 задано граничное условие третьего рода. В этом случае при корректной постановке задачи коэффициенты при yи y'в левом граничном условии должны быть различных знаков, а в правом – одного и того же знака, что и отражено в записи граничных условий (2.2) – (2.3). Численные методы решения краевых задач (2.1) – (2.3) делятся на две группы. Отнесем условно к первой группе такие методы, когда решение краевой задачи сводится к решению нескольких (двух) задач Коши. Из- вестно, что решение задач Коши можно реализовать с любой заданной точностью различными методами. Ко второй группе методов решения краевых задач относится метод конечных разностей. При этом дифференциальные операторы заменяют- ся разностными (чаще всего, на равномерной сетке), и задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом точ- ность результатов оценивается путем двойного расчета при различных шагах сетки (часто при hи h/2).
|