Разбор вариантов ЕГЭ. Разбор типовых вариантов заданий ЕГЭ по математике_20181010_2236. Двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий 8 заданий первой части (задания 18) с кратким ответом в виде целого числа или конечной

• Название: Двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий 8 заданий первой части (задания 18) с кратким ответом в виде целого числа или конечной
• Анкор: Разбор вариантов ЕГЭ
• Дата: 15.03.2022
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: Разбор типовых вариантов заданий ЕГЭ по математике_20181010_2236.docx
• Тип: Документы; #398425
• страница: 6 из 16

Планиметрия. Углы.

Задание №6 профильного уровня ЕГЭ по математике - решение геометрических задач. В данном задании необходимо справиться с задачей по планиметрии на определение углов.

Теория к заданию №6

Немного стоит напомнить об углах в окружности, так как в задачах это достаточно популярная тематика.

Центральный и вписанный углы:

Разбор типовых вариантов заданий №6 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC . Ответ дайте в градусах. 

Алгоритм решения:

1. 
   Выполняем рисунок.
   
2. 
   Определяем вид угла.
   
3. 
   Применяем свойство вписанных углов и вычисляем искомый угол.
   
4. 
   Записываем ответ.
   

Решение:

1. Выполняем рисунок.



2. Угол, который нужно найти является центральным. Он опирается на ту же дугу, что и угол АВС.

3. Вспомнить правило: "центральный угол в два раза больше вписанного, который опирается на ту же дугу".

4. Вписанный угол АВС, согласно условию, равен 32⁰. Тогда центральный угол BOC равен 32⁰∙ 2 = 64⁰

Ответ: 64⁰.

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Площадь треугольника ABC равна 152. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Алгоритм решения:

1. 
   Устанавливаем подобие треугольников.
   
2. 
   Используем свойство площадей подобных треугольников.
   
3. 
   Записываем ответ.
   

Решение:

1. DE – средняя линия треугольника, следовательно, все стороны в треугольнике CDE меньше соответствующих сторон в треугольнике ABC. Это означает, что треугольники подобны, и коэффициент подобия равен 2.

2. Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия, следовательно, площадь треугольника CDE в    раза меньше, чем площадь треугольника ABC. Имеем:

158 / 4 = 38

Ответ: 38.

Третий вариант задания (из Ященко, №23)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 36°, угол CAD равен 52°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Алгоритм решения:

1. 
   Отмечаем на рисунке углы, которые ланы в задаче.
   
2. 
   Используем свойство вписанных углов.
   
3. 
   Находим угол АВС.
   
4. 
   Записываем ответ.
   

Решение:

1. Отмечаем углы ABD и CAD на рисунке. Эти углы вписаны в окружность.

2. Воспользуемся свойством вписанных в окружность углов: они равны градусной меры дуги, на которую опираются.

Тогда угол ABD, опирающийся на дугу AD. Градусная мера ее равна 36⁰∙2=72⁰, второй – угол CAD опирается на дугу CD с градусной мерой 52⁰∙2=104⁰.

3. Дуга AC=AD+CD. Она имеет градусную меру: АС=72⁰+104⁰=176⁰, а угол АВС, который на нее опирается, определяется как половина величины дуги: 176⁰:2=88⁰.

Ответ: 88.

Четвертый вариант задания (из Ященко, №10)

Угол АСВ равен 54°. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точек D и Е, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Алгоритм решения:

1. 
   Вычисляем угол BDA.
   
2. 
   Определяем величину угла ADC,
   
3. 
   Рассматриваем треугольник ADC, определяем искомый угол.
   
4. 
   Записываем ответ.
   

Решение:

1. Вычислим угол BDA. Он вписан в окружность, опирается на дугу AB. Тогда по свойству вписанных углов, его градусная мера равна половине градусной величины дуги AB. Тогда   .

2. Рассматриваем угол ADC. Он смежный с углом BDA, значит,



3. Рассматриваем треугольник ADC. В нем известны два угла. По свойству суммы углов треугольника третий угол DAC можно найти так:



Из рисунка видно, что угол DAC совпадает с углом DAE, следовательно, угол DAE тоже равен 15⁰.

Ответ: 15⁰.