Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 6 из 28

(1.9)

Таким образом, погрешность δ_i+1 отличается от погрешности δ_iна два слагаемых: O (h²) есть следствие погрешности аппроксимации (1.5), a hO (δ_i) есть следствие неточности значения y_i.

При нахождении y₁ начальное значение y₀ задается, как правило, точ-

но: δ₀ = 0. Отсюда

  O_h² _,     O_h² _  hO_h² _  O_h² _2  h_  O_h² _.

1 2 1

Отсюда видно, что последнее слагаемое в (1.9) можно отбросить.

Уравнение примет вид:

^i1

   O_h² _,

i
т. е. погрешность на каждом шаге увеличивается на величину O(h²).

При нахождении решения в точке x_n, отстоящей на конечном рас- стоянии L от точки x₀, погрешность состоит из n слагаемых O (h²). Если учесть, что h=L/n, то для погрешности δ_nполучаем окончательное вы-

ражение:

  nO_h² _  ^LO_h² _  O_h_.

(1.10)

n _h

Отсюда следует, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

2. Методы Рунге-Кутта

Рассмотренный метод Эйлера (1.5) является частным случаем мето- дов первого и второго порядков, относящихся к классу методов Рунге-

Кутта. Эти методы применяют для вычисления значения y_i+1, (i= 0, 1,

…) через y_iи f(x,y), определенных при некоторых специальным обра-

зом выбираемых значениях

x ^x, x ^{ и y(x). На их основе могут}

 ^{i i 1} 

быть построены разностные схемы разного порядка точности. Одним из наиболее часто используемых методов является метод Рунге-Кутта чет- вертого порядка. Алгоритм метода записывается в виде

y  y

 ¹ _k 2k 2k k_, i 0,1,..,

i1

i ₆ 0 1 2 3

k₀  hf_x_i, y_i,




1
k hf_ x_i

• 
  ^h, y
  

₂ i

k ^



 ⁰ ,

2