Е. М. Четыркин финансовая математика

• Название: Е. М. Четыркин финансовая математика
• Анкор: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 4.63 Mb.
• Имя файла: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Тип: Учебник; #4971
• страница: 26 из 58

§16.3. Коммутационные функции

Для сокращения записи страховых аннуитетов и упрощения расчетов применяют так называемые коммутационные функции (commutations functions), или коммутационные числа. Смысл этих чисел трудно, хотя и возможно, содержательно интерпретиро­вать. Их проще воспринимать как чисто технические, вспомо­гательные средства.

Стандартные коммутационные функции делятся на две груп­пы. В основу первых положены числа доживающих до опреде­ленного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановим­ся на методике получения наиболее важных в практическом от­ношении функций. Основными в первой группе являются функции D и N'

D_x=l_xv*,(16.8)

AT,- f Л_у> (16.9)

J-x

где v — дисконтный множитель по сложной ставке /, о> — пре­дельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

339

По определению

N_M= Д..

В некоторых актуарных расчетах необходимы суммы комму­тационных чисел D_xдля заданных возрастных интервалов. В этих случаях можно воспользоватся коммутационными числами N_x:

к /-1

На практике применяются еще два варианта функции N_x, к которым обращаются тогда, когда платехси производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо с достаточной для прак­тических расчетов точностью применим следующее выражение:

_N(m)_mN+ _D(16.10)

^хх2т ^хv '

Для платежей пренумерандо

"⁽*^m)N*-^J!Lir^D*-<¹⁶¹¹⁾

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются С_хи М_х\

C_x = d_xv^x+{,(16.12)

М_х- jC_y. (16.13)

]-х

Между коммутационными числами обеих групп существуют определенные взаимозависимости:

_Сх= ^х = _(/- - _Wv*h = i_xV*_v- _Jx+{V^ = _DxV- _Dx+i, Аналогично можно доказать, что

М_х= N_xv - Л^,.

Страховые организации разрабатывают таблицы коммутаци­онных функций с учетом принятых в них норм доходности.

340

Таблица 16.2

Фрагмент таблицы коммутационных чисел¹

X	(г	Dx	Л,	-цш-	с.	мх
18	100 000	21 199	244 593	254 309	28,98	1003,6
19	99 851	19 420	223 393	232 294	30,82	974,7
20	99 678	17 786	203 973	212 125	31,98	943,8
30	96 991	7310	80 677	84 027	25,55	648,9
35	94 951	4651	49 910	52 042	20,78	530,3
40	92 327	2940	30 376	31 723	19,09	431,4
50	83 640	1125	10 465	10 981	14,54	260,7
60	68 505	389	3082	3261	10,25	134,7
70	45 654	ПО	684	734	5,72	53,1
80	19 760	20	85	95	2,14	13,0

При страховании супружеских пар возникает необходимость в коммутационной функции:

О = / _хv(x+y)/2 "ху ху

Величина / определена при расчете _пр_ху(см (16.6)).

(16.14)

Функцию (16.14) можно получить на основе коммутацион­ных функций D_x, D_yследующим образом:

Z)^, = D_xxD_yx v-W²= D_x x D_y x (1 + 0<^)/². (16.15)

В свою очередь

'ху+п ху+п
*xv+n * ^v>

- *U * А** * У-Ь^Й/Я = Л ж Л. х (1 + |)^(^)/2.

Поскольку произведения коммутационных чисел имеют большую размерность, то их обычно умножают на 10³.

¹ Подсчитано по таблице смертности населения СССР (см. § 16.2) при ус­ловии, что / = 9%. Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12).

341

ПРИМЕР 16.5. Определим коммутационные числа О_50;45 и О_55;50 для супружеской пары примера 16.4. Находим:

(х + у) I 2 = (50 + 45) / 2 = 47,5.

Коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 9%, имеют следующие значения (первая строка — для муж­чины, вторая — для женщины):

0^= 1124,8; 055 = 673,1;

0^= 1991,9; О₅₀= 1268,8. Отсюда

^D50;45 = ^{103 х 1124}»^{8 х 1991}'^{9 х} 1.09⁴⁷-⁵ = 134 308; ^D55.50 = Ю"³ х 673,1 х 1268,8 х 1,09⁵⁺⁴⁷-⁵ = 78 770.

По аналогии с функцией N_xнайдем:

<а-у

"_Ху- 2^D*W⁽¹⁶¹⁶⁾

t -О

§16.4. Стоимость страхового аннуитета

Отправным моментом актуарного анализа является опреде­ление стоимости страхового аннуитета. Для записи формул вве­дем следующие обозначения для стоимостей годовых аннуите­тов постнумерандо:

а_х— для немедленного пожизненного аннуитета, a_x:t, — для немедленного ограниченного аннуитета, _пхй_х— для отложенного пожизненного аннуитета, п\^ахи] " ^ДЛЯ отложенного ограниченного аннуитета.

Аналогичная символика применяется и для аннуитетов пре-нумерандо, однако вместо символа а записывается а.

Пусть лицу, начиная с возраста х лет, пожизненно в конце каждого года выплачивается по 1 рублю (аннуитет пожизнен­ный, постнумерандо, немедленный). Тогда

** = />* * ^v + 2/>* * v² + • + <*-хРх * ^v

СО-X а-

342

'*t I * ^V (r+2 * ^ , ₊ C^xv"

Умножим числитель и знаменатель каждого слагаемого на v*. После чего можно применить коммутационные функции D_xи N_xдля расчета немедленного, пожизненного аннуитета постну-мерандо с ежегодными выплатами :

_2'«.

xv^x*^J

/,xv* D_x

Аналогичным образом определим стоимости других видов аннуитета. Так, для немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо с ежегодной выплатой по 1 руб. имеем:

а_х-l + ^xv + ₂/>_J(xv²+... + ₍₀.^_Jcxv^fl,-^x -

frt—V

Ш N_x

y^x+J
l_x X V^XAc

Нетрудно убедиться в том, что

**х ^{= а}х ⁺ 1 ^{ИЛИ а}х+\ * ^{V = а}х*

Формулы для расчета различных видов годовых аннуитетов приведены в табл. 16.3.

ПРИМЕР 16.6. Определим стоимость отложенного на 20 лет, ог­раниченного 5 годами аннуитета пренумерандо для мужчины в возрасте 30 лет. Находим

Nso " N55 10465,3 - 5826,7

огмЛол ci = —— — = = 0,63453.

20|^лзо:51 _Озо уЗЮ.З v.oowo.

В табл. 16.3 приведены формулы для годовых аннуитетов. Если платежи выплачиваются т раз в году, то в формулах вме­сто N_xследует использовать N_x^^m)или N^^m\ Приведем формулы для соответствующих аннуитетов при условии т- 12.

343

Формулы для расчета стоимостей а



Вид аннуитета

Постнумерандо



Немедленный пожизненный

я =

х+1
К

Л

(16.17)




AL


Отложенный на п лет пожизненный

Немедленный, ограниченный (выплаты в течение t лет)

Отложенный на п лет, ограниченный (выплаты в течение t лет)

_{л—"S^ <}¹⁶¹⁹_>

(16 • (

^с+1 ^c+f+1

^а*-<\л

"х+п+1 -"х+и+М

tfx-A

Для ежемесячных платежей постнумерандо имеем следую­щие выражения.

Немедленный пожизненный аннуитет:

(16.25)

N™ N_x11

D_x D_x24

Немедленный ограниченный аннуитет:

(16.26)

,_m JV<'²>- tf<¹²> ^ - *,♦, - ^(D_x - D_XH)
D_xD_x

Отложенный пожизненный аннуитет:

_й(12> х±» 24 ₍₁₆ 27)

^я|* D_xD_x

Отложенный ограниченный аннуитет:

уу(12) _ дг(12)

д'¹²' _ш^х + ^пX + W+/ _ш

п\ х:<]л

"х

™х+п ™х+я+/ " ^Т ["х+п Vx+n+t)

(16.28)

ПРИМЕР 16.7. Для условий примера 16.6, но с ежемесячными выплатами, получим:

Ш* 30:51" П

10465,3 - 5826,7 - ;$j(l 124,8 - ⁶⁷³'¹)

—24^ L . 0,60484.

731Q3

Для ежемесячных выплат постнумерандо находим следую­щие соотношения.

Немедленный пожизненный аннуитет:

345

_д(.2> *С **+, , И

D_xD_x24

Немедленный ограниченный аннуитет:

_в(12) _ш jc-»I Х+/+1 _ш

х-А _D

(16.29)

(16.30)

24_
^х+1 - ^x*t*\ + ^т(^*+1 - At+/+l)

Отложенный на п лет пожизненный аннуитет:

,_т лг<¹²>, лг_х+#+|+-1д_г+.₊₁

-(12) _ш «♦,♦! 24 . (16.31)

Отложенный ограниченный (выплаты в течение t лет) аннуи­тет:

<sup>„и» „и»

п</sup>\ х:(] п

°*(16.32)

^х+л+1 " Nx+n+t+\ + Тт(Ас+/ц.1 " Ar+fl+/ + l)

Современные стоимости регулярных потоков платежей (обо­значим их, как это принято в финансовой математике, через А_х) определяются элементарно. Если размер годового платежа ра­вен Л, то для немедленного пожизненного потока годовых пла­тежей пренумерандо имеем А_х= R х а_х> а для аналогичного, но отложенного на п лет аннуитета, Л_х= Rx Jl_xvl т.д.

ПРИМЕР 16.8. Рассчитаем актуарные стоимости нескольких ва­риантов аннуитетов для сорокалетнего мужчины. Платежи ежегод­ные и ежемесячные, выплаты — пожизненные и ограниченнные (срок — 10 лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма го­дового платежа 1000 руб. Полученные величины приведены в табл. 16.4.

346

Таблица 16.4

Вид		Постнумерандо		Пренумерандо
потока		годовые	ежемесячн.	годовые	ежемесячн.
Немедл. Отложен.	Пожизнен. Огранич. Пожизнен. Огранич.	9334 6156 5529 3776	9792 6415 5788 3941	10 334 6773 6153 4171	9875 6490 5867 3990

Выделим четыре фактора, определяющих стоимость страхо­вого аннуитета:

• 
  демографический фактор, отражаемый таблицей смертно­сти,
  
• 
  процентная ставка (установленная норма доходности),
  
• 
  длительность отсрочки выплат,
  
• 
  срок аннуитета.
  

Кратко остановимся на указанных факторах. Ясно, что чем выше показатели смертности, тем ниже актуарная стоимость аннуитета. Отсюда следует, что при сложившейся в России де­мографической ситуации стоимость аннуитета для женщины будет заметно выше, чем для мужчины при всех прочих равных условиях. В табл. 16.5 приведены стоимости годовых немедлен­ных аннуитетов пренумерандо у мужчин и женщин для двух ва­риантов процентной ставки — 9 и 5 % .

Таблица 16.5 Стоимости немедленных аннуитетов

	1 =	9%	i =	5%
Возраст	Мужчины	Женщины	Мужчины	Женшивы
18	11,54	11,87	18,20	19,33
30	11,04	11,61	16,65	18,22
40	10,33	11,17	14,86	16,80
50	9,30	10,41	12,65	14,50
60	7,92	9,17	10,11	12,16
70	6,25	7,22	7,44	8,16

Как видим, с увеличением возраста стоимость аннуитета уменьшается (так как сокращается средняя продолжительность предстоящей жизни), причем у всех возрастов стоимость анну­итета для женщин выше, чем для мужчин.

Влияние процентной ставки очевидно — повышение про­центной ставки уменьшает стоимость аннуитета (см. рис. 16.1 и

347

табл. 16.5). Отсрочка выплат также сокращает эту величину. В свою очередь увеличение срока аннуитета при всех прочих рав­ных условиях увеличивает стоимость аннуитета. Пределом, ес­тественно, является стоимость пожизненного аннуитета (см. рис. 16.2).

л|»х

О) - П

Рис 16.1

Рис 16.2

В следующей главе показано, как стоимости страховых анну­итетов используются при решении сугубо практических задач — расчетах нетто-премий и страховых резервов в таких видах лич­ного страхования, как страхование на дожитие, страхование жизни и индивидуальное страхование пенсий.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гербер X. Математика страхования жизни. М.: АН К ИЛ, 1995.
   

1. 
   Касимов Ю. Ф. Начала актуарной математики (для страхования жизни и пен­сионных схем). Зеленоград, 1995.
   
2. 
   Четыркин Е. М. Актуарные методы в негосударственном медицинском стра­ховании. М.: Дело, 1999. Гл. 3.
   

Глава 17 ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ