Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 24 из 28

3 РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разно- стей. Основное содержание метода заключается в следующем. Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дис- кретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента прибли- женно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравне- ние заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответ- ствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференци- ального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией).

Решение дифференциального уравнения сводится к отысканию зна- чений сеточной функции в узлах сетки. Обоснованность замены диффе- ренциального уравнения разностным, точность получаемых решений, устойчивость метода – важнейшие вопросы, которые требуют тщатель- ного изучения.

Рассмотрим содержание метода на примере решения дифференци- ального уравнения второго порядка

y^  f_x, y, y^_

при заданных граничных условиях

(3.1)

y_0 _  y₀ , y_1_  y₁ ^{. (3.2)}

Разобьем отрезок [0, 1] на n равных частей точками x_i= ih, (i = 0, 1, …, n). Решение краевой задачи (3.1), (3.2) сведем к вычислению значений сеточной функции y_iв узловых точках x_i. Для этого воспользу-

емся уравнением (3.2) для внутренних узлов:

y^ _x_i  f_x_i, y_x_i, y^ _x_i,

i 1, 2,..., n- 1.

(3.3)

Заменим производные, входящие в эти соотношения, их конечно- разностными аппроксимациями:

y^_x_  ^{yi1  yi1}  O_h² _,

ⁱ2h