Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 25 из 28

(3.4)

y^ _x_  ^{yi1  2yi yi1}  O_h² _.

ⁱ _h2

Подставляя эти выражения в (3.2), получаем систему разностных уравнений

F_x_i, y_i1 , y_i, y_{i1 }  0,

i 1, 2, , n 1,

(3.5)

являющуюся системой (n-1) алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции y₁, y₂, …, y_n-1. Входящие в данную систему y₀ (при i = 1) и y_n(при i = n-1) выбираются из граничных условий (3.2):

y₀  y_0 _, y_n y_1_.

На практике часто граничные условия задаются в более общем виде:

₁y_0 _  ₁y^ _0 _  A,

₂y_1_  ₂y^ _1_  B.

(3.6)

В этом случае граничные условия также должны представляться в разностном виде путем аппроксимации производных y'(0) и y'(1) с по-

мощью конечно-разностных соотношений. Если использовать односто- ронние разности (соответствующий шаблон показан на рис. 3.1 а), при которых производные аппроксимируются с первым порядком точности, то разностные граничные условия примут вид

y y

 y  ¹⁰

 A,

1 0 1 _h


 y

 
y  y

(3.7)

2 n 2

n n1 _{ B.} h

Из этих соотношений легко находятся значения y₀ и y_n.

-1 ⁰ 1 2


-h ⁰ h 2h

n-2 ^{n-1 n} n+1 i

a

б

в

1-2h^1-h1 1+h ^x

Рис. 3.1. Аппроксимация граничных условий
Однако, как правило, предпочтительнее аппроксимировать произ- водные, входящие в (3.6), со вторым порядком точности с помощью цен- тральных разностей


2h

2h
y^ _0 _  ^{y1  y1}  O_h² _, y^ _1_  ^{yn 1  yn 1}  O_h² _ ^.

В данные выражения входят значения сеточной функции y_-1 и y_n+1 в

так называемых фиктивных узлах x= -hи x= 1+h, лежащих вне рассмат-

риваемого отрезка (рис. 3.1 б). В этих узлах значения искомой функции также должны быть найдены. Следовательно, количество неизвестных значений сеточной функции увеличивается на два. Для замыкания систе-

мы привлекают еще два разностных уравнения (3.5) при i= 0 и i= n.

Аппроксимировать граничные условия со вторым порядком можно и иначе (рис. 3.1 в). В этом случае используются следующие аппроксима- ции:


2h
_{y 0 } 3y₀  4y₁  y_{2  Oh2 ,}


2h
_{y 1 } ^yn2 ^{ 4y}n1 ^{ 3y}n_{ Oh}² _.

Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения сведено к решению системы алгебраических уравнений вида (3.5). Эта система является линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно или нелинейно, искомое дифференциальное уравнение.

Для нелинейной системы необходимо использовать специальные ме- тоды, в том числе итерационные.

Для решения линейной системы уравнений (3.5) используется метод прогонки.

Линейная система равнений (3.5) приводится к виду

^By  Cy  F,

_ 0 0 0 1 0