Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 5 из 28

(1.7)

Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схе- ма этого метода представлена соотношениями (1.6), (1.7). Они имеют вид реккурентных формул, с помощью которых значение сеточной функции

y_i+1 в любом узле x_i+1 вычисляется по ее значению y_iв предыдущем узле

x_i. В связи с этим метод Эйлера относится к одношаговым методам.

Рассмотрим вопрос о погрешности метода Эйлера. Погрешность δ_iв точке x_iравна разности между точным значением искомой функции y(x_i)

и значением сеточной функции y_i:

_i y_x_i  y_i.

Подставим

_i y_x_i  y_i^и _i1  y_x_{i1 }  y_i1 . ^{в (1.6). Имеем}

y_i1  _i1  y_x_i  _i hf_x_i, y_x_i  _i.

^{Разложим функцию} f^{в ряд в окрестности точки} _x_i, y_x_i ^:

(1.8)

f_x, y_x_   _  f_x, y_x_  ^f  O_ ² _ 

i i i i i

_y i i

 f_x_i, y_x_i  O__i.

Используя полученное разложение, выразим 
i1

из (1.8):

_i1  _i y_x_{i1 }  y_x_i  hf_x_i, y_x_i  hO__i.

^{Учитывая, что} y_x

i1

_  y_x_  hf_x, y_x_  O_h² _ ^{, получаем}

i i i

i1 i i
    O_h² _  hO_ _.