СтатистикаЛевина 2012. Е. И. Левина статистика учебное пособие кемерово 2012 1 Рецензенты
 Скачать 4.61 Mb.
|
|
6.6. Аналитическое выравнивание ряда Определение тренда (аналитического выражения) является наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития явления. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени Аналитическое выравнивание состоит в подборе для данного ряда динамики теоретической кривой, выражающей основные черты фактической динамики, то есть в подборе теоретической кривой, наилучшим образом описывающей эмпирические (фактические) данные. Аналитическое выравнивание может проводиться с использованием различных трендов. Наиболее простым является выравнивание по прямой где – условное обозначение времени , – параметры искомой прямой. Параметры прямой, удовлетворяющие методу наименьших (6.17) 195 квадратов, находятся из решения системы уравнений где – фактические значения уровней – число уровней ряда. Систему уравнений можно упростить, если подобрать так, чтобы сумма была равна 0, то есть начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода, то При этом подбор осуществляется а) если число уровней ряда четное, то условное обозначение времени строится таким образом −7−5−3−1+1+3+5+7 (то есть два серединных момента принимаются −1, +1. Все остальные, соответственно, обозначаются через 2 интервала б) при нечетном числе отсчет ведется от середины принятой за нуль, через единицу Значения можно находить пользуясь следующими формулами ( − четное ( − нечетное. в) выравнивание по параболе (2 порядка. Если выравнивание производить по многочлену более высокой степени (например, 2 порядка , то система нормальных уравнений, получаемых методом наименьших квадратов, для определения параметров параболы имеет вид: Для упрощения системы t подбираем так, чтобы и . Система уравнений примет следующий вид (6.18) (6.19) (6.20) (6.21) (6.22) 196 Следовательно, , где , определяются решением системы из двух уравнений. Параметры уравнения параболы имеют следующий смысл – величина, выражающая средние условия образования уровней ряда – скорость развития – ускорение этого развития. Аналитическое выравнивание можно проводить и по многочленам более высоких степеней, например, параболе 3 порядка При этом, чем выше порядок параболы, тем более точно она воспроизводит фактические данные. Однако основной целью построения аналитического уравнения является непросто воспроизведение фактических данных, а определение тенденции развития данного явления во времени. Основанием для выбора формы кривой для выравнивания, служит анализ сущности явления. Показательная функция применительно к выравниванию имеет следующий вид , где – начальный уровень ряда − среднегодовой темп роста. Для определения параметров уравнения методом наименьших квадратов предварительно логарифмируют уровни, тогда логарифмы уровней отражаются линейной функцией если , то (6.23) (6.24) (6.25) (6.26) 197 6.7. Интерполяция и экстраполяция Выравнивание рядов динамики используют не только для выявления тенденций, но и для того, чтобы найти недостающее значение уровня ряда. Такой способ нахождения недостающего значения внутри рассматриваемого периода, основанный на выравнивании рядов динамики, называется интерполяцией. Другой прием, заключающийся в том, что, продолжая данные математических кривых, как бы предсказывается дальнейшее развитие явления, то есть на основе выявления особенностей изменения явлений заданный период можно предугадать поведение явления в будущем (прошлом. Он называется экстраполяцией. Экстраполяцию и интерполяцию можно осуществить различными способами. Но они обязательно основываются на предположении о том, что закономерность (тенденция) изменения изучаемого явления, раскрытая для определенного периода времени, сохранится на ограниченном отпуске времени как в будущем (прошлом, таки внутри данного периода. Так как в действительности тенденция может измениться, то полученные таким путем данные надо рассматривать как своего рода оценку. Рассмотрим некоторые простейшие приемы, помогающие прогнозировать те или иные показатели за определенный отрезок времени. 1) На основе среднего абсолютного прироста. Если при анализе ряда динамики обнаруживается, что абсолютные приросты уровней примерно постоянны, тов этом случае рассчитывается средний абсолютный прирост и последовательно прибавляют (вычитают) его к последнему известному уровню ряда столько раз, насколько периодов экстраполируют (интерполируют) ряд. Показатели 2005 2006 2007 2008 Производство обуви, млн пар 788 801 809 820 – +13 +8 +11 198 Определить объем производства 2016 г , Аналогично можно и интерполировать на основе среднего абсолютного прироста и последнего перед недостающим уровнем значения ряда , то есть оценка, а неточные значения. 2) На основе среднегодового темпа роста. Если за исследуемый ряд лет годовые коэффициенты роста постоянны, тов этом случае можно рассчитать средний коэффициент роста и последний известный уровень ряда умножить (разделить) на средний коэффициент роста в степени, соответствующей периоду экстраполяции. Показатели 2005 г. 2006 г. 2007 г. 2008 г. 2009 г. 2010 г. Численность населения на 1 января Коэффициент роста цепной (Кр цеп) - 0,9951 0,9957 0,9989 0,9992 1 Если исходить из предположения, что данный темп роста сохранится на определенные промежутки ив дальнейшем или прошедшем, то можно определить численность например, на 1 января 2017 г или на 1 января 2004 г Аналогично производят и интерполяцию. 3) На основе какой-либо аналитической формулы. Зная уравнение для исчисления теоретических уровней и подставляя в него значения t за пределами (внутри) исследуемого ряда, можно рассчитать для данных t вероятные значения уровней ( ). Например, тенденция производства стали за 2005−2009 гг. 199 характеризуется ________________ _______________ |2005 2006 2007 2008 2009 | 2010 , t = − 2 − 1 0 1 2 3 то для 2017 г или для 2006 г. Задачи по теме 6: « РЯДЫ ДИНАМИКИ И ИХ АНАЛИЗ. Задача 1. Имеются следующие данные о списочной численности работников фирмы по состоянию на первое число месяца Показатель Месяц I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII I следующего года Количество человек Вычислите среднюю численность работников аза каждый квартал года б) за каждое полугодие в) за год (всеми возможными способами. Задача 2. Имеются следующие данные о списочной численности работников оптовой фирмы на начало месяца первого полугодия отчетного года 200 Месяцы Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Кол-во человек Определите среднюю численность работников фирмы за первый, второй кварталы и за полугодие в целом. Задача 3. Имеются следующие данные о продаже товаров в торговой фирме Восток по месяцам первого полугодия Вычислите среднемесячную продажу товаров аза каждый квартал года б) за каждое полугодие в) за год (всеми возможными способами. Задача 4. Имеются следующие данные о размере валовых доходов по торговому предприятию II полугодия отчетного года Месяцы Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Сумма, тыс. р. 166 172 179 190 198 223 Определите средний размер валовых доходов за третий, четвертый кварталы и за II полугодие. Задача 5. Оптовый товарооборот торгующей организации по годам представлен в таблице, тыс. р Годы Оптовый товарооборот й 3 140 й 3 600 й 4 100 й 4 900 й 5 670 й 7 050 Месяцы Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Сумма, тыс. р. 126 145 157 166 181 196 201 Проанализируйте данный динамический ряд системой показателей, найденных базисными цепным способами. Рассчитайте средние значения для этого ряда. Задача 6. Имеются следующие данные о прибылях и убытках ОАО «Альфа-Банк» Год 2006 2007 2008 2009 2010 Доходы банка от ссуд, предоставленных клиентам, млн. р. 14308,36 15557,87 20576,51 22934,11 23515,79 Рассчитаем следующие показатели а) абсолютный прирост б) темп роста в) темп прироста г) абсолютное значение 1% прироста д) средние за период уровень ряда, абсолютный прирост, темпы роста и прироста. Задача 7. Имеются следующие данные об обороте в розничной торговле по месяцам в Кемеровской области за 2010 годна первое число, млн р Товарные группы I II III IV Продовольственные товары Непродовольственные товары 9296 9119 10214 10203 Определите средние товарные запасы на первый квартал по каждой товарной группе ив целом по двум группам. Задача 8. Имеются следующие данные о балансовой стоимости основных фондов торгового предприятия на начало месяца II полугодия Месяцы Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Январь Сумма, тыс. р. 1 220 1 246 1 260 1 267 1 279 1 300 1 450 202 Проанализируйте данный динамический ряд системой показателей. Решение оформите в таблице. Рассчитайте средние характеристики. Постройте график. Напишите выводы по результатам анализа. Задача 9. Цены на овощи на рынках города в среднем изменились по месяцам следующим образом (в % к предыдущему месяцу январь февраль март апрель май июнь +1,5 +2,0 +1,8 -0,5 -0,9 -1,8 Определите, насколько процентов изменились цены на овощи за шесть месяцев. Задача 10. Рассчитайте годовой объем производства продукции в 2010 г, зная, что в гон составил 120 тыс. т За период гг. имел место среднегодовой прирост производства продукции в размере 5 тыс. та в течение 2003-2010 гг. наблюдалось ежегодное снижение среднегодового объема производства на 3 тыс. т Задача 11. Имеются следующие данные по области (в процентах по отношению к предыдущему году Показатели 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Фонд труда работников бюджетной сферы 100 85 84 72 64 84 97 Среднемесячная зарплата работников бюджетной сферы 100 99 69 103,4 94,8 74,2 109,2 Определите базисные темпы роста (кг) и среднегодовые темпы роста и прироста фонда оплаты труда, численности работников и средней заработной платы на одного работника. Задача 12. Имеются следующие данные об основных показателях культуры Российской Федерации 203 Показатели 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Число посещений театров, млн 72,3 65,7 57,5 53,8 44,9 41,1 37,8 Число профессиональных театров наконец года 497 510 547 571 598 611 636 Определите среднегодовое число профессиональных театров и посещений театров среднегодовые темпы роста и прироста указанных показателей. Задача 13. Имеются следующие данные ообъеме внешней торговлиРеспублики Беларусь с Россией (млрд дол Показатели 2005 2006 2007 2008 2009 Экспорт 5716 6845 8879 10552 6714 Импорт 10118 13099 17205 23507 16717 Определите по экспорту и импорту базисные темпы и среднегодовые темпы коэффициент опережения экспорта над импортом. Задача 14. Среднегодовой темп прироста производства продукции в ОАО за 2000 - 2004 гг. составил 1,5%. За период 2004- 2008 гг. наблюдалось снижение объема производства в среднем на 2% в год. Начиная си дог. включительно, вновь производство продукции стало увеличиваться в среднем на 0,5% в год. Рассчитайте а) темп роста (снижения) объема производства продукции за 2000-2010 гг.; б) среднегодовой темп прироста объема производства за этот период. Задача 15. Темп снижения средней заработной платы бюджетников за период 2000-2005 гг. составила за 2005-2010 гг. заработная плата их выросла на 28%. Рассчитайте темп прироста (снижения) средней заработной платы этой категории работников за период 2000-2010 гг. Задача 16. Объем производства продукции фирмы за последние десять лет характеризуется следующими данными (в процентах кг Показатели Товарная продукция Численность работников Рассчитайте ежегодные и среднегодовые темпы роста (снижения) товарной продукции, численности работников и средней выработки товарной продукции на одного человека за этот период. Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы. Рассчитайте значения приведенных показателей в 2015 г, используя всевозможные для этих целей методы. Задача 17. Себестоимость единицы продукции фирмы, производящей товары широкого потребления, за период с 2005 по 2010 г. возросла на 3,2%. При этом в течение 2005-2007 гг. себестоимость увеличилась в 1,2 раза. Определите а) динамику себестоимости единицы продукции за период 2007-2010 гг.; б) среднегодовые темпы роста (снижения) себестоимости продукции за 2005-2010гг., за 2005-2007 гг., за 2007-2010гг. Задача 18. Темпы динамики производительности труда (в % к предыдущему году) составили +1,5% в 2010 г, +0,8% в 2009 г, -0,5% в 2008 г, -0,8% в 2007 г. Рассчитайте а) темп роста (снижения) производительности труда за период гг.; б) среднегодовой темп роста (снижения) за этот период. Задача 19. Изменение затратна р. товарной продукции в пищевой промышленности района характеризуется следующими данными (в % к предыдущему году 205 2007 2008 2009 2010 +13 +10 -1,5 -3,0 Рассчитайте а) изменение (в %) затратна р. товарной продукции в 2009 г. по сравнению с г б) среднегодовой темп прироста (снижения) данного показателя за 2006-2010 гг. Задача 20. Грузооборот автомобильного транспорта в Кемеровской области составил (млрд т-км.): в 2008 г в 2009 г. –0,5. Рассчитайте среднегодовой темп прироста грузооборота за период 2008-2009 гг. Задача 21. В 2007 г. фирма имела прибыль в размере 60 тыс. р. В результате дефолта 2008 г. финансовые результаты фирмы стали ухудшаться, ив гона имела убыток по результатам работы года в размере 120 тыс. р. Рассчитайте темпы изменения финансовых результатов в % кг. Задача 22. Рассчитайте, какими должны быть в среднем ежегодные темпы прироста, чтобы объем производства продукции за 3 года увеличился с 50 тыс. т до 60,5 тыс. т Задача 23. В 2006 г. себестоимость единицы продукции составила р. Рассчитайте, насколько процентов в среднем за год она должна снижаться, чтобы в 2010 г. быть равной 13,50 р. Задача 24. По плану социального развития города в 2010 г. предусматривалось расширение объема жилищного строительства в 1,3 раза по сравнению с г. Фактические темпы прироста строительства жилых домов (в % к предыдущему году) составили 2006 2007 2008 2009 2010 -2,8 -0,5 -2,0 +3,4 +5,6 206 Рассчитайте а) среднегодовой темп роста объема жилищного строительства по плану социального развития города б) фактический среднегодовой темп роста (снижения) строительства жилья в) степень выполнения плана поэтому показателю. Задача 25. Имеются сведения о стоимости основных фондов ОАО (млн р Показатели 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Среднегодовая стоимость Стоимость наконец года 4,0 4,2 4,5 Рассчитайте недостающую информацию в этой таблице. Задача 26. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни рядов динамики и недостающие в таблице базисные показатели динамики последующим данным о добыче угля в районе за 2003-2011 гг.: Годы Добыча угля, млн т Базисные показатели динамики абсолютный прирост, млн т темп роста темп прироста Задача 27. Объем продукции предприятия возрос в 2006 г. по сравнению с 2005 г. на 2,1%, в 2007 гон составил 108,7% по отношению к объему 2006 гав г. был в 1,24 раза больше объема 2005 г. В 2009 г. предприятие выпустило продукции на 207 сумму 25,8 млн р, что на 10,3% больше, чем в 2008 г, в 2010 г. – 30,9 млн р. ив г. – 38,1 млн р Определите цепные темпы роста базисные темпы прироста по сравнению с 1995 г абсолютные уровни производства продукции за все годы среднегодовые темпы роста и прироста за 2005-2011 гг. Задача 28. Имеются следующие данные о темпах роста производительности труда на предприятии (по сравнению с 2001 г 2006 г. – 109,6%, 2011 г. – 111,8%. Определите среднегодовые темпы роста и прироста производительности труда за 2006-2011 гг.; за 2001-2011 гг. Задача 29. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни рядов динамики и недостающие в таблице цепные показатели динамики последующим данным о производстве продукции предприятиями Годы Производство продукции, тыс. т По сравнению с предыдущим годом абсолютный прирост, тыс. т темп роста, % темп прироста абсолютное значение 1% прироста, тыс. т 2004 95,3 2005 4,9 2006 107,1 2007 6,0 2008 2009 7,2 1,18 Задача 30. Темпы роста объема продукции промышленности района по сравнению с 2001 г. составляли в 2006 г. 107,5%, в 2011 г. – 105,3%. Определите среднегодовой темп роста и прироста объема производства продукции промышленности за 2006-2011 гг.; за 2001-2006 гг.; за 2000-2011 гг. 208 Задача 31. Среднегодовой темп прироста посевных площадей фермерских хозяйств области составил за 2002-2006 гг. 12,4%, аза гг. – 8,4%. Определите среднегодовой темп роста посевных площадей за 2002-2011 гг. Задача 32. Абсолютное значение 1% прироста валового сбора зерновых культур в фермерском хозяйстве составило в 2011 г, по сравнению с 2006 г. - 252 ц, а весь абсолютный прирост валового сбора зерновых за этот же период – 3790 ц. Определите среднегодовой абсолютный прирост и среднегодовой темп роста валового сбора зерновых в фермерском хозяйстве за 2006-2011 гг. Задача 33. Розничный товарооборот во всех каналах реализации в области увеличился в 2011 г. по сравнению с 2010 г. на 21%, а в 2010 г. по сравнению с 2009 г. - на 19%. Определите розничный товарооборот в области в 2009, 2010 и 2011 гг. если абсолютный прирост розничного товарооборота в 2010 г. по сравнению с 2009 г. составил 3708 млн р. Задача 34. Известны следующие данные о реализации продукции совместными предприятиями на внутреннем рынке в 1993-1999 гг.: 2005 2008 2011 175 2575 10815 Определите среднегодовой темп роста за 2005-2008, 2008- 2011, 2005-2011 гг.; среднегодовой абсолютный прирост реализации за те же годы. Задача 35. Имеются следующие данные об отправлении грузов железнодорожным транспортом в районе, млн т I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 94,8 85,5 95,8 94,8 91,7 89,6 87,6 90,6 87,6 92,7 88,6 88,6 209 Произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени в квартальные уровни сглаживание ряда методом четырехчленной скользящей средней. Задача 36. Имеются следующие данные об объеме розничного товарооборота Кемеровской области за 2002-2008 гг. (в сопоставимых ценах, млн р 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 72563 88178 110584 140904 178979 223710 272799 Произведите сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней выравнивание ряда динамики по прямой. Задача 37. Имеются следующие данные о реализации кондитерских изделий в магазинах области по месяцам 2011 г, тыс. р I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 38,0 34,4 38,0 47,9 38,6 40,4 39,4 37,4 37,9 36,5 40,4 49,5 Произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени в квартальные уровни выравнивание рядов динамики по прямой. Задача 38. Стоимость основных средств на предприятии за отчетный год составила, млн р 1.01 1.04 1.05 1.10 1.01 следующего года 4,9 4,1 5,2 6,1 5,4 Определите среднегодовую стоимость основных средств предприятия и величину 1% прироста за год. Задача 39. Имеются следующие данные о химическом производстве за 3 года по месяцам (%): 210 Год Месяц I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 2007 96,4 97,8 106, 4 98,4 105, 9 96,3 100, 7 99,7 99,7 108, 8 101, 1 100, 9 2008 92,8 100 106, 9 97,4 101 94,6 101, 5 97,5 99,6 97,8 82,1 97,1 2009 88,6 117 116, 6 95,8 104, 6 101 104, 5 99 99,8 97,5 81,5 98,4 Представьте графически сезонную волну химического производства. Задача 40. Имеются следующие данные о распределении гражданских браков, заключенных населением города по месяцам за 2009-2011 гг.: Месяцы 2009 2010 2011 Январь 190 200 195 Февраль 201 202 196 Март 184 179 178 Апрель 159 177 201 Май 154 160 168 Июнь 162 167 173 Июль 170 184 194 Август 188 190 198 Сентябрь 160 167 174 Октябрь 179 182 191 Ноябрь 195 198 210 Декабрь 202 206 214 Для анализа внутригодовой тенденции данного ряда динамики а) рассчитайте индексы сезонности б) представьте в виде линейного графика сезонную волну развития изучаемого явления по месяцам в) сделайте выводы. 211 Задача 41. Производство основных видов продукции животноводства в Кемеровской области характеризуется следующими данными, тыс. тонн 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 464,6 468,9 453,1 436,8 428,9 440,6 463,5 440,0 Произведите выравнивание рядов динамики по прямой и используйте полученные данные для экстраполяции уровней 2009 и 2014 гг. Задача 42. Изменение дневной производительности труда в химической промышленности (р./чел) за период 2000-2010 гг. может быть описано уравнением тренда y t =180-1,035 t . Определите возможный уровень дневной производительности труда в 2015 г. Задача 43. Ряд динамики, характеризующий поставки минеральных удобрений в кг нага пашни за период 2003-2010 гг., описывается уравнением параболы y t =12+3,35t+0,41t 2 . Рассчитайте теоретический объем внесения удобрений в почву в г. и возможный объем внесения их в 2015 г. Задача 44. Ежесуточная реализация товаров в универсальном магазине в апреле месяце характеризуется следующими данными Число месяца Выручка от реализации, тыс. р. Число месяца Выручка от реализации, тыс. р. Число месяца Выручка от реализации, тыс. р. 1 54 11 54 21 62 2 50 12 53 22 60 3 51 13 56 23 64 4 53 14 57 24 63 5 52 15 55 25 61 6 53 16 57 26 66 7 51 17 56 27 64 8 54 18 59 28 62 9 52 19 58 29 65 10 55 20 60 30 63 212 Используя эту информацию а) произведите сглаживание данного ряда динамики методом семидневной скользящей средней б) рассчитайте линейное уравнение тренда, характеризующее тенденцию ежедневной реализации товаров в) постройте график фактической реализации товаров, выровненных значений данного ряда динамики по скользящей средней и по уравнению тренда. Задача 45. Количество дней работы трактора на ферме по месяцам составило Месяц Количество рабочих дней Месяц Количество рабочих дней Месяц Количество рабочих дней Январь 15 Май 23 Сентябрь 23 Февраль 15 Июнь 18 Октябрь 21 Март 16 Июль 18 Ноябрь 17 Апрель 19 Август 22 Декабрь 15 Рассчитайте сезонную волну количества отработанных дней и представьте ее графически. Задача 46. Поголовье основных видов скота в хозяйствах всех категорий по Кемеровской области за последние 15 лет характеризуется следующими данными (тыс. голов Годы тыс. голов Годы тыс. голов Годы тыс. голов 1994 595,5 1999 367,6 2004 269,8 1995 519 2000 354,2 2005 251,6 1996 466,2 2001 336,2 2006 257,3 1997 410,5 2002 316,4 2007 253,4 1998 367,4 2003 298 2008 243,99 На основании приведенной информации рассчитайте уравнение тренда, характеризующее параболическую тенденцию изменения поголовья скота. Предполагая, что выявленная тенденция сохранится, определите возможное количество поголовья скота в 2013 г. Постройте график фактического и теоретического количества скота. |