Гомонов. 20бет, 93-бет, 117 бет. Дузелбаев Мерей Метод сравнения двух чисел с помощью нахождения промежуточного
 Скачать 69.19 Kb.
|
Задача 5.11. Докажите, что для любых действительных чисел  , удовлетворяющих условию  , справедливо неравенство  .Решение. Подстановка  , где  приводит нас к неравенству  Ему равносильно неравенство  или  , или  , т.е  . Получили очевидное неравенство, значит, обоснование исходного неравенства состоялось.Однако отнюдь не всегда тригонометрические подстановки оказываются столь эффективны. Рассмотрим следующую задачу. Задача 5.12. Докажите, что для любых действительных чисел справедливо неравенство  Решение. Данное неравенство уже было рассмотрено (задача 3.9) и геометрическая интерпретация с использованием графика функции  , без труда позволила его обосновать после предварительного перехода к равносильному ему неравенству (частному случаю неравенства Иенсона):  . Обратимся теперь к решению предложенной задачи с использованием тригонометрической подстановки. Рассмотрим 2 случая.1. Пусть  или  . В этом случае неравенство очевидно.2. Пусть теперь  и  , тогда для числа  — найдется такой угол , что  Отсюда имеем: , и исследуемое неравенство можно заменить следующим:  или  , которое, очевидно, равносильно неравенству  Далее имеем следующие ему и между собой равносильные неравенства:  Последнее неравенство очевидно. Этим решение данной задачи завершено. Итак, решение задачи состоялось, но признать его эстетически образцовым не приходится. Ясно одно: метод тригонометрической подстановки не всесилен и далеко не всегда приводит к наиболее короткому и привлекательному своей математической красотой решению. |