Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 11 из 28

приведен в приложении 1.

2. Метод линейной интерполяции (метод хорд)

Рассмотрим смешанную краевую задачу для уравнения

y^  p_x _y^  q_x _y f_x _  0, 0  x l.

Граничные условия возьмем в виде

y_0_  a,

y^ _l_   y_l_  b.

(2.10)

(2.11)

(2.12)

вий

Здесь a, b,  – заданные числа, определяющие вид граничных усло-
Решать численно краевые задачи можно как слева направо (от x= 0 к

x= l), так и, наоборот, x= lдо x= 0.

Рассмотрим сначала порядок расчета слева направо. При переходе от задачи (2.10) к системе двух дифференциальных уравнений (2.7) требует- ся дополнить систему двумя граничными условиями. Так как мы выбрали расчет слева направо, то для решения задачи требуются граничные усло- вия слева, уравнение (2.11). Согласно (2.11) на левой границе задано зна-

чение функции y (0) = a, но не задано значение производной. Введем для производной условие y'(0) =  ( – неизвестная величина). Значение

«недостающего» начального условия  нужно найти так, чтобы выполни-

лось правое граничное условие (2.12). Оказывается, что это можно сде- лать за две попытки. Выберем любые два значения  =₁,  =₂ и решим две задачи Коши для уравнения (2.7) с начальными условиями:

y_{1 }0_  a, y_{2 }0_  a,

y^ _0_   ;


1 1

2 2
y^ _0_   .

(2.13)

Полученные решения обозначим как y = y₁ (x) и y = y₂ (x). Найдем соответствующие значения левых частей в граничном условии (2.12). Пусть

1 1 1
y^ _l_  y_l_  b,

y^ _l_  y_l_  b.

2 2 2

Здесь значения b₁ и b₂ получены в результате численного решения двух задач Коши (2.7) с граничными условиями (2.13). Теперь искомое значение недостающего начального условия y'(0) =  можно найти с

помощью линейной интерполяции:

1
  

 ^{b b1} , ^т.е.   

 _

b b


_ 1
  .