Дифференциальных

• Название: Дифференциальных
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 157.37 Kb.
• Имя файла: A.YU.-Krajnov-K.M.-Moiseeva-CHislennye-metody-resheniya-kraevyh-.docx
• Тип: Документы; #579564
• страница: 27 из 28

. (3.16)

n


n
n n1

• 
  B
  

Таким образом, схема решения системы уравнений (3.8) состоит в следующей последовательности действий:

1. 
   По формулам (3.13) вычисляем ₀ и β₀.
   
2. 
   По реккурентным формулам (3.12) вычисляем последовательно ₁,
   

β₁, ₂, β₂, …, _n-1, β_n-1.

3. 
   По формуле (3.16) определяем y_n.
   
4. 
   По формуле (3.9) вычисляем y_n-1, y_n-2, …, y₀.
   

После выполнения действий 1 – 4 все значения y_iбудут определены.

Пример программы для расчета краевой задачи методом конечных разностей приведен в Приложении.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Примеры программ для расчета краевой задачи

^d2^y 2 ^dy 3y exp _4 x_  0, 0  x 1, ^{с граничными условиями}

dx²

dy_0_

dx

dx

 y_0 _  0.6,

dy_1_ dx
 y_1_  4 exp(3)  exp(4).

Точное решение задачи имеет вид:

y_anx_  exp _x_  exp(3x)  0.2 exp(4x).

1. 
   Программы на языке PascalABS.net
   

Методконечныхразностей

const N=20; ax=0; bx=1;

function y_an(x:real):real; begin y_an:=exp(-x)+exp(3*x)+0.2*exp(4*x); end; function p(x:real):real; begin p:=-2; end;

function q(x:real):real; begin q:=-3; end; function f1(x:real):real; begin f1:=exp(4*x); end;

var x,y,A,B,C,F,aa,bb:array [0..N] of real; h,xx:real; i:integer;

begin

h:=(bx-ax)/N;

for i:=0 to N do x[i]:=ax+h*i;

for i:=0 to N-1 do begin

A[i]:=1/(h*h) - p(x[i])/(2*h);

C[i]:=1/(h*h) + p(x[i])/(2*h);

B[i]:=-2/(h*h)+q(x[i]);

F[i]:=f1(x[i]);

end;

B[0]:=-h-1; C[0]:=1; F[0]:=0.6*h;

B[N]:=1+h; A[N]:=-1;F[N]:=h*(4*exp(3)+exp(4));

aa[0]:= -C[0]/B[0]; bb[0]:= F[0]/B[0];

for i:=1 to N do begin

aa[i]:= -C[i]/(A[i]*aa[i-1] + B[i]);

bb[i]:= (F[i] - A[i]*bb[i-1])/(A[i]*aa[i-1] + B[i]);

end;

y[n]:= (F[n] - bb[n-1]*A[n])/(B[n] + aa[n-1]*A[n]);

for i:=n-1 downto 0 do y[i]:= aa[i]*y[i+1] + bb[i];

for i:=0 to N do writeln(x[i]:6:2,' ',y[i]:10:6,y_an(x[i]):10:6); xx:=0;

for i:=1 to N do xx:=xx+abs(y[i]-y_an(x[i])); writeln(xx/N);

end.

Методстрельбы

const N=20; ax=0; bx=1;

function y_an(x:real):real; begin y_an:=exp(-x)+exp(3*x)+0.2*exp(4*x); end; function f(x,y,z:real):real; begin f:=z; end;

function g(x,y,z:real):real; begin g:=2*z+3*y+exp(4*x); end; var x,y,z:array [0..N] of real; h,xx,xx1,d:real; i:integer; function shoot(ksi:real):real;

var y1,z1:real;i:integer;

begin

y[0]:=ksi-0.6;z[0]:=ksi;

for i:=0 to N-1 do begin

y1:=y[i]+0.5*h*f(x[i],y[i],z[i]); z1:=z[i]+0.5*h*g(x[i],y[i],z[i]);

y[i+1]:=y[i]+h*f(x[i]+0.5*h,y1,z1); z[i+1]:=z[i]+h*g(x[i]+0.5*h,y1,z1);

end;

shoot:=z[n]+y[n]-(4*exp(3)+exp(4))

end; begin

h:=(bx-ax)/N;

for i:=0 to N do x[i]:=ax+h*i; xx:=1;

d:=1;

while d>1e-3 do begin

xx1:=xx-shoot(xx)*1e-4/(shoot(xx+1e-4)-shoot(xx)); d:=abs(xx-xx1);

xx:=xx1;

end;

writeln(' x[i] y[i] y_an(x[i])');

for i:=0 to N do writeln(x[i]:6:2,' ',y[i]:10:6,y_an(x[i]):13:6); xx:=0;

for i:=1 to N do xx:=xx+abs(y[i]-y_an(x[i])); writeln(xx/N);

end.

2. 
   Программы на языке Fortran.
   

Методконечныхразностей

program progonka

implicit none

integer, parameter:: N=20 real, parameter:: aa=0 real, parameter:: bb=1

real y(N+1), x(N+1), y_an(N+1), alf(N+1), bet(N+1), A(N+1), B(N+1), C(N+1), F(N+1), h

integer i h=(bb-aa)/N C(1)=1 B(1)=-h-1 F(1)=0.6*h A(N+1)=-1

end

B(N+1)=1+h F(N+1)=(4*exp(3.0)+exp(4.0))*h alf(1)=-C(1)/B(1)

bet(1)=F(1)/B(1)

do i=1,N+1

x(i)=(i-1)*h

enddo do i=2,N

A(i)=1/h/h+1/h B(i)=-2/h/h-3 C(i)=1/h/h-1/h F(i)=exp(4*x(i))

alf(i)=-C(i)/(A(i)*alf(i-1)+B(i))

bet(i)=(F(i)-A(i)*bet(i-1))/(A(i)*alf(i-1)+B(i))

enddo

y(N+1)=(F(N+1)-bet(N)*A(N+1))/(B(N+1)+alf(N)*A(N+1))

do i=N, 1, -1

y(i)=alf(i)*y(i+1)+bet(i)

enddo

do i=1,N+1

y_an(i)=exp(-x(i))+exp(3*x(i))+0.2*exp(4*x(i))

write(*,*) x(i), y(i), y_an(i)

enddo

Методстрельбы

program strelba

implicit none

real, parameter:: aa=0 real, parameter:: bb=1 integer, parameter:: N=20 real, parameter:: eps=1d-5

real shoot,ksi, y(N+1), z(N+1), x(N+1), y_an(N+1),ksi_n,h

integer i h=(bb-aa)/N do i=1,N+1

x(i)=(i-1)*h

enddo ksi_n=1 ksi=10

do while (abs(ksi-ksi_n)>=eps) ksi=ksi_n

ksi_n=ksi-shoot(ksi)*eps/(shoot(ksi+eps)-shoot(ksi))

end do y(1)=ksi-0.6 z(1)=ksi

do i=1,N

y(i+1)=y(i)+h*z(i)

end

z(i+1)=z(i)+h*(2*z(i)+3*y(i)+exp(4*x(i)))

enddo

do i=1,N+1

y_an(i)=exp(-x(i))+exp(3*x(i))+0.2*exp(4*x(i))

write(*,*) x(i), y(i), y_an(i)

enddo

write(*,*) 'ksi=',ksi

real function shoot(ksi) integer, parameter:: N=20 real, parameter:: aa=0 real, parameter:: bb=1

real ksi, y(N+1), z(N+1), x(N+1),h

integer i h=(bb-aa)/N do i=1,N+1

x(i)=(i-1)*h

enddo y(1)=ksi-0.6 z(1)=ksi

do i=1,N

y(i+1)=y(i)+h*z(i) z(i+1)=z(i)+h*(2*z(i)+3*y(i)+exp(4*x(i)))

enddo

shoot=z(N+1)+y(N+1)-(4*exp(3.0)+exp(4.0))

end function

Результаты расчета

xi	yан(xi)	yi(метод прогонки)	yi(методстрельбы)
0.00	2.20	2.61	2.24
0.05	2.36	2.77	2.40
0.10	2.55	2.97	2.59
0.15	2.79	3.22	2.83
0.20	3.09	3.53	3.13
0.25	3.44	3.90	3.48
0.30	3.86	4.35	3.91
0.35	4.37	4.90	4.42
0.40	4.98	5.54	5.03
0.45	5.70	6.32	5.76
0.50	6.57	7.24	6.62
0.55	7.59	8.33	7.65
0.60	8.80	9.63	8.86
0.65	10.24	11.17	10.31
0.70	11.95	13.00	12.01
0.75	13.98	15.16	14.04
0.80	16.38	17.72	16.44

0.85	19.23	20.76	19.28
0.90	22.61	24.36	22.65
0.95	26.61	28.63	26.64
1.00	31.37	33.70	31.38