Дифференциальных
![]()
|
(3.4)y x yi1 2yi yi1 Oh2 . i h2 Подставляя эти выражения в (3.2), получаем систему разностных уравнений Fxi, yi1 , yi, yi1 0, i 1, 2, , n 1, (3.5)являющуюся системой (n-1) алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции y1, y2, …, yn-1. Входящие в данную систему y0 (при i = 1) и yn(при i = n-1) выбираются из граничных условий (3.2): y0 y0 , yn y1. На практике часто граничные условия задаются в более общем виде: 1y0 1y 0 A, 2y1 2y 1 B. (3.6)В этом случае граничные условия также должны представляться в разностном виде путем аппроксимации производных y'(0) и y'(1) с по- мощью конечно-разностных соотношений. Если использовать односто- ронние разности (соответствующий шаблон показан на рис. 3.1 а), при которых производные аппроксимируются с первым порядком точности, то разностные граничные условия примут вид y y y 10 A, 1 0 1 h y y y (3.7)2 n 2 n n1 B. h Из этих соотношений легко находятся значения y0 и yn. ![]() ![]() ![]() n-2 n-1 n n+1 i a б в 1-2h1-h1 1+h x Рис. 3.1. Аппроксимация граничных условий Однако, как правило, предпочтительнее аппроксимировать произ- водные, входящие в (3.6), со вторым порядком точности с помощью цен- тральных разностей 2h 2h y 0 y1 y1 Oh2 , y 1 yn 1 yn 1 Oh2 . В данные выражения входят значения сеточной функции y-1 и yn+1 в так называемых фиктивных узлах x= -hи x= 1+h, лежащих вне рассмат- риваемого отрезка (рис. 3.1 б). В этих узлах значения искомой функции также должны быть найдены. Следовательно, количество неизвестных значений сеточной функции увеличивается на два. Для замыкания систе- мы привлекают еще два разностных уравнения (3.5) при i= 0 и i= n. Аппроксимировать граничные условия со вторым порядком можно и иначе (рис. 3.1 в). В этом случае используются следующие аппроксима- ции: 2h y 0 3y0 4y1 y2 Oh2 , 2h y 1 yn2 4yn1 3yn Oh2 . Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения сведено к решению системы алгебраических уравнений вида (3.5). Эта система является линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно или нелинейно, искомое дифференциальное уравнение. Для нелинейной системы необходимо использовать специальные ме- тоды, в том числе итерационные. Для решения линейной системы уравнений (3.5) используется метод прогонки. Линейная система равнений (3.5) приводится к виду By Cy F, |