Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 13 из 28

Метод суперпозиции

Рассмотрим простейшую первую краевую задачу для уравнения

y^  p_x _y^  q_x _y f_x _  0,

a x b.

(2.15)

На концах промежутка заданы граничные условия

y _a_  ,

(2.16)

y_b_   ^{. (2.17)}

Здесь p(x), q(x), f(x) – заданные функции на промежутке

a< x< b; a, b, , β– заданные числа, определяющие граничные усло-

вия. Сущность метода суперпозиции состоит в представлении общего решения уравнения (2.15) в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Удовлетворяя одному из граничных условий, например, левому (2.16), найдем связь между произвольными постоянными, входящими в общее решение одно- родного уравнения. Проведем реализацию метода следующим образом:

Будем искать решение краевой задачи (2.15) – (2.17) в виде

y_x_  cu_x_  v_x_

(2.18)

И потребуем, чтобы это выражение удовлетворяло уравнению (2.15) и граничному условию (2.16) при любом значении постоянной с. Под- ставляя (2.18) в (2.15), получим

c_^u^  pu^  qu_^  v^  pv^  qv f.

Чтобы это равенство имело место при любом значении постоянной с, необходимо выражение в квадратных скобках приравнять нулю. В ре- зультате получаем два дифференциальных уравнения:

u^  p_x_u^  q_x_u 0,

v^  p_x _v^  q_x _v f_x _.

Подстановка (2.18) в граничное условие (2.16) дает

cu_a_  v_a_   ,